Démonstration ensemble

Bonjour.

Si tu n'es pas sûr, c'est que tu n'as pas toujours appliqué des règles. Regarde où il manque une application de règle et prouve ce que tu écrivais par application de règles.

Je n'aime pas trop cette rédaction avec des $\Rightarrow$ sans rien avant. Question de goût ?

Une équivalence, c'est la conjonction de deux implications, généralement nommées "condition nécessaire" et "condition suffisante".

Voilà donc comment tu pourrais organiser ta preuve.

Condition Nécessaire (C.N.)
Montrons : $A \subset B \Rightarrow A \cap \bar{B} = \varnothing$
...

Condition Suffisante (C.S.)
Montrons : $ A \cap \bar{B} = \varnothing \Rightarrow A \subset B $
...

Conclusion :
...

CN.
On suppose $A \subset B$. Il faut montrer une égalité ensembliste, donc une double inclusion. Montrons ces deux inclusions.
(i) $\varnothing \subset A \cap \bar{B}$ : c'est vrai car $A$ et $B$ sont des ensembles, donc contiennent l'ensemble vide, et l'intersection de eux et/ou de leur complémentaire le contiennent également.
(ii) $A \cap \bar{B} \subset \varnothing $ : ...

CS.
On suppose $A \cap \bar{B} = \varnothing$. Il faut montrer une inclusion.
Soit $x\in A$...

Conclusion :
...