Utilisation des ordinaux

Il y a un siècle, les algébristes allemands utilisaient volontiers une récurrence ordinale là où nous évoquons maintenant Zorn. Par exemple, Artin et Schreier pour montrer que tout corps réel se plonge dans un corps réel clos.

On peut également citer le théorème de Sierpinski-Mazurkiewicz caractérisant les espaces topologiques compacts dénombrables.

Bonjour,

> Connaissez-vous d'autres utilisations des ordinaux dans les "maths de tous les jours" ?
- Oui, ça sert à numéroter les cardinaux, une fois qu'ils ont été élus papes :-)

Bonjour,

les ordinaux sont très utiles, on ne peut même pas du tout s'en passer d'ailleurs, en théorie descriptive des ensembles. Ils mesurent la hauteur des arbres bien fondés (et peuvent servir d'ailleurs à mesurer des temps de calculs généralisés).

Justement, il a en a été récemment un peu question ici: http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,1562040,1562040#msg-1562040

Prenons la théorie de Ramsey par exemple, par théorie j'entends spécialité qui regroupe un peu toutes les recherches de gros ensembles homogènes. Histoire d'être précis, et de fixer les idées, je prends un exemple d'énoncés, qui est un théorème de Ramsey.

Pour toute coloration en vert/rouge des parties finies de $\N$, il existe un ensemble infini $A$ inclus dans $\N$ tel que ou bien toutes les parties finies de $A$ sont rouges, ou bien pour toute partie infinie $B$ de $A$, il y a un segment initial de $B$ qui est vert.

Ce type de questionnement consiste, et c'est très général, à chercher une branche dans un arbre. Par exemple ici, on va chercher une partie infinie entièrement rouge (ses parties finies), et bien commencer à la construire consiste à étudier les suites finies strictement croissantes dont tous les ensembles finis de termes sont rouges. La non-existence d'une partie rouge homogène se traduit par le fait que l'arbre est bien fondé, donc par le fait qu'on associer un ordinal $\phi(u)$ à chaque suite finie de l'arbre de sorte que chaque fois que $v$ prolonge $u$, $\phi(v)<\phi(u)$. La hauteur de l'arbre est $\phi(e)$ où $e$ est la suite vide.

Comment fait-on, en général, pour s'apercevoir qu'il y aura toujours une branche infinie. Et bien par exemple, dans l'exemple de l'énoncé classique de Ramsey, on peut dire "soit la plus petite hauteur possible d'un arbre attestant d'un contre-exemple à Ramsey classique". Le simple fait de dire permet de voir qu'on a déjà quasiment démontrer le théorème (on voit bien qu'une telle plus petite hauteur ne peut pas exister à cause du fait que l'arbre local qui vient après les premières suites qu'on essaie est encore un Ramsey-problème, avec, contradiction, une hauteur par définition, plus petite).

Dans ce domaine, la plupart des constructions s'obtiennent de cette façon, et on peut dire sans exagérer que les ordinaux y sont le principal, voir l'unique ingrédient.

Bonne journée,

Talal

@mojojo : en effet, ils donnent un gros nombre de topologies $T_0$ mais pas $T_1$ par exemple

Les tables de Laver donnent lieu à des énoncés élémentaires dont les preuves semblent faire appel aux ordinaux. Voir par exemple cet exposé sous la direction de Patrick Dehornoy ou des textes de ce dernier.

Sinon, les nombres surréels de Conway incluent des ordinaux transfinis et ont été inventés pour les jeux combinatoires (de type jeu de Nim).

Non, pas vraiment, dans un cas, on a un énoncé arithmétique dans l'autre on a fondamentalement un jeu (même si on peut le dégénérer pour faire de l'arithmétique) dont l'expressivité réelle n'est pas que ce qu'on en dit ou peut en dire soit fort, mais surtout que c'est riche et ne s'exprime pas dans l'arithmétique.

A noter que l'arithmétique se réduit à un jeu extrêmement simple tout entière, c'est à dire que la vérité arithmétique est définissable (en fait même Turing-réductible) à la simple connaissance de l'ensemble des réponses "qui gagne qui perd" à des instances de ce jeu. Cela provient du fait que les énoncés avec des $\forall, \exists$ décrivent un jeu et que, en arithmétique les coups étant des entiers, on peut les mimer par des appuis sur une seule et même touche (le joueur 1 attend le joueur 2 qui tape sur sa touche autant de fois qu'il veut jusqu'à ce qu'il décide d'arrêter pour passer son tour au joueur 1).

L'hydre n'est qu'une mise en forme esthétique de ça, mais on peut l'exprimer de plein de façon différentes. Par contre Goodstein, est un énoncé arithmétique indécidable pur et dur (de même nature que Syracuse).

cordialement, Talal