Image d'une application

mpsi_quatre · October 2017

Bonjour

J'ai une question, si par exemple on considère l'application $f:x\mapsto ln(x)$, alors on sait que $f(x)$ n'a un sens que si $x$ est strictement positif.

Est-ce que par contre pour l'expression de l'image, on peut écrire $f(I)$, avec $I$ une partie de $\mathbb R$ pouvant contenir des éléments $x$ pour lesquels $f(x)$ n'est pas défini ? Et du coup, on aurait $f(I)=f(I\cap D)$ avec $D$ l'ensemble des $x$ tels que $f(x)$ a un sens. Par exemple, on aurait $f(]-1,1])=]-\infty, 0]=\mathbb R_-$.

Conique · October 2017

Bonjour,
l'image de $I$ par $f$, c'est l'ensemble : $f(I) = \{ f(x) \;, \; x \in I \}$. S'il existe un élément de $I$ sur lequel $f$ n'est pas définie, $f(I)$ n'est pas défini. Donc $f(]0,1])$ est défini, mais pas $f(]-1,1])$.
Une application est définie, entre autre, par son ensemble de définition. En effet, $f$ définie sur $\mathbb{R}_{-}^*$ n'est pas la même fonction que $f$ définie sur $]1,2]$. Cela parait clair. Mais, pour répondre à ta question, dès lors qu'on se donne une ensemble de définition pour une application, il n'y a, à ma connaissance, pas de "sous-entendu" qui consisterait à s'autoriser à prendre des points modulo (inter) cet ensemble de définition - si j'ai bien compris ce que tu proposais. Tous les calculs d'images se font de manière "explicite". Je n'ai pas d'argument convaincant à te proposer, si ce n'est que c'est comme cela que l'on fait. Espérons que quelqu'un ait un argument plus solide.

Math Coss · October 2017

L'expression « l'application $f:x\mapsto\ln x$ » ne suffit pas pour définir une application. Pour définir une application, il faut aussi se donner l'ensemble de départ et l'ensemble d'arrivée.

Dans ce cas très précis, on peut considérer que c'est implicite et que c'est l'application $f:\R^{+*}\to\R$, $x\mapsto\ln x$.

Pour une application générale $f:E\to F$, la notation $f(A)$ désigne l'ensemble des $y$ de $F$ pour lesquels il existe $x\in A$ tel que $y=f(x)$. Si j'étais professeur en MPSI, je ne considérerais pas que $f(A)$ est bien défini si $A$ n'est pas une partie de $E$.

(Si j'étais Christophe C, je rétorquerais sans doute que pff, évidemment que ça a un sens ! L'écriture $y=f(x)$ signifie que $(x,y)$ appartient au graphe de $f$ [bon, en fait, je ne ferais pas de différence entre la fonction et son graphe] et qu'on peut bien se demander si $(x,y)$ appartient ou pas au graphe même si $x$ n'appartient pas à l'ensemble de départ de $f$. Mais je ne suis pas Christophe C, qui décidément a une grande emprise sur ce forum.)

mpsi_quatre · October 2017

Merci.

J'ai deux autres exemples de calculs d'images qui me bloquent :

1) $f:\mathbb R\rightarrow\mathbb R, x\mapsto 1+x^2+x^3, I=[-4/5,1/6]$

Le corrigé dit que $f(I)=[1,31/27]$, c'est faux non ?

Moi je trouve $f(I)=[f(1/6),f(-4/5)]=[223/216,141/125]$ sachant qu'en étudiant les variations de $f$ (dérivable sur $\mathbb R$), j'ai trouvé :
$f$ croissante sur $]-\infty, -2/3]$
$f$ décroissante sur $[-2/3,0]$
$f$ croissante sur $[0,+\infty[$
$f(0)=1$

2) $f:\mathbb R\rightarrow\mathbb R, x\mapsto x+E(x)$, $E$ partie entière et $I=\mathbb R_+$. Ici, je ne sais pas comment m'y prendre...

Math Coss · October 2017

1) À quoi ça sert d'étudier la fonction si tu n'utilises pas les résultats ? La question est : sur le dessin ci-dessus, quelles sont les ordonnées des points de la courbe qui sont en vert ?

2) Commence par faire un dessin, disons sur $[-3,3]$, en distinguant des sous-intervalles sur lesquels la valeur de la partie entière est constante. 68108

pldx1 · October 2017

Bonjour Math Coss.

Qu'est ce qu'un graphe ? C'est un ensemble de couples. Point barre. Qu'est-ce que ${\rm def}(g)$ ? C'est $\left\{ x \left| \exists y: (x,y) \in g \right. \right\}$. Qu'est-ce que ${\rm im}(g)$ ? C'est $\left\{ y \left| \exists x: (x,y) \in g \right. \right\}$. Qu'est-ce qu'un graphe fonctionnel ? C'est un graphe tel que $(x,y)\in g$ et $(x,z)\in g$ impliquent $y=z$ , et ceci génériquement. Et alors la notation $g(x)$ devient claire et précise... pour les $x \in {\rm def}(g)$.

Lorsque l'on parle de l'extension aux parties, on a, par définition, $$f\left<A\right>\doteq \left\{ y \left| \exists x \in A: (x,y) \in g \right. \right\}$$ et cette correspondance, elle, est toujours fonctionnelle, quelle que soit la nature de la correspondance $g$. Evidemment, on suppose que le lecteur saura se débrouiller comme un grand lorsque l'on note $f\left<A\right>$ par $g(A)$.

A part cela, parmi les nombreux défauts de christophec, il y avait celui de ne pas pouvoir répondre lorsqu'il est absent. Penses-tu vraiment être capable de faire mieux à ce sujet ?

Cordialement, Pierre.

Math Coss · October 2017

Je ne comprends pas ce que tu veux dire, même pas si tu cherches à valider ou à invalider le message auquel tu réponds.

Chaurien · October 2017

Tout à fait d'accord avec Math Coss pour la définition d'une application $f$ et l'extension aux parties de l'ensemble de départ. C'est ainsi qu'on fait des maths au jour d'aujourd'hui.
Inutile de se demander ce qu'en dirait tel ou tel, à supposer même qu'on le comprenne, nous sommes assez grands pour savoir cela, même si nous ne cherchons pas à refonder les mathématiques ou démontrer HR. Fermons le bureau des pleurs et tournons la page.
Bonne soirée.
Fr. Ch.

pldx1 · October 2017

Il vaut mieux définir les choses de telle façon que l'on puisse se demander quel est l'ensemble de définition de la fonction $f: x\mapsto \frac {\sqrt{(x-1)(x-4)}} {x-5}$ (autrement dit, se demander comment restreindre la fonction $f$ pour obtenir une application).

De ce point de vue, http://licence-math.univ-lyon1.fr/lib/exe/fetch.php?media=pmi:algebre_ensembles.pdf est intéressant (et même de plusieurs autres points de vue).

Cordialement, Pierre.

Math Coss · October 2017

Je ne suis pas du tout d'accord : à bas la notion d'ensemble de définition ! D'ailleurs, si je comprends bien, la référence citée s'en passe complètement, non ?

Foys · October 2017

Comme évoqué plus haut une fonction est un ensemble $x$ dont tous les éléments sont des couples et tel que pour tous $a,b,c$, si $(a,b)\in x$ et $(a,c)\in x$ alors $b=c$.

-Si $x$ est une fonction, la théorie des ensembles basique (ZF, et donc aussi son raffinement habituel ZFC) entraîne l'existence d'un ensemble $a$ tel que pour tout $z$, $z$ appartient à $a$ si et seulement s'il existe $t$ tel que $(t,z)\in x$ (c'est une conséquence de la définition et du schéma de substitution). Ce $z$ s'appelle l'image de $x$.

-Si $u$ est encore une fonction, par le schéma de substitution à nouveau, il existe un ensemble $s$ tel que pour tout $a$, $a$ appartient à $s$ si et seulement s'il existe $b$ tel que $(a,b)\in u$. un tel $s$ s'appelle "ensemble de définition de $u$", ou encore domaine de $u$.

Si $m$ est un ensemble, et $P$ une formule a une variable libre $x$ (autrement dit une propriété), il existe (schéma de compréhension) un ensemble noté habituellement $\{x\in m \mid P(x)\}$ dont les éléments sont exactement les $k$ tels que $k\in m$ et $P[x:=k]$ (i.e. les éléments de $m$ satisfaisant $P$).

On utilisera l'abréviation suivante: $\{(u,v)\in m^2\mid Q(u,v)\}$ abrège $\{t \in m^2\mid \forall x\in m,\forall y \in m, (x,y)=t \implies Q(x,y)\}$.

Ainsi, la question suivante est une question de mathématiques.

Lesquels des ensembles suivants sont des fonctions? Parmi ceux qui en sont, quels sont leur ensembles de définition?

1°) $\{(a,b)\in \R^2 \mid ab=1\}$
2°) $\{(x,y)\in \R^2\mid \exp(y)=x \}$
3°) $\{ (p,q)\in \R^2 \mid \exists r \in \R: r\geq 0 \wedge r^2= (p-1)(p-4) \wedge r=q(p-5)\}$
4°) $\{(x,y) \in \R^2 \mid x=y^2\}$
5°) $\{(x,y) \in \R^2 \mid x=y^2 \wedge y \geq 0\}$
6°) $\{(u,v)\in \R^2 \mid vu=u^2\}$
7°) $\{(u,v)\in \R^2 \mid vu=u^2\wedge u \neq 0\}$

Math Coss · October 2017

Je proteste (who cares?) : il est très utile de garder une trace de l'ensemble de départ et de l'ensemble d'arrivée et donc de ne pas réduire une fonction à son graphe. Bien sûr, ça n'est utile que dans deux situations « rares » : quand le graphe est vide, pour distinguer les applications $\emptyset\to\{1,2\}$ et $\emptyset\to\R$ par exemple, ou dans le cas d'opérateurs définis seulement sur un sous-espace dense (là, il est indispensable de garder une trace de l'espace ambiant).

Edit : changement de $\R\to\emptyset$ en $\emptyset\to\R$.

Chaurien · October 2017

@ Foys
Aurais-tu des références pour cette définition d'une fonction ? Ou bien est-ce de ton invention ?
Identifies-tu fonction et application ?
Merci.
Fr. Ch.

Foys · October 2017

Bonjour,

1) On pourra trouver la définition de fonction que j'ai donnée dans le livre http://www.eyrolles.com/Sciences/Livre/introduction-a-la-logique-9782100067961 au chapitre où est définie la théorie des ensembles ou encore sous une forme un peu différente, dans le livre "Théorie des ensembles" de J.-L Krivine (une relation fonctionnelle dont le domaine de définition est un ensemble).

Dans la suite si $f$ est une fonction, je désignerai respectivement par $dom(f)$ et $im(f)$ l'ensemble de définition et l'image de $f$ (définitions déjà données, évidentes, et pour autant que je sache complètement consensuelles).

Pour ce qui est des applications:

2) Soient $a,b$ des ensembles. Une application de $a$ dans $b$ est une fonction $g$ telle que $dom(g)=a$ et $im(g) \subseteq b$.
L'écriture "$h:X\to Y$" est une abréviation de "$h$ est une application de $X$ dans $Y$".

3) Soient $E,F$ des ensembles, il existe un ensemble des applications de $E$ dans $F$ (par le schéma de compréhension, puisque une application de $E$ dans $F$ est un élément de l'ensemble des parties de $E\times F$ vérifiant une certaine propriété), celui-ci est souvent noté $F^E$(*)

4) L'ensemble vide $\emptyset$ est une fonction.
En effet tous les élements de $\emptyset$ sont des couples (dans le cas contraire il existe $t\in \emptyset$ tel que $t$ n'est pas un couple... impossible), de plus pour tous $a,b,c$ tels que $(a,b)\in \emptyset$ et $(a,c) \in \emptyset$, on a $b=c$ (sinon, comme ci-dessus, il existe $a',b',c'$ tels que $(a',b')\in \emptyset$ et (...) impossible à nouveau).

On voit que $dom(\emptyset)=\emptyset=im(\emptyset)$.

5) Soit $G$ un ensemble quelconque. Alors $G^{\emptyset}$ n'est jamais vide. Car $\emptyset\in G^{\emptyset}$ et c'est son seul élément. En effet, $\emptyset$ est une fonction, $dom(\emptyset)=\emptyset$ comme déjà signalé, et $im(\emptyset)=\emptyset \subseteq G$. Si $f:\emptyset \to G$ est une application quelconque, alors $f=\emptyset$, en effet supposons qu'il existe $x\in f$. Alors $x$ est un couple (définition d'une fonction, dont les applications de $\emptyset$ dans $G$ sont des cas particuliers). Donc $x$ est de la forme $(u,v)$. Donc $u\in dom(f)=\emptyset$ ce qui est impossible: contradiction.

6) Soit $H$ un ensemble non vide. Alors $\emptyset^H$ est vide (soit $u\in \emptyset^H$. Alors $dom(u)=H$ par définition, et $H$ étant non vide, soit $x\in H$. Alors il existe $y$ tel que $(x,y)\in u$ mais comme $im(u)\subseteq \emptyset$, $y\in \emptyset$: contradiction).

[size=x-small](*)NB: lorsque $p,k$ sont des entiers naturels, $E=\{1,...,k\}$ et $F=\{1,...,p\}$, l'ensemble des applications de $E$ dans $F$ possède $p^k$ éléments, c'est de là que provient cette notation).[/size]

Chaurien · October 2017

Merci foys de ces éclaircissements. Voici donc la fonction-pour-logiciens, admirable en sa perfection logique, belle comme un œuf.

On ne sait toujours pas ce qu'est une application, ni cet objet mathématique existe dans cet univers logique. Et une application surjective ?

On est pris de doute devant la légitimité d'un simple énoncé tel que : « soit l'application $f$ définie par : $f(x)=x^2$, de $ \mathbb R$ dans $\mathbb R$ ».

Pour un élève de MPSI, on conseillera de s'en tenir à des définitions plus habituelles, sans ZF, ZFC, schéma de substitution, schéma de compréhension, et autres concepts sans doute très utiles aux logiciens, mais dont on peut se passer pour s'adonner aux autres parties des mathématiques. On pourra se référer, entre autres sources, à Ramis, Deschamps Odoux, qui donne la définition usuelle d'une application, avec ensemble de départ, ensemble d'arrivée, graphe.

Bonne journée.
Fr. Ch.

Math Coss · October 2017

Tiens, un autre avantage de définir une application comme un triplet plutôt que comme son seul graphe, c'est que le graphe ne permet pas de décider du caractère injectif ou surjectif d'une application. Or je souhaite ardemment faire la différence entre $f:\R^+\to\R$, $x\mapsto x^2$ et $g:\R^+\to\R^+$, $x\mapsto x^2$.

Au passage, Krivine prend la peine de définir une fonction mais il semble utiliser injection, surjection et bijection comme des termes premiers...

Chaurien · October 2017

@ Math Coss
Si, le graphe dit si la fonction est injective, mais le mystère sur l'ensemble d'arrivée ne dit pas si elle est surjective. Pour ce que j'en ai compris, une fonction-pour-logicien est surjective ab ovo.
Bon si ça convient à ces spécialistes de travailler ainsi, très bien. Mais moi je suis de ceux qui continuent avec la définition habituelle RDO, et toi aussi si j'ai bien compris ?
Bonne journée.
Fr. Ch.

Siméon · October 2017

Ouvrez les yeux ! Foys a bien donné une définition d'application d'un ensemble dans un autre, et celle-ci est isomorphe à la vôtre...

Foys · October 2017

Chaurien a écrit:

On ne sait toujours pas ce qu'est une application, ni cet objet mathématique existe dans cet univers logique. Et une application surjective ?

Foys a écrit:

Pour ce qui est des applications:

2) Soient $a$,$b$ des ensembles. Une application de $a$ dans $b$ est une fonction $g$ telle que dom(g)=a$dom(g)=a$ et $im(g) \subseteq b$.

http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?16,1540606,1541184#msg-1541184

Bon, j'aurai pourtant essayé...

On parle de fonction, et on parle d'application de ceci vers cela. C'est comme ça qu'on peut raisonnablement parler d'une application surjective d'un ensemble dans un autre.

Math Coss a écrit:

Tiens, un autre avantage de définir une application comme un triplet plutôt que comme son seul graphe, c'est que le graphe ne permet pas de décider du caractère injectif ou surjectif d'une application. Or je souhaite ardemment faire la différence entre $f:\R_+ \to \R,x \mapsto x^2$ $g:\R_+ \to \R_+,x \mapsto x^2$.

J'aime bien lorsque, étant donnés $E,F,G$ des ensembles avec $F\subseteq G$, on a $F^E \subseteq G^E$. Apparemment ce n'est pas ton cas.
Ainsi $C^0(\R^2,\R_+)$ ne serait pas contenu dans $C^0(\R^2,\R)$...

Math Coss · October 2017

Bon, j'ai encore posté trop vite : le graphe suffit pour détecter l'injectivité – mais pas la surjectivité bien sûr.

Pour Krivine, « une application de $a$ dans $b$ est, par définition, une fonction de domaine $a$, dont l’image est contenue dans $b$. » Elle n'est pas nécessairement une surjection de $a$ sur $b$. C'est peut-être une surjection quand même. Enfin, après tout je n'en sais rien puisque la notion de surjection n'est pas définie.

Pour ma part (who cares?), une fonction est un triplet. Si je n'ai pas regardé trop vite, c'est la définition adoptée par Bourbaki dans Théorie des ensembles. (Mais bon, à la fin des fins, tout ça revient bien un peu au même...)

Siméon · October 2017

@Foys : distingues-tu les formules « $f(0) = 1$ » et « $(0,1) \in f$ » pour $f$ une fonction ?
Si oui, quelle valeur de vérité attribues-tu à « $f(0) = 1$ » lorsque $0 \notin \mathrm{dom}(f)$ ? vrai ? faux ? non défini ?

Math Coss · October 2017

Si $F\subset G$, il y a une injection canonique de $F^E$ dans $G^E$, qui consiste à composer avec l'injection canonique $F\to G$, $y\mapsto y$. Ça me laisse la possibilité d'identifier ou pas $F^E$ à son image donc je préfère que les deux ensembles soient distincts.

Je reviens à mon objection : on parle d'une application de $a$ dans $b$ mais ce n'est, sous la plume de Krivine, rien d'autre qu'une fonction qui donc ne voit pas $b$, seulement son image. Autrement dit, dire qu'une application de $a$ dans $b$ est surjective, c'est ajouter de l'information à la fonction sous-jacente. [Par exemple, l'application $\{1\}\to\{1\}$, $1\mapsto1$ est [i]égale[/i] à l'application $\{1\}\to\R$, $1\mapsto1$ : sont-elles toutes deux surjectives ? Ce serait désagréable !]

Aux circonlocutions près, il me semble que c'est une question de sensibilité : on a d'un côté une volonté de tout intégrer dans un monde uniforme, dans lequel les seuls objets sont les ensembles ; de l'autre, un monde plus « typé », qui rappelle un peu les catégories, où une application possède une source et un but.

Foys · October 2017

Les gens qui font des catégories (ou du typage) préfèrent eux aussi faire figurer explicitement ensembles de départ et d'arrivée dans la définition (dans ces formalismes, deux types quelconques sont censés être égaux ou disjoints, en particulier $B^A$ et ${B'}^{A'}$ lorsque $A,A',B,B'$ sont des ensembles). Ca revient à qualifier d'application un triplet $(p,q,r)$ où $r$ est une fonction telle que $dom(r)=p$ et $im(r)=q$ (et non pas simplement $r$ comme je l'ai fait). Mails la théorie des ensembles permet de s'épargner ces complications. De toute façon comme dit plus haut ça revient au même, tout est isomorphe.

Siméon · October 2017

@Foys : sauf lecture trop rapide de ma part, tu n'as défini nulle part ce qu'est une « application » tout court. Et quitte à le faire, il me semble assez consensuel qu'une application possède un ensemble de départ et un ensemble d'arrivée.

Foys · October 2017

Ca n'existe pas une application "tout court". S'il faut préciser des ensembles de départ et d'arrivée on en revient aux définitions déjà dites.

Pourquoi définir des fonctions sans s'apesantir sur leur ensemble de définition à l'avance est encore pertinent?
Parfois il est impossible de déterminer l'appartenance d'un élément à l'ensemble en question. Pour un exemple simple, soit $X$ l'ensemble des fonctions partielles de $\N \to \N$ (autrement dit l'ensemble des fonctions -au sens où je les ai définies- $f$ telles que $dom(f)\subseteq \N$ et $im(f) \subseteq \N$). Soit $Y$ le sous-ensemble de $X$ constitué des fonctions récursives. Soit $\varphi: \N \to Y$ une application surjective quelconque (une machine de Turing universelle aux notations près) objet qui est définissable en théorie des ensembles.
Losque $\varphi$ est assimilée (canoniquement) à une fonction partielle à deux variables , il est parfois impossible, étant donné $(x,y)\in \N^2$, de savoir si $(x,y)\in dom(\varphi)$.

Siméon · October 2017

Tout doux, ce n'est pas moi qui ai écrit :

Foys a écrit:

Ca revient à qualifier d'application un triplet $(p,q,r)$ où $r$ est une fonction telle que $dom(r)=p$ et $im(r)=q$ (et non pas simplement $r$ comme je l'ai fait).

Tu n'as pas besoin de me persuader de l'intérêt de définir les fonctions comme tu le fais, je suis déjà d'accord. Mais dire que la notion d'application tout court n'existe pas est soit absurde, soit vide de sens (selon qu'on définisse cette notion ou pas).

P.S. Je ne cherche pas à troller, ta réponse à http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?16,1540606,1541274#msg-1541274 m'intéresserait vraiment.

Foys · October 2017

@Siméon
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?16,1540606,1541274#msg-1541274
L'un des problèmes de ZFC (mais aussi des autres manières d'aborder ces sujets) est que la notation $f(0)=1$ ne fait pas partie du formalisme de base (mais une abréviation commode, sinon indispensable en pratique). Et en logique du premier ordre, un symbole de fonction est "défini" a priori partout.

On peut consulter: https://en.wikipedia.org/wiki/Conservativity_theorem. et https://en.wikipedia.org/wiki/Functional_predicate

Une façon lourde (mais correcte) de procéder peut consister à adjoindre (cf lien ci-dessus) à ZFC un symbole de fonction à deux variables $\text{eval}$ non utilisé et d'introduire l'axiome $\forall x \forall y, R\left(x,y, \text{eval} (x,y)\right)$ où $R(a,b,c)$ est l'abréviation de $$ \left(D(a,b) \wedge (a,c)\in b\right) \vee \left( \neg D(a,b) \wedge c=\emptyset \right)$$ et $D(a,b)$ abrégeant "$b$ est une fonction et $a\in dom(b)$.

-En résumé on envoie tout ce qui n'est pas proprement défini sur l'ensemble vide mais d'autres choix seraient possibles.
Pour tous ensembles $E,F$, toute application $g:E,F$, et tout $x\in E$, $(x,\text{eval}(g,x))\in g$. Donc en fait $\text{eval}(g,x)$ est l'élément que l'on note habituellement $g(x)$. Donc on pourra convenir qu'étant donnés deux $p,q$ quelconques, $p(q)$ est l'abréviation de $\text{eval}(p,q)$.

De même si $f$ est une fonction quelconque, pour tout $x$ appartenant à $dom(f)$, $f(x)$ est l'unique objet tel que $\big( x,f(x)\big)\in f$.

Est-ce que cela est différent de la pratique usuelle des mathématiques? Non puisque dans la pratique normale des mathématiques, on vérifie toujours si $u$ est dans l'ensemble de définition de $\psi$ avant même d'écrire $\psi(u)$ et de le faire figurer dans un énoncé quelconque.

Un exemple:
Soient $f,g$ deux fonctions quelconques. Il existe un ensemble (noté $g \circ f$) tel que tous les éléments de $g \circ f$ sont des couples et pour tous $a,b$, $(a,b) \in g \circ f$ si et seulement si il existe $t$ tel que $(a,t) \in f$ et $(t,b) \in g$. Il s'avère que
(i) $g \circ f$ est une fonction.
(ii) $dom(g \circ f)= \{x \in dom(f) \mid f(x) \in dom(g)\}$
(iii) pour tous $y \in dom(g \circ f)$, $g \left ( f (y)\right )= g \circ f (y)$ (si $y\notin dom(g \circ f)$ des mauvaises surprises sont possibles mais où est le problème...).

Siméon a écrit:

@Foys : distingues-tu les formules « $f(0)=1$ » et « $(0,1)\in f$ » pour f une fonction ?

oui

Siméon a écrit:

Si oui, quelle valeur de vérité attribues-tu à « $f(0)=1$ » lorsque $0 \notin dom(f)$? vrai ? faux ? non défini ?

Voir ci-dessus.
mais si on fait des maths "normalement" (si j'ose dire) on n'est jamais dans cette situation, c'est comme les comportements non définis dans les langages de programmation (la machine, elle, fera toujours quelque chose).

Math Coss · October 2017

Ah ! Ça, c'est une motivation compréhensible !

skilveg · October 2017

Pourquoi s'écharper sur des questions de définitions ? N'y a-t-il pas aussi, selon les langues, plusieurs définitions de ce qu'est un nombre positif, un compact, un corps, et j'en passe ? L'important n'est-il pas d'utiliser des termes définis de manière explicite et non ambigüe, même si la définition diffère un chouïa de celle du voisin ? Avoir des dogmes, pourquoi pas, tant qu'on les définit clairement...

Pour ce qui est de la question initiale, je pense à titre personnel qu'une réponse valable est "définis la notation que tu veux, du moment que c'est explicite et que ça ne rentre pas en conflit avec tes autres notations (et éventuellement celles de ton prof, ou plus généralement de ton interlocuteur, si tu souhaites éviter de le froisser)".

Math Coss · October 2017

C'était une écharpatoire qui donnait moins envie de fuir que d'autres récentes. Ça a pris un peu de temps mais cela a permis de mettre en évidence des motivations pour inclure ou pas les ensembles de départ et d'arrivée dans la définition d'une application, ce n'est pas complètement vain.

Quant à la liberté de définir les notions comme on veut, je ne suis pas sûr qu'elle soit si répandue quand on est étudiant. Et sur le forum, elle n'est pas aussi universellement reconnue qu'elle devrait, je trouve.

Bon, un article récent sur les définitions qui m'a intéressé.

pldx1 · October 2017

Bonjour,

Le "Ramis-Deschamps-Odoux" n'a aucune propriété miraculeuse: si on ne l'ouvre pas, il n'y a pas moyen de savoir ce qu'il y a dedans. La sous-section 1.2.3 Applications du tome I commence par définir ce qu'est un graphe. C'est un ensemble dont les éléments sont des couples. Et c'est tout. Ensuite de quoi, la Sainte Trinité définit ce qu'est une correspondance: c'est un triplet $\Gamma,E,F$ avec $\Gamma\subseteq E\times F$. Avec pour commentaire: $E$ est l'ensemble de départ, $F$ l'ensemble d'arrivée, $\Gamma$ le graphe, $pr_{1}\left(\Gamma\right)$ est l'ensemble de définition, $pr_{2}\left(\Gamma\right)$ est l'ensemble image. Ensuite viennent les graphes fonctionnels. Enfin, et enfin seulement, viennent les applications (fonctionnelles et partout définies).

L'idée n'est pas de définir les correspondances "en toute généralité", dans le monde éthéré des collections et de ZFC-D. Cela, ce serait enseigner le programme de doctorat avant celui de la licence. Mais l'idée semble être de définir les correspondances avec toute la généralité dont on aura besoin au niveau où l'on se place. Autrement dit, les auteurs du RDO tome 1 semblent avoir voulu préparer le terrain aux auteurs du RDO tome 3, où il y aura un tas d'histoires d'images directes et d'images réciproques de compacts, de connexes, d'ouverts, de fermés, tout ça, tout ça.

Pour prendre un exemple, partons du processus qui consiste à prendre $\def\rr{\mathbb{R}}$ $x$ (supposé réel, pour fixer les idées) et calculer $\left(x-1\right)\left(x-3\right)$. Cela marche tout le temps, et le calcul ne va pas se mettre à générer deux résultats pour le même $x$ de départ. Ce procédé définit donc une application $f:\rr\hookrightarrow\rr:x\mapsto x^{2}-4x+3$, dont le graphe $g$ est composé des couples $\left(x,x^{2}-4x+3\right)$. Ainsi $\left(-1;8\right),\left(1;0\right),\left(4;3\right)\in g$.

En résumé: définir $g$ par $\left\{ \left(x,g(x)\right)\left|x\in E\right.\right\} $ est une embrouille pour une application, et une erreur pour une pazuneapplication.

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$\def\nn{\mathbb{N}} {}\def\tra#1{{{\vphantom{#1}}^{t}{#1}}}$ Et maintenant, faisons faire un quart de tour à la feuille de papier sur laquelle le graphe est tracé. Ce que l'on voit désormais, c'est le graphe transposé, c'est à dire le graphe obtenu en transposant des deux éléments de chaque couple. On a donc $\left(8;-1\right),\left(0;1\right),\left(3;4\right),\;etc\;\in\tra g$.

On voit du premier coup d'oeil que le graphe $\tra g$ n'est pas fonctionnel. On peut toujours dire que $\tra g$ est un pazunefonction, ou un ne_prononcez_pas_son_nom_c_est_interdit. La Sainte Trinité a choisi de donner un nom explicite à ce genre d'objet. Bilan: écrire $\tra g\left(8\right)=-1$ serait tartouille stupide, parce que la notation fonctionnelle ne s'utilise qu'avec les fonctions, pas avec les correspondances "générales".

Pour ce qui est de l'extension aux parties, on a \[ \tra g\left\langle \left\{ 8\right\} \right\rangle =\left\{ y\left|\left(8,y\right)\in\tra g\right.\right\} =\left\{ x\left|\left(x,8\right)\in g\right.\right\} =\left\{ -1,+5\right\} \] De même, on a: \[ \tra g\left\langle \left[-15;+15\right]\right\rangle =\left\{ y\left|\exists x\in\left[-15;+15\right]:\left(x,y\right)\in\tra g\right.\right\} =\left\{ u\left|\exists v\in\left[-15;15\right]:\left(u,v\right)\in g\right.\right\} =\left[-2;+6\right] \] Dans cette affaire, $-15\in F$ n'est en correspondance avec personne, tandis que $+15\in F$ est en correspondance avec deux valeurs.

La propriété "miraculeuse" de cette extension aux parties est qu'elle définit, tout le temps et toujours, une application de $\mathfrak{P}\left(E\right)$ dans $\mathfrak{P}\left(F\right)$, quelque soit la "nature" du graphe $g$, même si le graphe est un cercle et que l'on en est aux théorèmes des fonctions implicites.

Cela, ce n'est pas les maths "d'au jour d'aujourd'hui". Ce sont les maths du mois prochain: comme il s'agit d'une seule et même personne, le prof d'algèbre d'une prépa a tendance à faciliter la vie du prof d'analyse de cette même prépa, et vice versa. Quand on en est aux correspondances, la continuité, cela arrive à grand pas... et à un moment où un autre, il faudra bien, en plus, se résigner à utiliser la notation $f^{-1}\left(\left[-15;+15\right]\right)$, qui est embrouillante au possible... mais qui est la notation usuelle.

Je ne sais pas pourquoi, mais j'ai l'impression que Chaurien a de bonnes raisons pour savoir tout cela.

Cordialement, Pierre.

Math Coss · October 2017

Après avoir fait faire un quart de tour à la feuille, le lecteur est-il aussi invité à passer sous la table pour la regarder en transparence (la feuille, pas la table) ?

“Symmetric functions and Hall polynomials” par Ian Macdonald a écrit:

Some authors (especially Francophones) prefer the convention of coordinate geometry (in which the first coordinate incerases from left to right and the second coordinate from bottom to top) and define the diagram of $\lambda$ to be the set of $(i,j)\in\Z^2$ such that $1\le i\le \lambda_j$. Readers who prefer this convention should read this book upside down in a mirror.

NB : Je réserverais $\hookrightarrow$ pour les injections.

Foys · October 2017

Quelques remarques.
-Un graphe est un ensemble de couples (la démarche active consistant à ajouer à la définition la mention, d'un triplet ne fait que la rallonger sans gain particulier). Une fonction est un cas particulier de graphe.

-Soit $g$ un graphe , on note $g^{-1}$ l'ensemble $\{(y,x) \mid (x,y) \in g\}$ (on montre qu'un tel ensemble existe via des utilisations répétées du schéma de substitution). Si par exemple $f$ est une fonction, $f$ est injective si et seulement si $f^{-1}$ est une fonction. Le cas échéant, si de plus $E$ et $F$ sont des ensembles tels que $f$ est une surjection (et donc une bijection en l'espèce) de $E$ dans $F$, $f^{-1}$ désigne bien la "bijection réciproque" de $f$ .

-Si $g$ est un graphe et $A$ un ensemble quelconque, il existe un ensemble que l'on désigne (s'il n'y a pas de confusion) par $g(A)$ et qui est tel que pour tout $t$, $t\in g(A)$ si et seulement si il existe $s\in A$ tel que $(s,t)\in g$ (autrement dit $g(A)= \{y\mid \exists x\in A : (x,y) \in g\}$.

Math Coss · October 2017

Foys a écrit:

(la démarche active consistant à ajouter à la définition la mention, d'un triplet ne fait que la rallonger sans gain particulier)

Je retire : c'était vain.

GG · October 2017

Bonjour,
les applications

$f : R_+ \to R$
$ x \mapsto x^2$

$g : R_+ \to R_+$
$x \mapsto x^2 $

sont distinctes. L'une admet une application réciproque, l'autre pas. Elles possèdent pourtant le même graphe.
Les confondre en les identifiant à leur graphe fait perdre une information essentielle.

C'est comme si on définissait un graphe simple (de la théorie des graphes), donc non orienté et sans boucles, par un ensemble U de paires en lieu et place d'un couple (S, U) de sommets et de paires de sommets.

pldx1 · October 2017

Une application est un cas particulier de fonction: c'est le cas où la fonction est partout définie.

Et donc il faut avoir la notion d'ensemble de définition (contrairement à ce que dit Math Coss), ainsi que la notion d'ensemble de départ (contrairement à ce que dit Foys).

Pour avoir une bijection, il faut quatre choses:
* définition=depart
* image=arrivée
* le graphe est fonctionnel
* le graphe transposé est fonctionnel

Cordialement, Pierre.

Foys · October 2017

Foys a écrit:

2) Soient $a$,$b$ des ensembles. Une application de $a$ dans $b$ est une fonction $g$ telle que $dom(g)=a$ et $im(g) \subseteq b$.

ici:http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?16,1540606,1541184#msg-1541184

voir aussi: http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?16,1540606,1541268#msg-1541268

Math Coss · October 2017

Je détaille ce que je voulais dire par « à bas la notion d'ensemble de définition » plus haut. À part dans des situations très particulières (opérateurs, fonctions rationnelles en géométrie algébrique) on n'a pas besoin de considérer des fonctions qui ne sont pas des applications ni par conséquent de distinguer l'ensemble de départ de l'ensemble de définition. Va pour la notion d'ensemble de définition.

Reste que la formulation classique des exercices du genre « quel est l'ensemble de définition de la fonction $x\mapsto\sqrt{1-x^2}$ ? » n'a pas de sens (on peut demander « pour quels réels $x$ l'expression $\sqrt{1-x^2}$ est-elle définie ? » puis définir une application à partir de là ; mais pas déclarer qu'on associe quelque chose qui n'existe pas à certains $x$ pour dire (piteusement ?) trois minutes après : « oh ! non, finalement, on n'associe rien à $x$. ») – c'est l'origine du slogan ci-dessus.

Enfin, il pourrait être pertinent de remettre en question l'idée qu'il y a une définition universelle adaptée à tous, tout le temps : visiblement, il y a des pratiques légèrement différentes dans des communautés différentes, même pour des objets aussi fondamentaux que les fonctions. Mais ce n'est pas si grave : pour « parallélogramme », « sinus », « nombre réel » ou « nombre complexe » non plus, il n'y a pas une définition unique, pourtant on finit par s'entendre.

Siméon · October 2017

@Foys, ci-dessus http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?16,1540606,1541400#msg-1541400

Merci d'avoir pris le temps de répondre.

J'ai posé cette question car je trouve au contraire que le problème apparaît couramment dans la pratique normale des maths. On ne tremble pas (à raison, comme tu le soulignes) en écrivant $[\forall x \in \R,\ ( (x \neq 0) \Rightarrow (x \times \frac1x = 1))]$, bien que ceci entraîne $[(0 = 0) \text{ ou } (0 \times \frac 10 = 1)]$.

Siméon · October 2017

@Math Coss, je pense que tu tournes en rond : remplacer fonction par expression ne change rien à l'affaire si tu ne précises par tes définitions. Celle qui a été donnée par Foys rend parfaitement compte de la question « pour quels réels $x$ existe-t-il $y \in \mathbb R_+$ tel que $y^2 = 1-x^2$ ? » puisque la fonction $x \mapsto \sqrt{1-x^2}$ sera alors précisément l'ensemble des couples $(x,y)$ tels que $[(x \in \mathbb R) \text{ et } (y \in \mathbb R_+) \text{ et } (y^2 = 1-x^2)]$.

GG · October 2017

@Foys,
si je te suis bien, en appelant G l'ensemble des couples (x, x²) tels que $x \in R_+$, pour toi, les énoncés suivants sont vrais:

G est un graphe fonctionnel
G est une fonction
G est une application de R₊ dans R
G est une application de R₊ dans R₊

n'est-ce pas ?
De plus, tu ne donnes aucune définition de l'énoncé "p est une application", c'est bien ça ?

Math Coss · October 2017

@Siméron : Je reconnais qu'« expression » reste dans un flou commode, justement parce que ce n'est pas une expression mathématique. Mais l'utilisation de ce mot déplace un peu le problème. La formule $\sqrt{1-x^2}$ est bien formée, pourtant (je crois que) ne peux pas remplacer $x$ par n'importe quel objet pour en tester la valeur de vérité – par exemple, prendre pour $x$ un triangle équilatéral. Mais dans la locution « Soit $f:\R\to\R$, $x\mapsto\sqrt{1-x^2}$ », cela me gêne d'écrire une expression dont l'existence est testée plus tard.

On peut effectivement demander pour quels réels $x$ il existe $y$ positif tel que $y^2=1-x^2$. Dans le cadre d'un exercice, c'est donner une partie de la réponse et ça devient vraiment lourd pour un exemple donné plus haut, $\frac{\sqrt{(x-2)(x-5)}}{x-6}$.

j'adorelessciences · October 2017

Moi mon prof de maths il m'a toujours dit : l'ensemble de definition c'est [size=x-medium]tous[/size] les x où la fonction est définie.
Apres ca, on appelle des restrictions les autres celles qui sont definies sur moins de points.

Siméon · October 2017

@Marth Coss : tu en reviens à la question que j'ai posée à Foys concernant l'écriture « $f(x)$ » lorsque $x$ n'est pas dans le domaine de $f$. Il y a répondu plus haut http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?16,1540606,1541400#msg-1541400.

Pour revenir à $x \mapsto \sqrt{1-x^2}$, j'ai effectivement court-circuité l'exercice (étais-je censé en rédiger une solution ?). Cette fonction est définie sans ambiguïté par composition de $x \mapsto 1 - x^2$ et de $y\mapsto \sqrt{y}$, c'est-à-dire des fonctions $\{(x,y) \in \R^2 \mid y = 1-x^2\}$ et $\{(y,z) \in \R^2 \mid z^2 = y \text{ et } z \geqslant 0\}$. On obtient ce que j'avais écrit si on applique la définition de la composition rappelée par Foys.

Je comprends ta gêne car je pensais encore comme toi il y a quelques années. J'ai changé d'avis quand j'ai dû préparer un cours où il me fallait définir cette notion de domaine de définition. Une pirouette lexicale comme « l'expression $f(x)$ est bien définie » ou « $f(x)$ existe » ne résout rien, c'est juste une façon maladroite de cacher le problème sous le tapis.

P.S. Je vous rejoins tout à fait quand toi et skilveg écrivez qu'il n'y a pas de définition universelle et que l'important est d'expliciter les siennes de façon non ambiguë. En revanche, définir ou ne pas définir une notion fait une grosse différence.

Foys · October 2017

Math Coss a écrit:

cela me gêne d'écrire une expression dont l'existence est testée plus tard.

Une très grosse partie des mathématiques consiste à étudier les propriétés d'un objet dont il est impossible de prouver l'existence: un modèle de ZF(C) (c'est le théorème de Gödel qui empêche ça).

On n'a pas toujours le luxe d'avoir les garanties de l'existence de ce dont on parle que ce soit à l'avance ou même après. Le raisonnement hypothético-déductif a été précisément mis en place pour pallier ce manque. Il y a lieu de distinguer les considérations syntaxiques (Les expressions sont-elles bien formées? La suite d'expressions est-elle une preuve?) des considérations sémantiques (est-ce que ça a un sens? Est-ce que c'est un nombre réel inférieur à 2? Est-ce que ce programme finira par s'arrêter? ).

skilveg · October 2017

Une première remarque : je ne comprends pas que l'on se crispe autour de la définition d'une correspondance comme étant un ensemble (son graphe). Pour moi, il s'agit uniquement de l'implémentation, dans ZF, de la notion "intuitive" de correspondance. Elle donne un sens, dans ZF, à la relation "$\overset{f}{\mapsto}$", qui peut tout aussi bien être considérée comme un symbole de relation (donc, purement syntaxique) si l'on ne s'occupe pas de fondements et de cohérence interne d'une théorie.

Ensuite, j'ai l'impression en suivant la discussion de voir se dégager deux positions :

* celle d'un typage "sévère", où l'on ne définit aucune correspondance sans spécifier d'ensembles de départ et d'arrivée, sous peine d'ambiguïté. Dans cette interprétation, on a une notion bien définie de domaine de définition d'une correspondance (car le domaine de départ est borné d'emblée) ;

* celle d'un typage "laxiste", où l'on s'autorise à définir une correspondance uniquement par une expression. Par exemple, si l'on est un peu souple, on accepte que l'expression $x^2$ ait un sens que $x$ soit un nombre, une matrice, une fonction... C'est une forme de polymorphisme. Dans cette interprétation, on n'a pas de notion bien définie de domaine de définition d'une correspondance (car le domaine de départ n'est pas borné d'emblée). On pourrait dire que ce domaine de définition est la collection des objets (mais où ?) où l'expression définissant la correspondance s'évalue correctement.

millie · October 2017

Pour revenir à la question initiale, et vu ton pseudo.

La définition de $f(A)$ pour une application $f:E \to F$ est la suivante (donnée en MPSI) :

Pour toute partie A de E (l'inclusion de A dans E est dans la définition), on définit l'image directe de A par f, notée $f(A)$
$f(A)= \{y \in F; \exists a \in A, y = f(A)\}$

(tiré d'un vieux Monier de MPSI)

La définition indique donc que le fait que A soit dans E est nécessaire.

skilveg · October 2017

Je m'insurge : dire "La définition... (donnée en MPSI)" suppose l'unicité de la définition. Une meilleure formulation serait "La définition donnée en MPSI".

Demi-blague à part, dans le programme actuel de MPSI, je lis effectivement : "Le programme ne distingue pas les notions de fonction et d’application." Je crois que cela fait quelque temps que l'on ne parle plus vraiment de fonctions (partiellement définies) dans ce chapitre.

Remarque : il me paraît clair que les programmes de taupe toutes époques confondues ont toujours privilégié les définitions fortement typées (sans doute l'héritage de Bourbaki). Sauf que pour l'actuel programme de MPSI, "Le point de vue est intuitif : une application de E dans F associe à tout élément de E un unique élément de F". Foin donc de graphes (et encore plus de correspondances, ce que je regrette un peu vues les mélanges entre injectivité, surjectivité, bonne définition).

millie · October 2017

Je précise aussi que mon bouquin date de 2003 :-)

J'ai le souvenir que les erreurs de différenciation fonction/application nous étaient largement pardonnées en dehors du cours spécifique à cela.

Foys · October 2017

@skilveg: le typage laxiste n'est au fond qu'un cas particulier de typage sévère où il n'y a qu'un seul type: celui de tous les objets (en l'espèce les ensembles).

Introduire des types stricts n'évacue pas le problème rencontré lorsqu'on introduit des fonctions avec des expressions (il exige qu'on le résolve au préalable, afin d'être muni de l'ensemble où la future fonction-en fait application- va être définie): en effet on a des expressions diverses comme $$x\mapsto \frac{\sqrt {7-\log(x^8-x^5+2)}}{\log(2+\frac{x^7}{x^3+x^2+5x-2})}$$ et si on souhaite en faire un triplet $(D,f,E)$ acceptable où $D,E$ sont des parties de $\R$, $f:D\to E$ une application et pourquoi pas, $D$ le plus grand possible, il faudra bien s'acquitter de la corvée ingrate consistant à déterminer un ensemble de définition. Et la question de donner une définition précise (et correspondant à la pratique usuelle des mathématiques) de ce qu'est un ensemble de définition (de fonction) pourra se poser.

GG · October 2017

@Foys,
j'aimerais te poser une dernière question en te priant par avance de m'excuser si tu estimes que mes interventions sur ce sujet ne sont que pinaillages et tergiversations stériles et futiles, comme l'absence de réponse à mon dernier message m'incite à le penser.

Quand j'écris sur une feuille de papier

"Soit n un entier naturel" (a)

c'est comme si mentalement, à ZFC (+ les milliers de symboles de constantes, de signes fonctionnels et relationnels avec leurs axiomes introducteurs formant le socle des maths), j'ajoutais la constante "n" et l'axiome introducteur "n $\in $ N". À partir de ce moment, je travaille dans cette théorie plus forte.

De même, lorsque j'écris

"Soit f l'application de R₊ dans R₊ telle que f(x) = x² pour tout x dans R₊" (b)
et
"Soit g l'application de R₊ dans R telle que g(x) = x² pour tout x dans R₊" (c)

j'ai automatiquement dans l'esprit l'ajout de trois constantes f, g, et G, accompagnées des trois axiomes

G = { (x, x²) | x $\in $ R₊ }
f = (G, R₊ , R₊)
g = (G, R₊ , R)

Ainsi pour moi, tout est clair et précis. Je peux parler sans ambiguïté DU graphe de f, DE L'ensemble d'arrivée de f, je peux démontrer que f est une bijection, que g n'est pas surjective, que f admet une application réciproque, etc, etc.

Ma question est simple : comment toi, pour qui manifestement les mots "fonction", "application", et "graphe fonctionnel" sont synonymes, formalises-tu les phrases b) et c) et dans quel contexte travailles-tu alors ?

Je te le demande non pas pour t'embêter et te faire perdre ton temps, ou pour faire le malin sur le forum, mais parce que ça m'intrigue au plus haut degré. Merci d'avance.

Image d'une application

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