N'IMPORTE QUI peut modifier Wikipédia en appuyant sur "modifier" à côté du titre du paragraphe ou kêk chose comme ça.
Et ça marche même depuis un téléphone.
Bravo et merci pour l'info, je viens de virer la phrase laissant penser qu'ils avaient "résolu l'hypothèse du continu", par contre, je n'ai pas pu virer la référence à quanta.
J'en profite pour mettre un lien vers le diagramme de Cichon (qui donne les inégalités prouvées entre divers "vieux" cardinaux invariants). Bon, il est un peu vieux et ne parle pas de p et t, snif.
J'en profite aussi pour paraphraser foys en termes ensembliste, maintenant que l'anglais a été traduit. Soit $(E,R)$, avec $R\subset E$. On suppose que $non(\exists x\in E\forall y\in E: (x,y)\in R)$. Je note $f(E,R)$ le plus petit cardinal possible pour une partie $A$ de $E$ telle que $non(\exists x\in E\forall y\in A: (x,y)\in R)$ et qui vérifie que toutes ses parties finies $F$ sont "R-minorées" dans le sens précis que $\exists x\in E\forall y\in F: (x,y)\in R$.
On munit l'ensemble $Y$ des parties infinies de IN de $\forall x,y: ([(x,y)\in R]:=$ il existe un ensemble fini $F$ tel que $x\subset y\cup F)$.
Alors $p:= f(Y,R)$. et $t$ est le cardinal le plus petit possible d'une partie $B$ de $Y$ telle que $non(\exists x\in Y\forall y\in Y: (x,y)\in R)$ et qui en plus vérifie $\forall (x,y)\in Y^2: (x,y)\in R$ ou $(y,x)\in R$.
A noter que quand $R$ est un ordre complet (dont on retire juste l'élément minimum), $p=t$ est trivial, puisqu'on peut remplacer $u_i, i\in ON$ par $inf_{j\in i} \ u_j$. Cette actualité signale entre autre que le p du complété d'un ordre semble parfois pouvoir être strictement plus petit que celui de l'ordre de départ.
Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
Le specialiste des torchons non relus nous affirme, dans son msg-1536024 que "les articles de Shelah sont des torchons non-relus (sic)". Il se trouve que les articles dont causent les causeurs sont accessibles à qui veut bien les chercher. En plus de la référence donnée par Poirot, on a: https://arxiv.org/abs/1208.5424. Il est facile de voir que cet article commence par définir de quoi il va causer, puis énonce les résultats qui vont être prouvés (cf infra).
Il semblerait qu'une simple lecture de cet article réponde à la plupart des commentaires. Ainsi:
$\,$
Je ne sais pas si $\mathfrak{p,t}$ ont un grand rapport avec l'hypothèse du continu, j'en doute franchement. Il se trouve que, visiblement, $\aleph_{0}<\mathfrak{p\leq t}\leq 2^{\aleph_{0}}$. La formulation "moderne" de l'hypothèse du continu (HC) consiste à se demander quels sont les axiomes supplémentaires intéressants qui feraient pencher la balance dans un sens ou un autre. Si l'on a HC, rien de plus à dire: $\aleph_{1}=\mathfrak{p=t}=2^{\aleph_{0}}$. Sinon, il y a lieu de rechercher quelles cardinalités pourraient bien venir s'intercaler entre le dénombrable et le continu, et alors $\mathfrak{p}$ est un candidat intéressant pour être $\aleph_{1}$.
$\,$
"Si quelqu'un a[vait] la gentillesse de formaliser"... Il suffit de lire Malliaris-Shelah.
$\,$
Une particularité intéressante est d'avoir prouvé deux théorèmes en même temps, concernant des domaines en apparence éloignés, et d'y avoir réussi en percevant comment les deux problèmes étaient liés. Une revue de cette problématique: https://www.math.wisc.edu/~keisler/malliaris-shelah-bsl-review-web.pdf
A noter que la question générale a un sens pour n'importe quelle relation, cependant elle semble vraiment intéressante surtout pour les algèbres de Boole, l'égalité $p(B)=t(B)$ étant triviale pour toutes les algèbres de Boole complètes. Voici des questions que je vais référencer dans "il est facile de":
1) Existe-t-il un cardinal $a$ tel que pour tout cardinal $b$, il existe une algèbre de Boole $B$ vérifiant $p(B) = a$ et $t(B)\geq b$?
2) L'axiome << pour toute algèbre de Boole $B: p(B)=t(B)$ >> est-il consistant avec ZFC?
remarque: concernant à ce que semble affirmer pldx et que l'article bidon de quanta affichait aussi, ces affaires n'ont à voir avec l'hypothèse du continu que le fait que les cardinaux évoqués sont entre IN et IR et rien d'autre. Il y a belle lurette que plus personne ne s'interroge sur HC, ou du moins, quand on le fait, ce n'est pas en parlant des classifications de cardinaux invariants.
J'ignore si ce théorème de Shelah et Malliaris est important (il semble l'être assez pour valoir une décoration à Shelah apparemment) mais de toute façon son importance ne résulte évidemment pas de son rapport avec HC.
Il n'y a pas de "on te donne une médaille car tu as avancé dans la voie de résoudre HC" :-D sous-entendu contrairement à ce que l'article du tabloid ou pldx (que je remercie pour ses liens ça n'a rien à voir) prétendent.
Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
ah oui, tout de même, je précise que $B$ étant une algèbre de Boole:
$p(B)$ est le plus petit cardinal possible d'une partie $X$ de $B$ dont le seul minorant est $0_B$ et dont toutes les parties finies sont minorées par un élément non nul
$t(B)$ est le plus petit cardinal possible d'une partie $X\subset B$ totalement ordonnée par l'ordre de $B$ de $B$ dont le seul minorant est $0_B$
A noter que ça ne change rien si on remplace totalement par bien et que $t(B)$ est forcément un cardinal régulier. De plus toutes ces choses ne sont pertinentes qu'en présence de l'axiome du choix (c'est lui qui bien-ordonne les cardinaux).
Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
Pldx1 continue à affirmer que le problème de HC ne s'est pas arrêté en 1963 avec le résultat de Cohen. La suite consiste donc à voir ce que cela donne avec tel ou tel modèle de ZFC vérifiant nonHC ou bien avec tels ou tels axiomes supplémentaires qui conduiraient à faire pencher la balance du côté de nonHC. Et alors, se pose la question d'identifier un ou plusieurs ensembles remarquables ayant des cardinaux intermédiaires. Avoir $\mathfrak c \neq \aleph_1$ ne suffit pas à identifier $\alpha$ tel que $\mathfrak c = \aleph_\alpha$.
Pour ce qui est des liens fournis, il suffisait de faire une recherche sur Google (et d'avoir la volonté de lire les articles de Malliaris-Shelah avant d'en causer).
Oui, mais pldx1 :-D puisque la mode est à la troisième personne pourrait peut-être:
1) Suivre un cours d'initiation à la théorie des ensembles et pas seulement puiser ses infos dans la presse à sensation (on vient de voir avec le lien mis par NdT les risques qu'on court)
2) Prendre le temps (ce sont des heures) de se rencarder sur les détails concernant cette recherche.
Pour info (mais flemme de détailler), HC est TOTALEMENT INDECIDABLE dans tout système "sérieux" et pas seulement dans ZFC, et c'est prouvé. Aucun axiome de grand cardinal ne peut la décider à cause de la teneur spéciale des forcing qui la force et déforce. Les conférences de Woodin, intitulé souvent avec des titres humoristiques contenant l'expression "hypothèse du continu" (il peut se le permettre), sont pour "l'honneur de l'esprit humain" et n'avancent strictement aucun argument en faveur ou en défaveur de HC (et on lui a déjà reproché que son humour peut désinformer le public amateur, je te remercie donc d'illustrer concrètement cette situation d'ailleurs)
3) Le système que j'ai proposé (publié par un autre sous un autre nom, mais maintenant longuement étudié et fouillé par beaucoup) qui pourtant est immunisé contre les grands cardinaux ne la décide pas non plus (un peu pour des raisons similaires)
4) Par ailleurs le rang de complexité de HC la rend totalement étrangère aux cardinaux invariants qui vivent "en dessous" (un théorème de Woodin affirme même qu'à elle seul elle fige son niveau, ie si elle est vraie, l'ensemble des énoncés de son niveau qui sont vrais est déterminé)
En résumé, la question de la vérité de HC n'est, je le redis, absolument pas dans la balance quand on classe les "cardinaux invariants". Il s'agit d'une tout autre classification (d'ailleurs réputé bien plus intéressante!!!) et qui d'ailleurs in fine n'est pas une classification de cardinaux (ce qui présente peu d'intérêt universel vu qu'on peut changer d'univers) mais une classification de degrés de Tukey (bien plus "universelle"). Bon, pour me faire mieux comprendre, je fais une analogie: c'est comme si tu venais de me répondre qu'on étudie l'algèbre linéaire afin de déterminer si IR existe ou pas.
Dans le domaine des cardinaux invariants, il y a eu une très célèbre découverte de même nature qui a précédé celle ici évoquée qui est que l'additivité (je ne me rappelle pas l'énoncé exact) de Lebesgues est $\leq$ à celle du filtre des maigres (celle de Baire pour IR). Ca n'a rien à voir avec HC.
Un autre exemple: à ma connaissance la conjecture de Vaught est encore ouverte (même si il y a un brouillon qui traine...) et pourtant tout journaliste scientifique qui la présentera dans science-et-vie l'annoncera comme une question HC-like. Et pourtant la CV n'a strictement rien à voir avec HC non plus.
Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
Bonjour à tous,
et merci d'avoir décortiqué l'article qui démontre que $\mathfrak{p} =\mathfrak{t}$
J'ai lu avec attention l'article de Thomas Messias, prolifique auteur et son article m'a inspiré le texte joint.
Je l'ai fait à l'intention de mes copains du réseau social Whaller, sphère "anciens de Ginette" car l'un des membres a ouvert un fil sur le sujet.
Une petite question : Pourquoi une revue telle que science et nature publie un article de "Mathématiques" sans le faire valider par un expert adhoc ? Je pense avoir un réponse, mais je la garde pour l'instant.
Oh ! je peux bien le dire : l'auteur est une "autorité dans le domaine de la théorie des ensembles". C'est bien possible. Vu mon addiction à la "non bibliographie", il est possible que son nom m'ai échappé dans les quelques rares articles que je lis.
Ah ! c'est bien ma faute; je ne me documente pas sur les avancées de la science. Honte sur moi.
Un autre exemple: à ma connaissance la conjecture de Vaught est encore ouverte (même si il y a un brouillon qui traine...) et pourtant tout journaliste scientifique qui la présentera dans science-et-vie l'annoncera comme une question HC-like. Et pourtant la CV n'a strictement rien à voir avec HC non plus.
Reprocher aux journalistes une erreur qu'ils n'ont pas encore commise, c'est fort.
Merci zéphir pour ce parsing détaillé. Le plus triste au fond (Shelah doit avoir dans les 70ans ou plus), c'est pour Malliaris, qui se retrouve salie par ces sottises, car il y aura toujours des gens pour penser (à tort**) que les auteurs ont peut-être à un moment ou un autre trop superlativé leur trouvaille et excité des badots-journalistes qui ont relayé hystériquement un enthousiasme en romançant les faits.
** S et M ont été récompensé depuis longtemps pour ce théorème, somme toute "banal" même si très technique, et je ne pense pas qu'ils cherchent plus. De plus, j'imagine que c'est contre-productif auprès du comité Field (qui doit en être agacé car supplément de taf) d'avoir eu une actualité dans la presse à sensation, si jamais ils voulaient ajouter à leur première médaille la MF pour Malliaris.
Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
@Shah, ce n'est pas une erreur, c'est juste un ingrédient tout à fait légitime*** dont on imagine que s'il est exacerbé, ça peut donner le même genre d'article à l'égard d'un matheux qui prouverait la CV par exemple.
*** La CV dit que toute partie de IR vérifiant telles et telles propriétés a son cardinal dans $\{card(\N); card(\R)\}$, donc des néophytes peuvent y voir un lien avec HC.
Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
Une question : Quel est le plus gros Cardinal connu (enfin spécifié par une formule) à ce jour ?
Une autre question : quel est la formule qu'il abrège ? (j'aime!)
Une troisième question : est-ce que mes questions sont de "bonnes questions" ?
CC m'a dit récemment que si $p=\omega_1$ alors on obtient $p=t$ facilement. Je pense que c'est dû au fait que toute "tower" dénombrable de f-set non triviaux a une "pseudo-intersection" non triviale (terminologie de Gowers, pseudo-intersection d'une famille de f-set veut dire f-set presque inclus dans tous les éléments de la famille, "tower" signifie décroissante pour la presque inclusion, "f-set" élément du quotient des parties de $\mathbb N$ modulo presque égalité) En fait ça vient plus précisément du fait, si je ne me trompe pas, que toute famille filtrante dénombrable est non saturée : en effet si les $G_k$ sont les éléments de cette famille, on considère les $A_k=A_{k-1}\cap G_k$ qui sont tous infinis (puisque $(G_k)$ est filtrante) et on vérifie qu'alors $\left\{a_1,a_2....\right\}$ où $a_k\in A_{k-1}-A_k$ est presque inclus dans chaque $A_k\subset_f G_k$.
Lexique traductif Gowers-->CC :
sans pseudo-intersection --> saturé
f.i.p (finite intersction property) --> filtrante
tower -->famille totale
$A\subset_f B$ --> $A\leq B$ ($A$ presque-inclus dans $B$)
Pour vérifier que j'ai bien compris je vais préciser la démo qui me vient :
On prend $ F$ de cardinal $\omega_1$ sans pseudo-intersection et filtrante (c'est à dire toute partie finie a une pseudo-intersection), on indexe $F$ par les ordinaux $<\omega_1$ (ils sont donc tous dénombrables). Pour tout $i<\omega_1$ on prend $T_i\in i(\left\{F_j,j<i\right\}\cup \left\{T_j,j<i\right\})$ où $i(A)$ désigne l'ensemble des éléments presque-inclus dans tout élément de $A\subset \mathcal P(\mathbb N)$. Il s'agit de montrer qu'une telle construction est possible, et on aura $T$ saturée totale (nécessairement filtrante) de cardinal $\omega_1$. Mais c'est clair qu'une telle construction existe car $\left\{F_j,j<i\right\}\cup \left\{T_j,j<i\right\}$ est trivialement filtrante et dénombrable (et donc non saturée)
"Une particularité intéressante est d'avoir prouvé deux théorèmes en même temps, concernant des domaines en apparence éloignés, et d'y avoir réussi en percevant comment les deux problèmes étaient liés. Une revue de cette problématique"
Quel est l'autre résultat qui est prouvé? (autre que $p=t$ (je ne trouve pas la police pour les bonne lettres))
QUESTION
Est-ce qu'ils ont prouvé que $p=\omega_1$ ou est-ce que c'est indécidable?
$\aleph_1\le \mathfrak{p}$ (Hausdorff 1934). Ces deux cardinaux peuvent être égaux ou différents. C'est univers-dépendant. Rothberger a démontré en 1948 que si $\aleph_1 = \mathfrak{p}$, alors $\mathfrak{p} = \mathfrak{t}$.
Dans toute $B$ algèbre de Boole dense (au sens de l'ordre), il existe famille filtrante saturée de cardinal $\mathfrak p(B)$ qui est l'union d'au plus deux tours.
C'eut-été bien que la réponse à la question "peut-on se ramener à une tour" soit OUI, et ça aurait répondu au 2), mais JDH donne un contrexemple ad hoc dans sa réponse...
Le contre-exemple de JDH, prouve non seulement qu'on ne peux pas nécessairement trouver une tour filtrante de même cardinal que "l'union filtrante de deux tours" , donc qu'on ne peux pas utilser le lemme dont je parle plus haut pour montrer que 2) de la question de Christophe est vrai mais il montre que 2) est faux : en effet dans l'exemple $\mathbb B$ de JDH on a $\mathfrak p(\mathbb <\mathfrak t(\mathbb $
(l'exemple de JDH nécéssite l'axiome du choix, mais pas plus que ZFC me semble-t-il, type HC, donc la réponse à 2 est bien non )
@tous : J'arrive un peu après la bagarre mais je sais de source sûre que l'article dont cause noix de totos est une intox.
C'est un de mes étudiants qui m'a mis la puce à l'oreille à ce sujet (à peu près à l'époque du début de ce fil) et du coup je me suis renseigné.
J'en ai parlé avec Patrick Dehornoy, qui m'a raconté toute l'histoire. Je vous expliquerai ça demain.
@Christophe : Je ne pense pas que Maryanthe Malliaris soit une "secrétaire", en tous cas Dehornoy en dit beaucoup de bien.
Bon, alors voilà le résumé de l'histoire selon Dehornoy.
Il décrit ce phénomène comme une "fusée à 3 étages", il y a donc 4 évènements successifs en comptant le RDC.
Je donne les dates de mémoire, donc approximatives.
0) Malliaris et Shelah publient la preuve de p=t (2011/2012 ?).
Article imbittable comme l'a très bien expliqué Christophe.
1) Environ 2 ans plus tard, quelqu'un publie une sorte de rétension de l'article, un peu plus compréhensible pour des spécialistes.
2) Encore 2 ans plus tard paraît une sorte de vulgarisation de la chose, un peu approximative mais plus accessible à des matheux non spécialistes de set theory.
3) (Entre temps M et S ont eu leur récompense) Paraît le torchon qui fait l'objet de ce fil.
Plusieurs versions ont circulé sur les réseaux sociaux (en anglais et en français) je suis même tombé sur une où le type affirme sans vergogne une chose et son contraire à 3 lignes d'intervalles (genre : "Cantor a montré que le continu est strictement plus grand que le dénombrable", puis "tous les infinis sont égaux").
Concernant l'article qui a été posté en début de fil j'ai beaucoup rigolé à 2 occasions :
1) Ça y est, le problème du continu est résolu : le dénombrable est égal au continu.
2) La conjecture qui a été formulée par Cantor il y a plusieurs siècles.
Mon "maître" de CM2 m'avait enseigné que le pluriel commence à 2, alors 1,36 ça fait quand même un peu juste.
Pour conclure je dirais que le type qui a pondu ce torchon ne doit même pas avoir un niveau L2 en math et qu'il a voulu faire de la presse à sensation.
Cela dit je ne pense pas que cela ait un grand impact sur l'opinion publique, je n'ai eu aucun mal à convaincre mes étudiants que c'étaient des conneries (et pourtant chez les jeunes Wikipédia et facebook sont souvent considérés comme parole d'évangile).
Je ne pense pas non plus que cela puisse impacter défavorablement la carrière de Malliaris, Dehornoy dit qu'elle a un bel avenir devant elle, même une fois séparée de Shelah.
Voilà, c'était mon quart d'heure de philosophie
Pardon je vais lire ça mais la je dois aller à l'apéro. Merci du rappel. J'avais un problème de cache hier avec mon téléphone je ne pouvais acceder qu'en actualisant des "hors ligne"
Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
@Martial : le fil a avant tout pour sujet cet article bidon donc ton post est tout à fait à propos. Je voulais juste attirer l 'attention involontairement captée par ta réponse sur le fait que la question 2 de cc était resolue^^
Réponses
Et ça marche même depuis un téléphone.
J'en profite pour mettre un lien vers le diagramme de Cichon (qui donne les inégalités prouvées entre divers "vieux" cardinaux invariants). Bon, il est un peu vieux et ne parle pas de p et t, snif.
https://en.wikipedia.org/wiki/Cichoń's_diagram
J'en profite aussi pour paraphraser foys en termes ensembliste, maintenant que l'anglais a été traduit. Soit $(E,R)$, avec $R\subset E$. On suppose que $non(\exists x\in E\forall y\in E: (x,y)\in R)$. Je note $f(E,R)$ le plus petit cardinal possible pour une partie $A$ de $E$ telle que $non(\exists x\in E\forall y\in A: (x,y)\in R)$ et qui vérifie que toutes ses parties finies $F$ sont "R-minorées" dans le sens précis que $\exists x\in E\forall y\in F: (x,y)\in R$.
On munit l'ensemble $Y$ des parties infinies de IN de $\forall x,y: ([(x,y)\in R]:=$ il existe un ensemble fini $F$ tel que $x\subset y\cup F)$.
Alors $p:= f(Y,R)$. et $t$ est le cardinal le plus petit possible d'une partie $B$ de $Y$ telle que $non(\exists x\in Y\forall y\in Y: (x,y)\in R)$ et qui en plus vérifie $\forall (x,y)\in Y^2: (x,y)\in R$ ou $(y,x)\in R$.
A noter que quand $R$ est un ordre complet (dont on retire juste l'élément minimum), $p=t$ est trivial, puisqu'on peut remplacer $u_i, i\in ON$ par $inf_{j\in i} \ u_j$. Cette actualité signale entre autre que le p du complété d'un ordre semble parfois pouvoir être strictement plus petit que celui de l'ordre de départ.
Le specialiste des torchons non relus nous affirme, dans son msg-1536024 que "les articles de Shelah sont des torchons non-relus (sic)". Il se trouve que les articles dont causent les causeurs sont accessibles à qui veut bien les chercher. En plus de la référence donnée par Poirot, on a: https://arxiv.org/abs/1208.5424. Il est facile de voir que cet article commence par définir de quoi il va causer, puis énonce les résultats qui vont être prouvés (cf infra).
Il semblerait qu'une simple lecture de cet article réponde à la plupart des commentaires. Ainsi:
$\,$- Je ne sais pas si $\mathfrak{p,t}$ ont un grand rapport avec l'hypothèse du continu, j'en doute franchement. Il se trouve que, visiblement, $\aleph_{0}<\mathfrak{p\leq t}\leq 2^{\aleph_{0}}$. La formulation "moderne" de l'hypothèse du continu (HC) consiste à se demander quels sont les axiomes supplémentaires intéressants qui feraient pencher la balance dans un sens ou un autre. Si l'on a HC, rien de plus à dire: $\aleph_{1}=\mathfrak{p=t}=2^{\aleph_{0}}$. Sinon, il y a lieu de rechercher quelles cardinalités pourraient bien venir s'intercaler entre le dénombrable et le continu, et alors $\mathfrak{p}$ est un candidat intéressant pour être $\aleph_{1}$.
- "Si quelqu'un a[vait] la gentillesse de formaliser"... Il suffit de lire Malliaris-Shelah.
- Une particularité intéressante est d'avoir prouvé deux théorèmes en même temps, concernant des domaines en apparence éloignés, et d'y avoir réussi en percevant comment les deux problèmes étaient liés. Une revue de cette problématique: https://www.math.wisc.edu/~keisler/malliaris-shelah-bsl-review-web.pdf
- Par ailleurs, d'autres ont cherché à obtenir des preuves plus courtes du seul résultat $\mathfrak{p=t}$. Ainsi: http://www.logicatorino.altervista.org/matteo_viale/tesi-moranarocca.pdf
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Cordialement, Pierre.
A noter que la question générale a un sens pour n'importe quelle relation, cependant elle semble vraiment intéressante surtout pour les algèbres de Boole, l'égalité $p(B)=t(B)$ étant triviale pour toutes les algèbres de Boole complètes. Voici des questions que je vais référencer dans "il est facile de":
1) Existe-t-il un cardinal $a$ tel que pour tout cardinal $b$, il existe une algèbre de Boole $B$ vérifiant $p(B) = a$ et $t(B)\geq b$?
2) L'axiome << pour toute algèbre de Boole $B: p(B)=t(B)$ >> est-il consistant avec ZFC?
remarque: concernant à ce que semble affirmer pldx et que l'article bidon de quanta affichait aussi, ces affaires n'ont à voir avec l'hypothèse du continu que le fait que les cardinaux évoqués sont entre IN et IR et rien d'autre. Il y a belle lurette que plus personne ne s'interroge sur HC, ou du moins, quand on le fait, ce n'est pas en parlant des classifications de cardinaux invariants.
J'ignore si ce théorème de Shelah et Malliaris est important (il semble l'être assez pour valoir une décoration à Shelah apparemment) mais de toute façon son importance ne résulte évidemment pas de son rapport avec HC.
Il n'y a pas de "on te donne une médaille car tu as avancé dans la voie de résoudre HC" :-D sous-entendu contrairement à ce que l'article du tabloid ou pldx (que je remercie pour ses liens ça n'a rien à voir) prétendent.
$p(B)$ est le plus petit cardinal possible d'une partie $X$ de $B$ dont le seul minorant est $0_B$ et dont toutes les parties finies sont minorées par un élément non nul
$t(B)$ est le plus petit cardinal possible d'une partie $X\subset B$ totalement ordonnée par l'ordre de $B$ de $B$ dont le seul minorant est $0_B$
A noter que ça ne change rien si on remplace totalement par bien et que $t(B)$ est forcément un cardinal régulier. De plus toutes ces choses ne sont pertinentes qu'en présence de l'axiome du choix (c'est lui qui bien-ordonne les cardinaux).
Pldx1 continue à affirmer que le problème de HC ne s'est pas arrêté en 1963 avec le résultat de Cohen. La suite consiste donc à voir ce que cela donne avec tel ou tel modèle de ZFC vérifiant nonHC ou bien avec tels ou tels axiomes supplémentaires qui conduiraient à faire pencher la balance du côté de nonHC. Et alors, se pose la question d'identifier un ou plusieurs ensembles remarquables ayant des cardinaux intermédiaires. Avoir $\mathfrak c \neq \aleph_1$ ne suffit pas à identifier $\alpha$ tel que $\mathfrak c = \aleph_\alpha$.
Pour ce qui est des liens fournis, il suffisait de faire une recherche sur Google (et d'avoir la volonté de lire les articles de Malliaris-Shelah avant d'en causer).
Cordialement, Pierre.
Oui, mais pldx1 :-D puisque la mode est à la troisième personne pourrait peut-être:
1) Suivre un cours d'initiation à la théorie des ensembles et pas seulement puiser ses infos dans la presse à sensation (on vient de voir avec le lien mis par NdT les risques qu'on court)
2) Prendre le temps (ce sont des heures) de se rencarder sur les détails concernant cette recherche.
Pour info (mais flemme de détailler), HC est TOTALEMENT INDECIDABLE dans tout système "sérieux" et pas seulement dans ZFC, et c'est prouvé. Aucun axiome de grand cardinal ne peut la décider à cause de la teneur spéciale des forcing qui la force et déforce. Les conférences de Woodin, intitulé souvent avec des titres humoristiques contenant l'expression "hypothèse du continu" (il peut se le permettre), sont pour "l'honneur de l'esprit humain" et n'avancent strictement aucun argument en faveur ou en défaveur de HC (et on lui a déjà reproché que son humour peut désinformer le public amateur, je te remercie donc d'illustrer concrètement cette situation d'ailleurs)
3) Le système que j'ai proposé (publié par un autre sous un autre nom, mais maintenant longuement étudié et fouillé par beaucoup) qui pourtant est immunisé contre les grands cardinaux ne la décide pas non plus (un peu pour des raisons similaires)
4) Par ailleurs le rang de complexité de HC la rend totalement étrangère aux cardinaux invariants qui vivent "en dessous" (un théorème de Woodin affirme même qu'à elle seul elle fige son niveau, ie si elle est vraie, l'ensemble des énoncés de son niveau qui sont vrais est déterminé)
En résumé, la question de la vérité de HC n'est, je le redis, absolument pas dans la balance quand on classe les "cardinaux invariants". Il s'agit d'une tout autre classification (d'ailleurs réputé bien plus intéressante!!!) et qui d'ailleurs in fine n'est pas une classification de cardinaux (ce qui présente peu d'intérêt universel vu qu'on peut changer d'univers) mais une classification de degrés de Tukey (bien plus "universelle"). Bon, pour me faire mieux comprendre, je fais une analogie: c'est comme si tu venais de me répondre qu'on étudie l'algèbre linéaire afin de déterminer si IR existe ou pas.
Dans le domaine des cardinaux invariants, il y a eu une très célèbre découverte de même nature qui a précédé celle ici évoquée qui est que l'additivité (je ne me rappelle pas l'énoncé exact) de Lebesgues est $\leq$ à celle du filtre des maigres (celle de Baire pour IR). Ca n'a rien à voir avec HC.
Un autre exemple: à ma connaissance la conjecture de Vaught est encore ouverte (même si il y a un brouillon qui traine...) et pourtant tout journaliste scientifique qui la présentera dans science-et-vie l'annoncera comme une question HC-like. Et pourtant la CV n'a strictement rien à voir avec HC non plus.
https://i.stack.imgur.com/dKNoE.png
Et même op. cit. pour
et merci d'avoir décortiqué l'article qui démontre que $\mathfrak{p} =\mathfrak{t}$
J'ai lu avec attention l'article de Thomas Messias, prolifique auteur et son article m'a inspiré le texte joint.
Je l'ai fait à l'intention de mes copains du réseau social Whaller, sphère "anciens de Ginette" car l'un des membres a ouvert un fil sur le sujet.
Une petite question : Pourquoi une revue telle que science et nature publie un article de "Mathématiques" sans le faire valider par un expert adhoc ? Je pense avoir un réponse, mais je la garde pour l'instant.
Oh ! je peux bien le dire : l'auteur est une "autorité dans le domaine de la théorie des ensembles". C'est bien possible. Vu mon addiction à la "non bibliographie", il est possible que son nom m'ai échappé dans les quelques rares articles que je lis.
Ah ! c'est bien ma faute; je ne me documente pas sur les avancées de la science. Honte sur moi.
Votre dévoué,
zephir.
** S et M ont été récompensé depuis longtemps pour ce théorème, somme toute "banal" même si très technique, et je ne pense pas qu'ils cherchent plus. De plus, j'imagine que c'est contre-productif auprès du comité Field (qui doit en être agacé car supplément de taf) d'avoir eu une actualité dans la presse à sensation, si jamais ils voulaient ajouter à leur première médaille la MF pour Malliaris.
*** La CV dit que toute partie de IR vérifiant telles et telles propriétés a son cardinal dans $\{card(\N); card(\R)\}$, donc des néophytes peuvent y voir un lien avec HC.
Une question : Quel est le plus gros Cardinal connu (enfin spécifié par une formule) à ce jour ?
Une autre question : quel est la formule qu'il abrège ? (j'aime!)
Une troisième question : est-ce que mes questions sont de "bonnes questions" ?
Amitiés
zephir
Je ne sais pas si c'est "complet" mais en tout cas ça donne un ordre d'idée de ce qui se fait... Ça donne le vertige !
Lexique traductif Gowers-->CC :
sans pseudo-intersection --> saturé
f.i.p (finite intersction property) --> filtrante
tower -->famille totale
$A\subset_f B$ --> $A\leq B$ ($A$ presque-inclus dans $B$)
Pour vérifier que j'ai bien compris je vais préciser la démo qui me vient :
On prend $ F$ de cardinal $\omega_1$ sans pseudo-intersection et filtrante (c'est à dire toute partie finie a une pseudo-intersection), on indexe $F$ par les ordinaux $<\omega_1$ (ils sont donc tous dénombrables). Pour tout $i<\omega_1$ on prend $T_i\in i(\left\{F_j,j<i\right\}\cup \left\{T_j,j<i\right\})$ où $i(A)$ désigne l'ensemble des éléments presque-inclus dans tout élément de $A\subset \mathcal P(\mathbb N)$. Il s'agit de montrer qu'une telle construction est possible, et on aura $T$ saturée totale (nécessairement filtrante) de cardinal $\omega_1$. Mais c'est clair qu'une telle construction existe car $\left\{F_j,j<i\right\}\cup \left\{T_j,j<i\right\}$ est trivialement filtrante et dénombrable (et donc non saturée)
C'est correct?
:
"Une particularité intéressante est d'avoir prouvé deux théorèmes en même temps, concernant des domaines en apparence éloignés, et d'y avoir réussi en percevant comment les deux problèmes étaient liés. Une revue de cette problématique"
Quel est l'autre résultat qui est prouvé? (autre que $p=t$ (je ne trouve pas la police pour les bonne lettres))
QUESTION
Est-ce qu'ils ont prouvé que $p=\omega_1$ ou est-ce que c'est indécidable?
?
non mais lol
Je crois que $p=t$ est un cas particulier d'une propriété valable dans tout semi-treillis.
(démo dans la pièce jointe)
[edit : j'ai trouvé une faute majeure]
Et je n'ai pas la réponse bien sur mais par contre je pense pouvoir affirmer que
Dans toute $B$ algèbre de Boole dense (au sens de l'ordre), il existe famille filtrante saturée de cardinal $\mathfrak p(B)$ qui est l'union d'au plus deux tours.
J'en donne l'heuristique à la fin de cette question dans MO https://mathoverflow.net/questions/299204/getting-one-tower-from-two , et je peux donner une preuve d'une ou deux pages si quelqu'un le souhaite (je devrais fouiller dans mes fichiers .tex^^)
C'eut-été bien que la réponse à la question "peut-on se ramener à une tour" soit OUI, et ça aurait répondu au 2), mais JDH donne un contrexemple ad hoc dans sa réponse...
(l'exemple de JDH nécéssite l'axiome du choix, mais pas plus que ZFC me semble-t-il, type HC, donc la réponse à 2 est bien non )
C'est un de mes étudiants qui m'a mis la puce à l'oreille à ce sujet (à peu près à l'époque du début de ce fil) et du coup je me suis renseigné.
J'en ai parlé avec Patrick Dehornoy, qui m'a raconté toute l'histoire. Je vous expliquerai ça demain.
@Christophe : Je ne pense pas que Maryanthe Malliaris soit une "secrétaire", en tous cas Dehornoy en dit beaucoup de bien.
Je reviens là-dessus demain, promis.
Bonne nuit à tous
Martial
Il décrit ce phénomène comme une "fusée à 3 étages", il y a donc 4 évènements successifs en comptant le RDC.
Je donne les dates de mémoire, donc approximatives.
0) Malliaris et Shelah publient la preuve de p=t (2011/2012 ?).
Article imbittable comme l'a très bien expliqué Christophe.
1) Environ 2 ans plus tard, quelqu'un publie une sorte de rétension de l'article, un peu plus compréhensible pour des spécialistes.
2) Encore 2 ans plus tard paraît une sorte de vulgarisation de la chose, un peu approximative mais plus accessible à des matheux non spécialistes de set theory.
3) (Entre temps M et S ont eu leur récompense) Paraît le torchon qui fait l'objet de ce fil.
Plusieurs versions ont circulé sur les réseaux sociaux (en anglais et en français) je suis même tombé sur une où le type affirme sans vergogne une chose et son contraire à 3 lignes d'intervalles (genre : "Cantor a montré que le continu est strictement plus grand que le dénombrable", puis "tous les infinis sont égaux").
Concernant l'article qui a été posté en début de fil j'ai beaucoup rigolé à 2 occasions :
1) Ça y est, le problème du continu est résolu : le dénombrable est égal au continu.
2) La conjecture qui a été formulée par Cantor il y a plusieurs siècles.
Mon "maître" de CM2 m'avait enseigné que le pluriel commence à 2, alors 1,36 ça fait quand même un peu juste.
Pour conclure je dirais que le type qui a pondu ce torchon ne doit même pas avoir un niveau L2 en math et qu'il a voulu faire de la presse à sensation.
Cela dit je ne pense pas que cela ait un grand impact sur l'opinion publique, je n'ai eu aucun mal à convaincre mes étudiants que c'étaient des conneries (et pourtant chez les jeunes Wikipédia et facebook sont souvent considérés comme parole d'évangile).
Je ne pense pas non plus que cela puisse impacter défavorablement la carrière de Malliaris, Dehornoy dit qu'elle a un bel avenir devant elle, même une fois séparée de Shelah.
Voilà, c'était mon quart d'heure de philosophie
@Christophe : puisqu'on en est aux confidences, moi aussi je vais aller prendre l'apéro.
@Christophe : alors il était bon, c't'apéro ?
Moi j'ai bu 2 Aberlour : famous !
(Il existe des algèbres de Boole pour lesquelle $p(B)<t(B)$ )
(je t'ai envoyé un mp au fait, il est court, plus court qu'un post de Ltav en tous cas)