Ensembles et opérations

Où vois-tu une erreur dans ce que tu as écrit ? $\emptyset \in \mathcal P(\mathbb E)$ et $\{1\} \in \mathcal P(E)$ donc $\{\emptyset, \{1\}\} \subset \mathcal P(E)$ mais on n'a pas $\{\emptyset, \{1\}\} \in \mathcal P(E)$.

Un élément de $\mathcal P(E)$ est, par définition, un sous-ensemble de $E$. Un sous-ensemble de $\mathcal P(E)$ est un ensemble qui contient des éléments de $\mathcal P(E)$, c'est-à-dire qui contient des sous-ensembles de $E$.

Qui croire ?

Bonjour,

Comme l'a écrit Poirot, $\{\emptyset, \{1\}\}$ est une partie, c'est à dire un sous-ensemble, de $\mathcal P(E)$ mais n'en est pas un élément car il ne contient pas que des élément de $E$.
Un autre exemple, peut-être plus parlant: $\{\{1,2,3\},\{1,2,4\}\}$.

Cordialement,

Rescassol

Bonjour,

je voudrais savoir si les assertions suivantes sont vraies:

Pour tout $x$, $\{x\}=\cap_y \{y; x\in y\}$;

Pour tout $x$, pour tout $y$, $(x\in y)$ équivaut à $(\{x\}\in \{y\})$.

Pardon si c'est du n'importe quoi!

Cordialement
Paul

Merci beaucoup Math Coss pour ta rapide réponse. Je crois l'avoir comprise. Il me reste à passer de la croyance à la certitude!
Amicalement
Paul

Salut Oka, il me semble que mikess19731973 souhaitait justement comme il l'a dit "comprendre la différence entre un element de $P(E)$ et un ensemble de $P(E)$". En ce sens, il y a bien une différence puisque si tout élément de $P(E)$ est un ensemble, tout ensemble de $P(E)$ n'est pas forcément un élément de $P(E)$ - voir l'exemple de Poirot. Tu me parais avoir répondu plutôt à la question "quelle est la différence entre un élément et un ensemble-et-aussi-élément de P(E) ?" - dont la réponse est "aucune", par tautologie. Mais cela risque de ne pas satisfaire Mikess dans son problème. Ton interprétation et celle de Poirot (qui laisse à "ensemble" un sens suffisamment général pour pouvoir comprendre le sentiment de confusion de mikess) en viennent alors à se contredire.

Mikess sent bien qu'il y a un problème dans le fait de voir comme confondues les notions d'élément de $P(E)$ et d'ensemble de $P(E)$, alors que ses propres assertions indiquent bien une différence. Je lui répondrais que de manière générale : le lion est un félin (c'est un élément de l'ensemble $Félin$) mais l'ensemble des lions n'est pas un félin. Dit ainsi, on peut le voir sans peine. C'est la différence qu'il y a entre l'élément "lion" de $Félin$ et l'ensemble $lion$ de $Félin$.