x+y=y pour tout x<y

Je me trompe ou bien $\omega$ répond à la question ?

Bruno

Ah oui j'en cherchais qui vérifiaient $y+x = y$, ça change tout ! $\omega$ fonctionne en effet. Il me semble que $\omega^{\omega^{\omega^{\dots}}}$ aussi.

PS : comment faire des pointillés qui montent vers la droite sur le forum ?

Un cardinal est un ordinal qui n'est en bijection avec aucun ordinal plus petit. Nécessairement, il s'agit d'un ordinal limite.

Il me semble $\omega \times \omega$ vérifie (1) mais n'est pas un cardinal.

Si $\kappa$ est un cardinal infini, et $\alpha$ un ordinal, alors $y=\kappa \times \alpha$ vérifie (1).
En effet, soit $x<y$, alors $x=\beta \times \alpha + \gamma$ avec $\beta<\kappa$ et $\gamma<\alpha$. Donc $x+y \leq (\beta+1) \times \alpha + \kappa \times \alpha=(\beta+1+\kappa) \times \alpha=\kappa \times \alpha=y$.

Il y a un nom pour ces ordinaux, malheureusement je ne parviens pas à le retrouver. On a la même question pour la multiplication: par exemple $n\omega = \omega$ pour tout $n<\omega$. Il me semble que pour ces derniers il y a une caractérisation à l'aide de puissances, donc j'imagine qu'il y a une caractérisation de ceux qui intéressent ici en termes de produits.

Si $y+x= x$ pour tout $y<x$, clairement $x$ est limite. Donc $x$ s'écrit $\omega \delta$ pour un certain $\delta$. Soit $\beta <\delta$. Alors $\omega \beta < \omega\delta$, de sorte que par hypothèse $\omega \beta + \omega\delta = \omega\delta$, et donc $\omega (\beta+\delta) = \omega \delta$.On a régularité de la multiplication de ce côté là donc $\beta + \delta = \delta$, donc $\delta$ vérifie aussi la propriété.

Il est clair que les $\omega^\delta$ vérifient la propriété, et les remarques que je viens de faire suggèrent que ce sont les seuls (on ne peut pas conclure par récurrence car, avec mes notations, on n'a pas n'a pas nécessairement $\delta < x$: par exemple $\omega \omega^\omega = \omega^\omega$ car $1+\omega= \omega$.

Soit donc $x$ vérifiant la propriété, et $\delta$ le plus petit ordinal tel que $\omega^\delta > x$. Clairement, $\delta$ est successeur et donc $\omega^\gamma \leq x < \omega^{\gamma +1}$ pour un $\gamma$.

Effectuons la division euclidienne de $x$ par $\omega^\gamma$: $x= \omega^\gamma \beta + \rho$, $\rho < \omega^\gamma$. Alors si $\rho >0$, $\omega^\gamma\beta + x = \omega^\gamma (\beta 2) + \rho = \omega^\gamma \beta + \rho$, donc $\omega^\gamma(\beta 2) = \omega^\gamma \beta$, ce qui est absurde (sauf si $\beta =0$, mais c'est exclu par choix de $\gamma$). Donc $\rho = 0$.

De plus, par choix de $\gamma$, $\beta < \omega$: $\beta$ est entier.

Soit $\beta,\gamma \geq 1$ deux ordinaux, $\beta$ fini. Est-ce que $\omega^\gamma\beta$ vérifie la propriété ? : soit $\delta < \omega^\gamma \beta$. On peut clairement supposer $\delta$ limite. De plus, si $\beta \neq 1$, $\beta = n+1$ avec $n>0$, l'addition étant (faiblement) croissante à gauche, on peut supposer $\delta = n$. Or $\omega^\gamma n + \omega^\gamma (n+1) = \omega^\gamma (2n+1) \neq \omega^\gamma (n+1)$.
Donc $\beta = 1$.

Ainsi tout ordinal qui vérifie cette propriété s'écrit $\omega^\gamma$, avec $\gamma \geq 1$. La réciproque est claire.

@Shah D'Ock : la convention usuelle est telle qu'on a distributivité à droite : $\alpha(\beta + \gamma) = \alpha\beta + \alpha\gamma$. En particulier, $2\omega = \omega$ et $\omega 2 = \omega + \omega > \omega$