Bourbaki, vraiment pour comprendre (2)bis

Bonjour
Après l'exercice 13 p. III-76 du Traité de Bourbaki "Théorie des ensembles", je reviens vers vous avec son successeur logique : l'exercice 14 (énoncé en pièce jointe) dont j'avais déjà, là encore, publié ma propre résolution sous le titre "Bourbaki, vraiment pour comprendre (2)". Je n'ai eu AUCUNE réponse la première fois et certains intervenants m'ayant suggéré que la cause en pouvait être ma manière d'exposer les résultats, je réitère ici en faisant un effort de rédaction, espérant ainsi un échange plus fructueux ...
Je procède de la même façon que pour l'exercice 13, je rédige une (voire deux) questions et attendrai vos remarques.

a) $a_1)$ Montrons :$ \Bigl( (\lambda_i)_{i \in I}$ famille d'ordinaux et $I$ bien ordonné $\ \Bigr) \Longrightarrow \sum_{i \in I} \lambda_i$ est un ordinal
. D'après exercice 13 p. III-76, $\sum_{i \in I} \lambda_i $ = Ord ( $\sum_{i \in I} E_i$) avec $ E_i$ : ensemble bien ordonné par $\lambda_i$ à un isomorphisme près. Cela revient donc à prouver que $\sum_{i \in I} E_i$ est bien ordonné...
. Mais d'après l'exercice 9 p. III-76, : $\Bigl( I$ bien ordonné et $E_i$ bien ordonnés, $(\forall i \in I) \Bigr) \Longrightarrow \sum_{i \in I} E_i$ est bien ordonné $\hspace{2 cm} CQFD$

$a_2)$ Montrons :$\Bigl( (\lambda_i)_{i \in I}$ famille d'ordinaux et $I$ bien ordonné et fini $\Bigr)\Longrightarrow \mathcal{P}_{i \in I} \lambda_i$ est un ordinal
. En notant $ E_i$ l'ensemble bien ordonné par $\lambda_i$ (à un isomorphisme près...), on a, d'après exercice 11 p. III-76 :
$\Bigl( I$ bien ordonné et fini et $ E_i$ ensemble bien ordonné, $(\forall i \in I)\Bigr) \Longrightarrow (\prod_{i \in I} E_i, \underset {L} {\leqslant})$ bien ordonné, avec $\underset {L} {\leqslant}$ : produit lexicographique
. Donc $\mathcal{P}_{i \in I} \lambda_i$ qui est le type d'ordre du produit lexicographique $(\prod_{i \in I} E_i, \underset {L} {\leqslant})$ est un ordinal $\hspace{3 cm} CQFD $

$a_3)$ On pose : Ord ($\emptyset$) = 0 et Ord ($\{a\}$) = 1
$\bullet$ Montrons : $\lambda + 0 = 0 + \lambda = \lambda$
- Montrons: $\lambda + 0 = \lambda$ :
. d'après exercice 13 - e) : $\lambda + 0 = \sum_{i \in \{\alpha,\beta\}}\varepsilon_i $= Ord $(\sum_{i \in \{\alpha,\beta\}}E_i) \hspace{1 cm}$ (avec $Ord(E_i)= \varepsilon_i , E_\alpha = E_\lambda , E_\beta = \emptyset , \alpha \leqslant \beta)$
 Or, $\sum_{i \in \{\alpha,\beta\}}E_i = E_\alpha + E_\beta = (\{\alpha\} \times E_\alpha) \cup (\{\beta\} \times E_\beta) = (\{\alpha\} \times E_\lambda) \cup (\{\beta\} \times \emptyset) $
. Mais $\{\beta\} \times \emptyset = \emptyset \, \hspace{1 cm}$ (d'après corrolaire 2, p. II-34)
. Par conséquent $\sum_{i \in \{\alpha,\beta\}}E_i = \{\alpha\} \times E_\lambda \simeq E_\lambda$ et donc : $Ord (\sum_{i \in \{\alpha,\beta\}}E_i) = Ord (E_\lambda)$
. c'est-à-dire : $ \lambda + 0 = \lambda$
- On procède de même pour : $0 + \lambda = \lambda$ ....
$\bullet$ Montrons $\mu 1=1 \mu=\mu$
- Montrons: $\mu 1 = \mu$ :
. d'après exercice 13 - e), si $I$ bien ordonné avec $Ord(I)=\lambda$ et si $(\mu_i)_{i \in I}$ est une famille de types d'ordre telle que $\mu_i=\mu, (\forall i \in I)$, on a : $\sum_{i \in I} \mu_i = \mu \lambda \hspace{2 cm} (1)$
. De plus, si on considère $I = \{a\}$, on a $\begin{cases} \text{I bien ordonné et } Ord(I) = 1 \hspace{1 cm} (2) \\ \text{mais on a aussi } \sum_{i \in I} \mu_i = \sum_{i \in \{a\}} \mu_i = \mu_a =\mu \end{cases}$
. De (1) et (2) on déduit : $\mu = \sum_{i \in I} \mu_i = \mu 1$
- Montrons: $ 1 \mu = \mu$ :
. On a $\mu$ ordinal d'un ensemble bien ordonné que l'on note $I$. On considère $(\lambda_i)_{i \in I}$ une famille de type d'ordre tels que les ensembles associés $E_i$ soient des singletons $\{a_i\} \, \Bigl($et donc $Ord(E_i) = \lambda_i =1 = \lambda, (\forall i \in I) \Bigr)$
On a alors d'après l'exercice 13 - e) : $\sum_{i \in I} \lambda_i = \lambda Ord (I) = 1 \mu \hspace{1 cm} (3)$
. Par ailleurs: $\sum_{i \in I} \lambda_i =Ord (\sum_{i \in I} E_i)$ et $ \sum_{i \in I} E_i = \cup_{i \in I} (\{i\} \times E_i) = \{(i,a_i)\}_{i \in I}$
. Donc en notant $\underset{\sum_{i \in I} E_i }{\leqslant}$ l'ordre de $ \sum_{i \in I} E_i$ et $\,\underset {I} {\leqslant} \,$ l'ordre de $I$, on a : $ (\sum_{i \in I} E_i \,,\,\underset {\sum_{i \in I} E_i } {\leqslant} ) \simeq (\{(i,a_i)\}_{i \in I} \,,\,\underset {\sum_{i \in I} E_i } {\leqslant} ) \simeq (\{i\}_{i \in I} \,,\,\underset {I} {\leqslant}) = (I \,,\,\underset {I} {\leqslant}) $
D'après exo 13 , p.3-76 et a), on a alors : $Ord(\sum_{i \in I} E_i) = Ord(I) $ c'est à dire : $\sum_{i \in I} \lambda_i = \mu \hspace{1 cm} (4)$
. De (3) et (4) on déduit : $ 1\mu= \mu \hspace{3 cm} CQFD$
En espérant avoir capté l'attention de quelques lecteurs, j'attends vos commentaires éventuels avant de continuer ...et bonne soirée