translation de parties de N et intersections
Bonjour,
Soit $A$ et $B$ deux parties de $\mathbb N$. On note pour tout $k\in\mathbb Z$, $A+k:=\left\{a+k\mid a\in A\right\}$.
On suppose que $B$ est de cardinal infini.
A-t-on : $ \big(|(A+k)\cap B|<\infty,\ \text{pour tout } k\in \mathbb Z\big) \Longrightarrow |A|<\infty$ ?
Je me pose la question dans le cadre d'une reflexion au sujet d'un problème posté ici http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?16,1535920,1535920#msg-1535920
Soit $A$ et $B$ deux parties de $\mathbb N$. On note pour tout $k\in\mathbb Z$, $A+k:=\left\{a+k\mid a\in A\right\}$.
On suppose que $B$ est de cardinal infini.
A-t-on : $ \big(|(A+k)\cap B|<\infty,\ \text{pour tout } k\in \mathbb Z\big) \Longrightarrow |A|<\infty$ ?
Je me pose la question dans le cadre d'une reflexion au sujet d'un problème posté ici http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?16,1535920,1535920#msg-1535920
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Réponses
Si tu prends $A=\{2^p,p\in\N\}$ et $B=\{4^q,q\in\N\}$, alors, à vue de nez, la phrase est contredite... mais je n' l'ai pas prouvé entièrement.
l'intersection est de cardinal infini pour k=0. peut-être remplacer 4 par 3 ?
Cordialement.
avec ta proposition $A\cap B=B$, donc avec le décalage nul, la condition est encore fausse.
Cordialement.
j'ai réfléchi de travers.
Je note $A^*$ l'injection croissante de $\mathbb N$ dans $A\subset \mathbb N$.
Je dis que $A<_p B$ s'il existe $k,h\in \mathbb Z$ tel que pour tout $n\in \mathbb N$ on a $A^*(n)+k>B^*(n+h)$.
($<_p$ est un préordre)
Question
est-ce que pour tout $A, B\subset \mathbb N$ il existe $C\subset \mathbb N$ tel qu'on ait à la fois
$|C|$ infini,
$C<_p A$
$C<_p B$.
?
note
Dans l'exemple de marco et avec ses notations on a $A<_p B$ et $B<_p A$
EDIT : en fait réponse oui : $C=A^*(B)$ semble convenir (je me rends compte j'ai vraiment exagérément renforcé les hypothèses dans le post initial, le désir rend aveugle!)