Ensemble écrit en extension

Oui, on la voit souvent.

Est-ce une définition en extension ou en compréhension ?

Bonjour.

Il y a l'ensemble $K_1\doteq \left\{ y\in \mathbb R \left|(\exists x \in \mathbb R)(y=x^2)\right. \right\}$ qui existe en vertu de l'axiome de séparation. Il y a l'ensemble $K_2\doteq \left\{ x^2 \left| x \in \mathbb R \right. \right\}$ qui existe en vertu de l'axiome de remplacement. Dans le premier cas, on sélectionne les éléments de $\mathbb R$ qui ont un antécédent par la fonction $\mathbb R \hookrightarrow \mathbb R : x \mapsto x^2$. Dans le deuxième cas, on prend l'ensemble des images des $x$ réels par la relation $y=x^2$, qui est fonctionnelle en $y$. Et enfin, on résout la question de savoir si $K_1 =K_2$ en sortant l'axiome de compréhension de sa caisse à outils... et en utilisant que la multiplication de $\mathbb R$ est une opération interne.

Cordialement, Pierre.

Bonjour jpgi
Oui, c'est un abus de langage, mais il est "résolu" par une convention qui me semble fixe et bien comprise par tout le monde de la même façon, consistant à dire que quand on écrit : $$ \{f(x) \mid R(g(x))\}
$$ on parle de l'ensemble (ou la collection) : $$
\{x\mid \exists y: x=f(y)\ et\ R(g(y))\}
$$ Mais il est vrai que les procédés linguistiques qui rendent muette une variable ont tout intérêt à ne permettre que l'écriture d'une variable à leur côté, et non pas l'écriture de toute une expression. En particulier, entre autre chose, car comme les expressions utilisent généralement plusieurs lettres non documentées, on ne saurait plus laquelle est liée par le symbole. Par exemple, à l'extrême, si j'écris $$\{ f(r) \mid P(f,r) \}$$ il n'y a pas de raison d'interdire a priori au lecteur de penser que j'écris $$ \{ w \mid \exists f: f(r)=w\ et \ P(f,r) \} $$ l'objet $r$ ayant déjà été documenté avant.
Bonne soirée, Talal