Changement d'indices

Il me semble que la question est l'exécution du changement d'indice, afin de trouver la somme $S_n$ indiquée. C'est une vraie question, car on se trompe facilement, on additionne au lieu de soustraire. Ma réponse est que justement le mieux est de ... changer d'indice, je veux dire changer le nom de l'indice, comme lors du changement de variable dans une intégrale.
Partant de : $\displaystyle S_{n}=\overset{n}{\underset{k=1}{\sum }}\frac{1}{k(k+1)(k+2)}=\frac{1}{2}\overset{n}{\underset{k=1}{\sum }}\frac{1}{k}-\overset{n}{\underset{k=1}{\sum }}\frac{1}{k+1}+\frac{1}{2}\overset{n}{\underset{k=1}{\sum }}\frac{1}{k+2}$, je veux avoir partout $\frac{1}{k+1}$ (pour raison de symétrie), et pour cela je pose $k=i+1$ dans la première somme et $k=j-1$ dans la troisième, d'où :
$\displaystyle S_n=\frac{1}{2}\overset{n-1}{\underset{i=0}{\sum }}\frac{1}{i+1}-\overset{n}{\underset{k=1}{\sum }}\frac{1}{k+1}+\frac{1}{2}\overset{n+1}{\underset{j=2}{\sum }}\frac{1}{j+1}$.

Il sera temps ensuite de rebaptiser tous ces indices pour leur donner le même nom, $k$ ou autre chose, ils sont muets et ne protesteront pas.

Ensuite on procède à l'élagage des $\sum$ en sortant quelques termes pour que les bornes du bas soient toutes $2$ et que les bornes du haut soient toutes $n-1$. Et ainsi de suite ...

Et fais attention à ton orthographe, mikess19731973.

Bon dimanche.
Fr. Ch.

Je te l'ai dit, tu sors les termes qu'il faut pour que tes trois sommes soient $\displaystyle \overset{n-1}{\underset{k=2}{\sum }}...$, en redonnant le même nom aux trois indices. J'appelle ça l'élagage des $\sum$. Pourquoi ceux-ci ? On prend le plus grand des trois pour le bas et le plus petit pour le haut.

Ensuite tu regroupes ces trois sommes, qui donneront $0$. Il restera trois termes constants et trois termes fonctions de $n$, dont la somme constituera le résultat.

Et je répète : attention à ton orthographe ; en français il y a des accents.
Fr. Ch.

Par exemple :
$\displaystyle \overset{n}{\underset{k=1}{\sum }}\frac{1}{k+1}=\frac{1}{2}+\overset{n-1}{\underset{k=2}{\sum }}\frac{1}{k+1}+\frac{1}{n+1}$
... et de même pour les deux autres sommes.
Bon courage.

Maintenant que vous êtes arrivés à destination : cette remarque raccourcit peut-être un peu les calculs et, surtout, rend le résultat plus naturel.

Tu es plus méchant que moi, Shah d'Ock ! Je ne croyais pas ça possible ;-)
mikess19731973 a travaillé et il a trouvé. Bravo !
Élaguer les $\sum$ entre $2$ et $n-1$ comme j'avais conseillé ne donne que des $+$, donc réduit les risques de fautes de signe, à quoi nous sommes constamment exposés, hélas !
Bonne soirée.
Fr. Ch.

So 1960!