Hypothèse du continu
Réponses
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Je n'ai plus de batterie. Mais cet article de presse est assez désagréable car derrière un titre ambigu et enflammé je n'arrive pas à savoir ce qui a été prouvé. Pour peu qu'un noephyte lise vite il pourrait même croire qu'il a été prouvé que tout est dénombrable donc sue Peano second ordre est contradictoire :-X . L'article de presse est vague. Qui sont p et t? Batterie => je ne peux pas suivre les liens
Précision pour info Shelah est le meilleur problem solver du monde (de loin) mais ses articles son t des torchons non relus.Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
Briefly, p is the minimum size of a collection of infinite sets of the natural numbers that have a “strong finite intersection property” and no “pseudointersection,” which means the subsets overlap each other in a particular way; t is called the “tower number” and is the minimum size of a collection of subsets of the natural numbers that is ordered in a way called “reverse almost inclusion” and has no pseudointersection.
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$\mathfrak{p,t}$ sont deux cardinaux précis qui apparemment ont longtemps été imaginés distincts, mais qui, selon une nouvelle preuve, sont égaux. Je ne sais pas s'ils ont un grand rapport avec l'hypothèse du continu, j'en doute franchement.
Sur mathoverflow il y a un sujet dessus, qui montre que ces notations ne sont pas universellement connues même par les théoriciens des ensembles, mais qui sont tout de même connues par un cercle de certains ensemblistes.
Mais comme le dit Christophe pour le coup, le titre racoleur tend à faire penser qu'il a été prouvé qu'il n'y a pas plusieurs cardinaux infinis, ce qui est évidemment faix -
Un article en français mais moins développé.
article slate -
Merci beaucoup!!!!Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
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L'article de Slate est carrément pompé sur l'autre et il affirme en vrac, que N et R ont la même taille, et que l'hypothèse du continu a été démontrée.
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J'hallucine un peu je dois dire.slate a écrit:Pour démontrer l'inexistence d'autres types d'infinis, Malliaris et Shelah ont prouvé que N et R sont en fait de même taille en «mesurant» chacun de ces ensembles.
(...)
Toujours est-il que c'est en prouvant que p et t étaient égaux (alors que beaucoup imaginaient que p était inférieur à t) que Malliaris et Shelah ont démontré que l'infini de N et celui de R étaient en fait égaux. Il n'existe donc pas d'intermédiaire entre le dénombrable et l'indénombrable, ce qui prouve l'hypothèse formulée par Cantor il y a plusieurs siècles. -
Et en plus, du coup, Shelah va recevoir la médaille Fields, à la surpris générale.
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Ça le rajeunit au moins.
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La plus à plaindre est la jeunette qui co-signe avec Shelah dans l'histoire. Shelah mérite à lui tout seul (vu les critères habituels pour la décerner) 10 ou 15 MF et ca doit faire plus de 20ans qu'il joue largement au dessus (son seul complexe d'après les ragots que j'avais il y a quelques décennies étant qu'il voudrait laisser "une théorie" et pas juste .... 2000 problèmes ouverts officiels résolues en une semaine en moyenne). Par contre il était réputé écrire les thèses de ses étudiants (qui n'avaient plus qu'à corriger les typos). J'espère que la fille saura montrer qu'elle est autonome si elle veut avoir la MF (enfin j'imagine qu'ils ne la donneraient pas à une secrétaire).
Quant au résultat ça, je ne sais toujours pas de quel "grand problème" il s'agit. Les notations (une lettre pure et dure pour un cardinal) m'évoquent que ce serait un résultat de cardinal invariant qui aurait été trouvé, et qui serait surprenant. Deux articles de presse à sensation pour le vanter est plus inquiétant que rassurant car ça donne l'impression qu'il y a un lobbying dans la presse pour défendre l'importance d'un résultat, donc du lobbying genre "comme à Wall Street" dans le décernement des récompenses de sciences. Mais je peux tout à fait me tromper.
En Set theory, je vais sur les pistes noires, en th de la démo, je vais sur les rouges, mais en théorie des modèles j'hésite à passer des vertes au bleues. Mais je peux dire (avec les réserves de mon incompétence ci avant exprimées) que la seule conjecture qui me semble correctement célèbre en théorie des modèles est la conjecture de Vaught. Est-ce un équivalent de ladite qu'ils auraient résolue?Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
La spécialité "cardinal invariant" est assez jouissive car elle s'épanouit en étudiant des degrés de Tukey. En gros, ce sont tous les cardinaux qu'on peut définir et prouver être entre IN et IR. Par exemple, le plus petit cardinal possible d'une famille d'ensembles de mesure intérieure de Lebesgue nulle qui recouvrent IR. Je crois qu'on n'a jamais prouvé l'égalité entre deux d'entre eux sans carrément aussi prouver que lesTukey associés sont égaux. Peut-être est-ce une exception qui vient de se produire d'où les articles à sensation et la récompense? Aucune idée. suis sur un PC, vais aller voir les liens.Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
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Humm...Mon titre volontairement provocateur était destiné à attirer du monde.
N'étant pas logicien, je n'ai pas vraiment d'idée sur la question, mais cet article me semble, sinon bidon, du moins exagérément (sur)médiatisé. -
C'est marrant, dans ton domaine les meilleurs méritent 15 médailles Fields, pas une mais 15 !
Finalement toi aussi tu donnes les bons et mauvais points, qui mérite ou non une médaille Fields (mince pas une mais 15 en fait). Pourquoi Shelah ne résout-il pas tous les problèmes du millénaire en un mois ? C'est une question sérieuse, un mec qui mérite 15 médailles Fields devrait y arriver.
Aucun doute que c'est un génie, je n'y connais rien alors je te crois, mais on voit bien là le biais dans ta spécialité. -
Je copie-colle les définitions récupérées dans un lien du lien:p is the minimum
cardinality of a collection $F$ of infinite subsets
of IN, all of whose finite intersections are
infinite, such that there is no single infinite
$A\subset \N$, such that every element of $F$ contains
A except for a finite error.
The cardinal $t$ is
defined similarly, except one only quantifies
over families F which are totally ordered by
containment modulo a finite error. Although
$p\leq t$ is immediate from the definitions
Si quelqu'un a la gentillesse de formaliser?Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
@skyffer: menfin, c'est une manière de parler, une plaisanterie, tu vois bien que c'est du langage de comptoir (je ne parle que de ce que je dis sur Shelah bien sûr).
Par contre, je dis sérieusement que c'est un sinon le meilleur "problem solver" du monde. Il n'est pas créatif, mais je peux te dire qu'il est efficace!!! C'est un peu le "Usain Bolt" des maths (ce qui ne veutpas dire qu'il bat Messi au foot :-D ) et un des très rare qui accepte de se frotter à l'infini en mode "muscles"+problem-solving. (Généralement les autres font plutpôt "des offrandes" à l'infini et attendent que ledit leur téléphone pour les informer).
Chiffres: Il était à 50-100 articles par an au long de sa vie en moyenne si je me rappelle bien et quand je dis article, la plupart résolvait un problème officiellement ouvert depuis un temps respectable et ayant fait l'objet de plus de 5 ou 6 bons articles. C'est comme ça qu'il était présenté par ses introducteurs.Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
En problem solving, tu parles uniquement dans sa spécialité ou toutes maths confondues ?
PS : pour un mec qui se veut précis, t'as de drôle de tournures de phrases ;-) -
Il n'a pas de "domaine", il est spécialisé dans l'infini c'est tout, (il ne s'intéresse ni à RH ni à Goldbach, etc***). Après, je ne l'ai pas non plus suivi de près, il n'a pas résolu les questions que je lui ai envoyées et pas résolu des problèmes qui m'intéressent. Mais je sais qu'il a fait à sa manière de l'ombre à de nombreux jeunes chercheurs, dont il tarissait plus vite que son ombre les sujets de thèse (il était réputé pour ça). Par contre c'est vrai qu'il a toujours eu le complexe de ne pas "pondre une théorie personnelle", un truc affectif, chaleureux, qui te fait rêver. Je crois qu'à cause de ça, il a essayé avec "pcf theory", dont je ne connais pas la qualité mais qui reste sacrément "froid". Et puis à écrire un article (publié!!!) tous les 3 jours ouvrables, il a lassé pas mal de gens qui lui reprochaient de ne pas se relire.
*** Pour caricaturer et simplifier il y a deux sortes de maths: ceux qui taffent sur des problèmes à récompense mais très particuliers (RH, Goldbach, tous les problèmes du millenium sauf NPetc) et résolvent vite les choses car les problèmes sont "concrets" et plus faciles et ceux qui s'attaquent aux généralités. Pas de comparaison possible entre eux, ce sont des activité différentes au même titre que la physique et les maths sont différentes. Juste les deuxièmes ont un rythme beaucoup plus lents que les premiers puisque s'attaquent à des problèmes bien plus "profonds" (en termes cardinaux: pas d'inspection systématique) des structures possibles dans le non dénombrable)et bien plus généraux. On peut donc dire que Shelah est une curiosité par sa résolution rapide et fréquente de problèmes généraux.Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
L'article du fil est d'ailleurs un exemple: il prouve un truc semble-t-il "à la force du poignet" alors que des experts semblaient croire le truc indécidable. Ce n'est pas sa première fois. Je crois qu'il avait aussi surpris tout le monde dans le passé en prouvant*** que card P( aleph omega ) ne dépasse pas la quatrième successeur de aleph omega, à coup de récurrences ordinales routinières enchainées comme une brute.
*** à supposer que tous les aleph n précédents vérifient HC bien sûr.Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
https://gowers.wordpress.com/2017/09/19/two-infinities-that-are-surprisingly-equal/
Je pense que c'est plus simple si on formule les choses dans l'anneau $\mathbf F_2^{\N}$.
D'après ce que j'ai compris:
soit $\mathfrak I$ l'idéal de $\mathbf F_2^{\N}$ constitué des suites nulles à partir d'un certain rang. Dans toute la suite $A:= \mathbf F_2^{\N}/\mathfrak I$.
On munit l'anneau (de Boole) $A$ de son ordre d'anneau de Boole à savoir: si $a,b\in A$, $a\leq b$ si et seulement si $a=ab$.
Par exemple, pour tous $x,y\in A$, $xy=\inf \{x,y\}$ pour cette relation d'ordre.
I) On dit qu'une partie $X$ de $A$ a la propriété $F$ si
1°) Pour tout $Y\subseteq X$ fini, $\inf Y=\prod_{y\in Y} y \neq 0$.
2°) Néanmoins la borne inférieure de $X$ existe et vaut $0$ (apparemment $(A,\leq)$ n'est pas complet, cf lien).
On note $\mathfrak p$ le plus petit des cardinaux des parties ayant la propriété $F$.
II) On dit qu'une partie $T$ de $A$ est une tour si $T$ est totalement ordonnée pour $\leq$ et ne contient pas $0$.
On note $\mathfrak t$ le plus petit des cardinaux des tours $S$ telles que $\inf S$ existe et vaut $0$.
On a manifestement $\mathfrak p\leq \mathfrak t$.
Le théorème dit que $\mathfrak p=\mathfrak t$ alors que les gens pensaient le contraire (EDIT: non, à vrai dire ils pensaient que c'était indécidable).Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$. -
christophe c, il faudrait que tu arrêtes de parler de la difficulté des domaines mathématiques que tu ne pratiques pas, tu montres surtout des préjugés.christophe c a écrit:*** Pour caricaturer et simplifier il y a deux sortes de maths: ceux qui taffent sur des problèmes à récompense mais très particuliers (RH, Goldbach, tous les problèmes du millenium sauf NPetc) et résolvent vite les choses car les problèmes sont "concrets" et plus faciles et ceux qui s'attaquent aux généralités
Ca me fait penser à une fois dans ma jeunesse, il y avait un mec qui avait déclaré en (géométrie/topologie différentielle), "moi je touche pas à la dimension 2 ou 3, seulement à la dimension n" ou quelque chose comme ça. Il avait bien fait rire.Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$. -
Merci beaucoup foys! J'ai regardé ton lien qui est très précis et sérieux (et où il est dit grand mal de l'article de quanta).
alors c'est bon, j'ai "tout compris" et une fois de plus je vais décevoir (enfin partiellement) les admirateurs de Shelah (mais en fait seulement un peu).
Shelah est la grand spécialiste mondial de cette astuce
dont il est d'ailleurs l'inventeur, l'auteur et le déclineur sous toutes ses formes.
De quoi parle-je? Bin c'est très simple, c'est le mot "fuzzy" dont je ne connais pas la traduction qui m'a fait tilt: on prouve un truc en utilisant l'hypothèse du continu et dans certains cas, on parvient à virer HC de l'argument (par une sorte d'élimination des coupures astucieuse). Il a commencé à faire ça dans les années .... 70 en prouvant que deux structures élémentairement équivalentes ont des ultrapuissances isomorphes (ce qui est immédiat avec HC et difficile sans). Je crois que cette astuce, je ne sais pas pourquoi, est connue sous le nom "lemme de Ketonen".
J'ai une anecdote encore plus drôle: je me suis fait engueuler (à distance, je ne participais pas aux délibératoins du jury) par la seule inconnue de set theory qui faisait partie du jury de ma thèse car justement, je ne m'étais pas donné la peine d'ajouter 5 -10 pages pour prouver l'un des main theorm sans l'hypothèse du continu (je me suis contenté de dire, "c'est routinièrement faisable sans HC via l'astuce habituelle (Shelah Ketonen)" et ça l'a mis dans une colère intense car elle estimait que c'était pire que cavalier).
Un jour j'avais demandé à Anatole de me détailler cette technique et c'était tellement calculatoire (ça consiste à simuler une sorte de hasard déterministe) que j'ai dit "stop".
Cela montre (ça ferait presque plaisir) que même les gros problem solver ont des marottes (Shelah ça doit être entre autre cette "façon générale" de passer de totalement ou (bien) ordonné à "quelconque" à l'aide de ses "simulations de hasard").
En tout cas, cette technologie est assez atroce à lire et à acquérir (en gros, il fabrique des machins qui ont tous les attributs d'avoir été tirés au sort, alors qu'il les a "contruits" avec une définition constructive).Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
@foys réponse à ton dernier post: mais je parle de difficulté objective, pas des gens qui y travaillent (ni de leur niveau). Par exemple, li est objectif que si tu prouves $\forall n: R(n)$ alors tu le prouves pour $n\in \{1;2;3\}$ pour prendre l'exemple de ton gars.
Ce que j'expliquais c'est que plus c'est général plus les articles sont rares et que quand il s'agit d'infini les "inspections systématiques ou presque" (comme c'est pratiqué dans le reste des maths même si les articles le camouflent un peu) sont totalement exclus. Bien entendu, je ne dis pas pour autant (et je pense que ça n'aurait pas de sens bien avant même être vrai ou faux) que tel expert de l'infini est meilleur que tel autre qui travaille sur le fini ou un problème "anecdotique" (en ce qu'il n'est pas du tout général). Ou alors je le dis pour provoquer des forumeurs (tirer la couverture)Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
Précision sur cette famille de technique (mon avant-dernier post): une introduction consiste à prouver en exercice que card de l'ensemble des ultrafiltres sur E est $=2^{2^E}$Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
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... mais il y a peut-être plus de chose à dire en dimension 2 ou 3 qu'en dimension n...
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Quid des $R$ (situation assez fréquente) tels que $R(1),R(2),R(3)$ sont prouvables mais $\forall n \in \N,R(n)$ est fausse?
Ah si c'était aussi simple...Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$. -
Juste si quelqu'un peut en un mot me confirmer que dans
<<Hello, sorry for my bad english. Do you know if the Tukey respectively corresponding to p and t have been proved to be equal by Shelah and Malliaris? Or their techniques only prove the equality for cardinals>>,
je n'ai pas inséré involontairement de faux amis? (C'est une question que j'ai envoyée en anglais à Gowers, j'ai un doute sur "only prove", quand j'espère dire "prouve seulement")
MerciAide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
Soit tu mets "does their technique only prove" soit tu mets "proves".
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@Shah et foys: non, mais quand je sors ces résumés concernant les trucs de vestaires, c'est ou bien que je cherche à tacler un matheux obsédé par les décorations (donc c'est finalement en réponse aux gens qui ont tendance à vouer des cultes pour les agacer), comme par exemple dans les flis où certains (pourtant parfois agés) prétendent que les génies existent ou bien (c'est plutôt ça ici) pour mi-blaguer, mi présenter sans en dire trop long, une personnalité (ici Shelah).
Encore une fois, contrairement à ce qu'on pense souvent les lecteurs ne sont pas naifs, ils croient ce qu'ils veulent et pas tout ce qu'on raconte et laissent le reste.
Par contre, du coup ça peut avoir une utilité: c'est de parler en sachant ce qui sera gardé et ce qui sera jeté à la poubelle. Mine de rien, j'aurais eu du mal à ne pas faire 3 fois plus long pour présenter ce que je savais du matheux Shelah (à informations égales offertes j'entends!)
Tout autre chose: la nature du résultat m'inquiète un peu pour Malliaris: c'est vraiment "du Shelah's hobby" ce truc. J'espère qu'elle saura se vendre pour la déco évoquée (quoique, évoqué par "quanta" :-D ...)Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
Merci Shah (bon en fait je suis bête, je l'avais déjà posté et c'est même après publi que je l'ai copié-collé pour ici. Mais est-ce qu'on comprend quand-même?Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
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Il me semble qu'il n'était pas strictement nécessaire pour ta présentation de Shelah de dire que travailler avec des gros infinis c'est objectivement plus difficile que de se cantonner à $\N$, $\R$ ou $\R^\R$
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Oui, on comprend (enfin, j'imagine que le nom propre Tukey est utilisé pour désigner ses degrés?)
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ah mince j'ai oublié "degree"! :-X Merci!Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
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@foys: je n'ai pas compris ton histoire de "et quand il n'est pas vrai que $\forall n: R(n)$?
@Shah: attention, je ne parle pas d'infinis dénombrables (qui somme toute génèrent des investigations assez "algébriques" bien souvent). La cassure s'effectue entre le prouvable et le non prouvable de manière "absolue" ou presque absolue. Même si les labos appartiennent aux mêmes départements généraux dans les facs ou les centres de recherche, il y a plus de différences entre la spécialité set theory, étude de l'infini "brut de pomme" et les matheux "ordinaires" qu'il n'y en a entre les chimistes ou les géomètres et les spécialisés en géométrie algébriques ou en analyse fonctionnelle ou en edp.
Mais encore une fois, j'insiste, ça n'a strictement aucun sens d'essayer de comparer des niveaux. Seul ce que les gens appellent souvent abstraction (ou complexité au sens de Turing en un certain sens***) peut fournir une sorte d'échelle totalement ordonnée et mathématique. Mais elle n'implique rien sur "le niveau" des acteurs à part qu'ils aiment tous leur métier.
Autre chose: via google, je n'ai pas trouvé de tableau de l'état de la recherche* en ce qui concerne les "cardinal invariant", or je pense qu'il doit bien en exister. Quelqu'un saurait-il mieux googler que moi? Merci! (Les CI sont tous les cardinaux "intéressants" qui sont entre IN et IR (il y en a des dizaines qui portent des noms officiels comme dans le présent fil où on évoque les deux que sont p et t).
* qui est plus prouvablement plus grand que qui, etc
*** précision pour les néophytes: différence entre des domaines où on cherche seul et les domaines où on cherche "seul aussi snif", mais où in fine, on fait "comme si" on discutait avec des oracles (au sens "degré de Turing" du terme)Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
Foys dit juste qu'il y a des énoncés vrais en dimension que 2 ou 3. Alors l'argument de dire que si on s'attaque aux énoncés $\forall n$ c'est qu'on est meilleur est plus que fallacieux, puisqu'il n'inclue pas tous les énoncés vrais en petite dimension seulement.
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ah ok, alors je le redis pour la 1268741968ième fois, je n'ai jamais dit que les gens qui s'attaquent aux questions générales sont plus forts que les gens qui étudient des exercices d'olympiades. au contraire, j'ai même dit qu'il ont un temps plus long de production (des théorèmes généraux, il y en a un / 50 ans, des théorèmes "d'olympiades" (comme RH, etc), il y en a plusieurs par an).Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
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Je précise que lorsque j'ai discouru la dessus sur le forum durant ces 10 dernières années, j'ai souvent dénoncé la mobilisation des énergies et des cerveaux sur des questions "d'olympiades", ce qui sous-entend plutôt (même si ce n'était pas mon intention) que je pourrais regretter que "des gens forts" gaspillent leur énergie sur des fadaises, donc ce qui sous-entend, [size=x-large]si[/size] on veut me caricaturer, que c'est comme si je disais <<pourquoi on n'a que des philosophes parmi nous (les infinitistes), alors que les différentes spécialités du finitisme recrutent des "gros cerveaux">>, c'est à dire une sorte de slogan opposé à la ligne que l'on me prête.
Je rappelle que ceci n'a pas de sens et relève du vestiaire (au sens footeux du terme).Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
Tu n'as jamais dit ça, mais tu parles de 15 médailles Fields, tu parles de problèmes d'olympiades (vachement pas péjoratif ...), etc., etc. Bref, tu fais quand même tout pour dénigrer le reste des maths, mais tu ne t'en rends même pas compte (comme d'hab, on est habitué) c'est ça le pire.
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J'ai déjà répondu pour les 15MF :-D (C'est sûr que si tu tiens à me coller des slogans qui étaient des blagues, c'est pas facile).
Par ailleurs, non, je ne suis pas d'accord que qualifier un problème "d'exercice d'olympiade" est du dénigrement. Ca n'en est pas. Je trouve au contraire ça très clair et précis, même si c'est "bizarre" car familier. Il n efaut pas voir du dénigrement partout!!! D'ailleurs quasiment TOUT ce que je dis en débats de société peut recevoir une interprétation négative si on fait un petit effort. Je trouve cette démarche systématique vraiment désastreuse car, en dehors de moi, après on vient se plaindre que la langue de bois soit devenue la règle: mais pour le coup, c'est normal qu'elle le soit si dès qu'on "dit un truc", il y a une recherche du négatif et de l'intention derrière. On renconrte exactement le même problème avec les élèves:
<<msieur, je ne comprends pas ce qui est écrit au tableau
- donne-moi une ligne sur les 8 écrites que tu refuses
- la 5
- ok, la 5 dit que $w²+(b+3)/(7a) = (w\times w)+(b+3)/(7a)$, tu n'es pas d'accord que $w^2=w\times w?$
- si, mais bon, en fait ce n'est pas ça que je ne comprends pas
- bin alors c'est quoi?
- c'est pourquoi on écrit tout ça
- en gros, tu cherches l'intention derrière?
- oui
- c'est pour ça que tu es nul en maths. En maths, il n'y a JAMAIS "d'intention derrière à chercher" ou plutôt, ce n'est JAMAIS elle, si elle existe, qui va valider ce que tu écris au présent de l'indicatif. Il SUFFIT de comprendre ça pour avoir 18 jusqu'au M1 spécialité math>>Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
Je refuse de croire que la théorie des ensembles est objectivement plus difficile que ce que tu appelles "l'algèbre". Je suis d'accord qu'il ne s'agit sans doute pas du tout du même métier. Dans le fini ou les petits infinis il y a une structure forte. Plus on monte dans la hiérarchie cumulative, plus la structure s'amollit. Je pense que les "algébristes" trouvent des chemins dans une structure rigide, et les théoriciens des ensembles cherchent les points de rigidité dans une structure molle.
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@Shah: tu dis ça comme si j'avais dit le contraire. une fois de plus, je me contente de dire qu'il est plus difficile de trouver souvent des preuves de choses générales tant qu'on ne sait pas à l'avance qu'elles sont prouvables. Bref, je dis la banalité qu'il y a moins de théorèmes généraux qu'il n'y a de théorèmes particuliers. Mais ça ne veut pas dire que les preuves sont plus difficiles, bien au contraire, même, les preuves des généralités sont généralement meilleures, plus compréhensibles et plus courtes *** (à l'extrême elles font même 1 ligne puisque tout théorème est un cas particulier d'évidence).
C'est bien pour ça que je dis que ce ne sont pas du tout les mêmes métiers. Il n'y a pas tellement de points communs entre chercher une preuve que toute fonction continue du plan dans lui-même vérifiant blabla (une condition compacte simple) a tous ses zéros sur $[x=0.5]$ et chercher une preuve que la fonction très particulière de RH a cette propriété.
Le problème de ceux qui cherchent à prouver RH est bien de construire une preuve dont ils sentent avec quasi-certitude qu'elle existe alors que le problème des autres est de chercher quels axiomes puissants et donc improuvables entrainent un énoncé dont ils redoutent avec proba 99% qu'il soit faux. (Quand ils prouvent la fausseté, ils sont contents aussi, mais c'est assymétrique, ladite fausseté étant par décroissance logique un énoncé très particulier).
Bref, les uns calculent les autres "philosophent" (mais sérieusement et avec des outils élaborés et subtils platoniciens).
Dans cette histoire, la notion de difficulté, ou plutôt de leur comparaison n'a tout simplement aucun sens
*** un excellent exemple est d'ailleurs fourni par la topologie algébrique, spécialité en attente de dénouement, puisqu'on n'a toujours pas trouvé les bonnes preuves et en fait le bon énoncé général dont ses théorèmes "artisanaux" sont des cas particuliers prouvés très maladroitement avec des usines à gaz de technologies agrégées (par exemple, il n'existe toujours pas de "bonne preuve mature" du théorème de Brouwer). On pourrait dire pareil pour la théorie des graphes finis et des hypergraphes où on en est encore à la préhistoire (comme le montre par exemple la evasive conjecture)Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
Plus de rigidité=plus de contrainte=plus de complexité. C'est d'ailleurs pour ça qu'en-dehors des gödélites on n'a (à ma connaissance) aucun résultat d'indépendance pour l'arithmétique, alors que plus haut le forcing se met à marcher et en donne à foison.
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Par ailleurs certes si un énoncé est vrai pour n=1,2,3, alors on peut l'écrire "pour tout n si n<4 alors..." mais c'est "de la triche"
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Shah a écrit:C'est d'ailleurs pour ça qu'en-dehors des gödélites on n'a (à ma connaissance) aucun résultat d'indépendance pour l'arithmétique
On en a quand-même pas mal à l'heure actuelle qui ne sont pas qualifiables au sens strict de "godélites" (Goodstein, Paris Harrington, Matiyasevic, etc)Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
Non, je parle d'énoncés qui parle d'arithmétique mais sont indépendants de ZFC.
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@christophe : Ce serait quoi, pour toi, une preuve "mature" du théorème de Brouwer ?
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Une preuve d'un énoncé ensembliste court ne parlant pas de topologie et qui admet comme cas particuliers Borsuk Ulam Lefschetz Jordan + mes machins que j'ai envoyés plein de fois sur le forum parlant d'existence de connexes traversant + moyennant bonne hypothèse que les homotpes à des constantes ont des points fixes . De mon téléphone pardon c'est un peu sale.Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
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Qu'est-ce qui te chafouine dans le lemme de Sperner, alors ?
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Etant sur un pc, ça m'est plus facile de te répondre. Je n'ai rien contre lui, mais il n'est qu'une astuce dans une preuve de Brouwer et ne donne pas les autres théorèmes que j'ai signalés. De plus pour passer des uns aux autres, on ne sait pas actuellement le faire automatiquement par voie d'évidences automatiques. Par exemple pour voir que Brouwer entraine "mon lemme" (sa preuve est d'ailleurs due à Anatole) qui dit que si $f$ est continue de $J^{n+1}\to J^n$ alors il existe un connexe traversant sur qui la restriction de $f$ est constante. Et je ne parle même pas d'énoncé du genre (j'en donne un faux, mais presque vrai) dans tout compact, tout homotope à une constante a un point fixe. Autre exemple: Sperner ne sert à rien pour prouver Jordan me semble-t-il. Etc...Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
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Attention !!!!!!!!! Si quelqu'un sait se servir de wikipedia il faudra modifier l'article sur Malliaris qui raconte te tout autant N ' IMPORTE QUOI que l'article bidon de quanta (dont d'ailleurs il assume se servir de source)Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
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