Propriété fondamentale de N
Bonjour
J'essaie de montrer ce théorème à partir du principe de récurrence : tout sous-ensemble non vide et majoré de $\mathbb N$ admet un plus grand élément.
Je doute car je n'utilise pas l'indication donnée par le professeur.
Voilà comment je m'y prends : pour $n\in\mathbb N$, je note $\mathcal P(n)$ l'assertion :
$\forall A\subset N, (A\neq\emptyset\wedge(\forall x\in A,x\leq n))\implies (\max A existe)$
$\mathcal P(0)$ est vraie car alors $A=\{0\}$ donc $\max(A)=0$
Soit $n\in\mathbb N$ tel que $\mathcal P(n)$ est vraie
Soit $A\subset \mathbb N$ tel que $A\neq\emptyset$ et $\forall x\in A,x\leq n+1$.
J'ai pensé séparé en deux cas :
Si $n+1\notin A$ alors on a $\forall x\in A, x\leq n$. Comme de plus, $A\neq\emptyset$ alors par hypothèse de récurrence, on a $\max A$ existe
Si $n+1\in A$ alors $\max A=n+1$ existe
D'où $\mathcal P(n+1)$ est vraie
J'essaie de montrer ce théorème à partir du principe de récurrence : tout sous-ensemble non vide et majoré de $\mathbb N$ admet un plus grand élément.
Je doute car je n'utilise pas l'indication donnée par le professeur.
Voilà comment je m'y prends : pour $n\in\mathbb N$, je note $\mathcal P(n)$ l'assertion :
$\forall A\subset N, (A\neq\emptyset\wedge(\forall x\in A,x\leq n))\implies (\max A existe)$
$\mathcal P(0)$ est vraie car alors $A=\{0\}$ donc $\max(A)=0$
Soit $n\in\mathbb N$ tel que $\mathcal P(n)$ est vraie
Soit $A\subset \mathbb N$ tel que $A\neq\emptyset$ et $\forall x\in A,x\leq n+1$.
J'ai pensé séparé en deux cas :
Si $n+1\notin A$ alors on a $\forall x\in A, x\leq n$. Comme de plus, $A\neq\emptyset$ alors par hypothèse de récurrence, on a $\max A$ existe
Si $n+1\in A$ alors $\max A=n+1$ existe
D'où $\mathcal P(n+1)$ est vraie
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Réponses
De toute façon l'important est que la mienne est correcte, merci !
La propriété fondamentale de $\mathbb N$ est équivalente au principe de récurrence dans $\mathbb N$ !
Oui elle est correcte. Appeler ça "propriété fondamentale de IN" me semble assez idéologique. Le vrai théorème si l'on peut dire est le suivant:
Définition: << $X$ est fini>> est une abréviation de $<<\exists n\in \N\exists f: f$ est une surjection de $n$ sur $X>>$
Définition: soient $E,R$ avec $R\subset E^2$. La phrase $<<(E,R)$ est un ensemble ordonné strict$>>$ est une abréviation de $<<R$ est transitive et $\forall x: (x,x)\notin R>>$
Définition: soit $(E,<)$ un ensemble ordonné. La phrase $<< a$ est un élément maximal de $(E,<) >>$ abrège $<< non( \exists x\in E: a<x)>>$
Théorème: soit $(E,<)$ un ensemble ordonné. Si $E$ est fini alors il existe un élément maximal de $(E,<)$.
edit: voir post ultérieur de foys. Dans le présent post "ordre" abrège "ordre strict"
Dans un chemin montant, sablonneux, malaisé,
Et de tous les côtés au Soleil exposé,
Six forts chevaux tiraient un Coche.
Femmes, Moine, vieillards, tout était descendu.
L'attelage suait, soufflait, était rendu.
Une Mouche survient, et des chevaux s'approche ;
Prétend les animer par son bourdonnement ;
Pique l'un, pique l'autre, et pense à tout moment
Qu'elle fait aller la machine,
S'assied sur le timon, sur le nez du Cocher ;
Aussitôt que le char chemine,
Et qu'elle voit les gens marcher,
Elle s'en attribue uniquement la gloire ;
Va, vient, fait l'empressée ; il semble que ce soit
Un Sergent de bataille allant en chaque endroit
Faire avancer ses gens, et hâter la victoire.
La Mouche en ce commun besoin
Se plaint qu'elle agit seule, et qu'elle a tout le soin ;
Qu'aucun n'aide aux chevaux à se tirer d'affaire.
Le Moine disait son Bréviaire ;
Il prenait bien son temps ! une femme chantait ;
C'était bien de chansons qu'alors il s'agissait !
Dame Mouche s'en va chanter à leurs oreilles,
Et fait cent sottises pareilles.
Après bien du travail le Coche arrive au haut.
Respirons maintenant, dit la Mouche aussitôt :
J'ai tant fait que nos gens sont enfin dans la plaine.
Ca, Messieurs les Chevaux, payez-moi de ma peine.
Ainsi certaines gens, faisant les empressés,
S'introduisent dans les affaires :
Ils font partout les nécessaires,
Et, partout importuns, devraient être chassés.
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?16,1535960,1536300#msg-1536300
Tu décris un ordre strict dans ton post.
Dans les prépas/facs les étudiants ont affaire à des ordres larges (le mot ordre abrégeant systématiquement ordre large).
i.e. des $(E,S)$ avec $S$ transitive et de plus
(i) pour tout $x\in E$, $(x,x)\in S$
(ii) pour tous $x,y\in E$, $(x,y)\in S \wedge (y,x)\in S \Rightarrow x=y$.
C'est la première fois de ma vie que je vois suggérer que l'ordre strict devrait être prioritaire.
L'égalité, l'inclusion ensembliste, la relation $\{(a,b) \in A^2\mid a=ab\}$ dans un anneau de boole $A$ ... sont des relations d'ordre (large).
Les relations $F\vdash G$ (ssi $F\to G$ est prouvable) (dans un ensemble de formules logiques, et pour autant que je sache peu importe la logique), "$E \text{ s'injecte dans } F$", "$F^E$" est non vide, ... sont des préordres (larges).
Un ensemble préordonné (large) est aussi une catégorie petite avec au plus morphisme pour chaque couple d'objets.
Bonjour l'alourdissement des énoncés si on change cette convention.
En fait ce n'est pas tant pour les ordres que pour les pré ordres que ton argument est encore plus sensible.