Étude d'une potentielle bijection
Bonjour
Je prends $f:[0,1[^2\rightarrow [0,1[$ définie par $f(x,y)=0,x_1y_1x_2y_2\ldots$ où $x=0,x_1x_2\ldots$ et $y=0,y_1y_2\ldots$ avec la règle qui fait qu'on choisit la représentation de $x$ et $y$ qui finit par une infinité de $0$.
Il est demandé d'étudier l'injectivité et la surjectivité de $f$. Je ne suis pas sur de moi car ça me paraît un peu simple et j'ai peur d'être passé à côté d'un truc :
1) Injectivité. Si $(x,y)$ et $(z,t)$ dans $[0,1[^2$ vérifient $f(x,y)=f(z,t)$ alors $0,x_1y_1\ldots=0,z_1t_1\ldots$ donc $\forall i,\ x_i=z_i$ et $y_i=t_i$ donc $x=z$ et $y=t$ donc $(x,y)=(z,t)$.
2) Surjectivité. Soit $z=0,z_1z_2z_3\ldots$ dans $[0,1[$. Alors en posant $x=0,z_1z_3z_5\ldots$ et $y=0,z_2z_4z_6\ldots$ on a $f(x,y)=0,x_1y_1x_2y_2\ldots=0,z_1z_2z_3z_4\ldots=z$.
Je prends $f:[0,1[^2\rightarrow [0,1[$ définie par $f(x,y)=0,x_1y_1x_2y_2\ldots$ où $x=0,x_1x_2\ldots$ et $y=0,y_1y_2\ldots$ avec la règle qui fait qu'on choisit la représentation de $x$ et $y$ qui finit par une infinité de $0$.
Il est demandé d'étudier l'injectivité et la surjectivité de $f$. Je ne suis pas sur de moi car ça me paraît un peu simple et j'ai peur d'être passé à côté d'un truc :
1) Injectivité. Si $(x,y)$ et $(z,t)$ dans $[0,1[^2$ vérifient $f(x,y)=f(z,t)$ alors $0,x_1y_1\ldots=0,z_1t_1\ldots$ donc $\forall i,\ x_i=z_i$ et $y_i=t_i$ donc $x=z$ et $y=t$ donc $(x,y)=(z,t)$.
2) Surjectivité. Soit $z=0,z_1z_2z_3\ldots$ dans $[0,1[$. Alors en posant $x=0,z_1z_3z_5\ldots$ et $y=0,z_2z_4z_6\ldots$ on a $f(x,y)=0,x_1y_1x_2y_2\ldots=0,z_1z_2z_3z_4\ldots=z$.
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Réponses
Pour moi $g$ n'est pas bien définie, par exemple en $x=0,91919191919191....$, n'est-ce pas ? En effet, on aurait $g(x)=(1;0,111111111...)\notin [0,1[^2$
PS : je suppose qu'il y a une erreur de frappe : $x_4$ à la place de $x_5$
Dans notre cas très précis, il y a un problème chaque fois que l'une des deux suites de l'image stationne à $9$. Mais là, il y en a un nombre non dénombrable (pourquoi ?). Est-ce qu'on peut y remédier ?