Propriété fondamentale de N

Ta démonstration est correcte (bien que la rédaction ne soit pas parfaite, notamment pour l'initialisation mais c'est un détail). Quelle était l'indication de ton professeur ?

Autre argument : toute partie majorée de $\mathbb N$ est finie, et tout ensemble fini totalement ordonné a un plus grand élément. Non ?

Comme d'habitude, tout dépend de ce que le professeur donne dans son cours, comme résultats démontrés ou admis.

Le Coche et la Mouche

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Dans un chemin montant, sablonneux, malaisé,
Et de tous les côtés au Soleil exposé,
Six forts chevaux tiraient un Coche.
Femmes, Moine, vieillards, tout était descendu.
L'attelage suait, soufflait, était rendu.
Une Mouche survient, et des chevaux s'approche ;
Prétend les animer par son bourdonnement ;
Pique l'un, pique l'autre, et pense à tout moment
Qu'elle fait aller la machine,
S'assied sur le timon, sur le nez du Cocher ;
Aussitôt que le char chemine,
Et qu'elle voit les gens marcher,
Elle s'en attribue uniquement la gloire ;
Va, vient, fait l'empressée ; il semble que ce soit
Un Sergent de bataille allant en chaque endroit
Faire avancer ses gens, et hâter la victoire.
La Mouche en ce commun besoin
Se plaint qu'elle agit seule, et qu'elle a tout le soin ;
Qu'aucun n'aide aux chevaux à se tirer d'affaire.
Le Moine disait son Bréviaire ;
Il prenait bien son temps ! une femme chantait ;
C'était bien de chansons qu'alors il s'agissait !
Dame Mouche s'en va chanter à leurs oreilles,
Et fait cent sottises pareilles.
Après bien du travail le Coche arrive au haut.
Respirons maintenant, dit la Mouche aussitôt :
J'ai tant fait que nos gens sont enfin dans la plaine.
Ca, Messieurs les Chevaux, payez-moi de ma peine.
Ainsi certaines gens, faisant les empressés,
S'introduisent dans les affaires :
Ils font partout les nécessaires,
Et, partout importuns, devraient être chassés.

@christophe c
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?16,1535960,1536300#msg-1536300
Tu décris un ordre strict dans ton post.

Dans les prépas/facs les étudiants ont affaire à des ordres larges (le mot ordre abrégeant systématiquement ordre large).
i.e. des $(E,S)$ avec $S$ transitive et de plus
(i) pour tout $x\in E$, $(x,x)\in S$
(ii) pour tous $x,y\in E$, $(x,y)\in S \wedge (y,x)\in S \Rightarrow x=y$.

christophe c a écrit:

(en même temps, quelle drôle d'idée des programmes académiques d'avoir choisi cette mauvaise présentation des choses, mais ça ne date pas d'hier)

C'est pour faire comme tout le monde. La majorité des relations transitives des maths en pratique sont des ordres et préordres (larges).
C'est la première fois de ma vie que je vois suggérer que l'ordre strict devrait être prioritaire.

L'égalité, l'inclusion ensembliste, la relation $\{(a,b) \in A^2\mid a=ab\}$ dans un anneau de boole $A$ ... sont des relations d'ordre (large).

Les relations $F\vdash G$ (ssi $F\to G$ est prouvable) (dans un ensemble de formules logiques, et pour autant que je sache peu importe la logique), "$E \text{ s'injecte dans } F$", "$F^E$" est non vide, ... sont des préordres (larges).

Un ensemble préordonné (large) est aussi une catégorie petite avec au plus morphisme pour chaque couple d'objets.

Bonjour l'alourdissement des énoncés si on change cette convention.