Utilisation des ordinaux
Bonjour,
On sait que Cantor a imaginé les cardinaux pour étudier les ensembles d'unicité pour les séries trigonométriques, et en particulier étudier les dérivés itérés de fermés de $\mathbb R$. (l'ensemble dérivé de $P$ est l'ensemble de ses points d'accumulations) Avec le même genre d'idées, on montre le théorème de Cantor-Bendixson : tout fermé non dénombrable de $\mathbb R$ s'écrit comme union disjointe d'un ensemble dénombrable et d'un ensemble parfait (égal à son dérivé), ce qui prouve l'hypothèse du continu pour les fermés de $\mathbb R$ !
Baire s'est aussi servi des ordinaux pour montrer l'équivalence entre $f$ est limite simple de fonctions continues, et pour tout fermé $F$ de $\mathbb R$, $f$ restreinte à $F$ est continue en au moins un point.
Enfin, on peut par exemple décrire la hiérarchie de Borel pour la tribu borélienne grâce aux ordinaux dénombrables (essentiellement, tout borélien peut-être obtenu en itérant $\alpha$ fois les opérations de tribus à partir des ouverts, où $\alpha$ est un ordinal dénombrable), ce qui permet de montrer que la tribu de Borel a la puissance du continu.
Connaissez-vous d'autres utilisations des ordinaux dans les "maths de tous les jours" ?
Merci d'avance pour vos réponses.
On sait que Cantor a imaginé les cardinaux pour étudier les ensembles d'unicité pour les séries trigonométriques, et en particulier étudier les dérivés itérés de fermés de $\mathbb R$. (l'ensemble dérivé de $P$ est l'ensemble de ses points d'accumulations) Avec le même genre d'idées, on montre le théorème de Cantor-Bendixson : tout fermé non dénombrable de $\mathbb R$ s'écrit comme union disjointe d'un ensemble dénombrable et d'un ensemble parfait (égal à son dérivé), ce qui prouve l'hypothèse du continu pour les fermés de $\mathbb R$ !
Baire s'est aussi servi des ordinaux pour montrer l'équivalence entre $f$ est limite simple de fonctions continues, et pour tout fermé $F$ de $\mathbb R$, $f$ restreinte à $F$ est continue en au moins un point.
Enfin, on peut par exemple décrire la hiérarchie de Borel pour la tribu borélienne grâce aux ordinaux dénombrables (essentiellement, tout borélien peut-être obtenu en itérant $\alpha$ fois les opérations de tribus à partir des ouverts, où $\alpha$ est un ordinal dénombrable), ce qui permet de montrer que la tribu de Borel a la puissance du continu.
Connaissez-vous d'autres utilisations des ordinaux dans les "maths de tous les jours" ?
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Réponses
Mais, est-ce des maths de tous les jours (d'ailleurs qu'est ce que des maths de tous les jours) ?
> Connaissez-vous d'autres utilisations des ordinaux dans les "maths de tous les jours" ?
- Oui, ça sert à numéroter les cardinaux, une fois qu'ils ont été élus papes :-)
Je dis que c'est artificiel parce que tu pars d'une démo qui utilise le lemme de Zorn et d'une démo d'icelui par récurrence transfinie et tu greffes l'une sur l'autre.
Ceci dit dans l'autre sens aussi ce serait artificiel: ce qui est artificiel ce n'est pas l'usage de l'un plutôt que de l'autre, mais la transformation de preuve pour se ramener à une preuve qui utilise/ qui n'utilise pas les ordinaux.
Bon, pour ce qui est des ordinaux, ils peuvent apparaître dès que des bons ordres sont en jeu.
Une occurrence naturelle et pas nécessairement intuitive des bons ordres se fait dans la théorie des corps valués, notamment en ce que les corps de séries de Hahn sont des corps valués universels sous certaines conditions.
les ordinaux sont très utiles, on ne peut même pas du tout s'en passer d'ailleurs, en théorie descriptive des ensembles. Ils mesurent la hauteur des arbres bien fondés (et peuvent servir d'ailleurs à mesurer des temps de calculs généralisés).
Justement, il a en a été récemment un peu question ici: http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,1562040,1562040#msg-1562040
Prenons la théorie de Ramsey par exemple, par théorie j'entends spécialité qui regroupe un peu toutes les recherches de gros ensembles homogènes. Histoire d'être précis, et de fixer les idées, je prends un exemple d'énoncés, qui est un théorème de Ramsey.
Pour toute coloration en vert/rouge des parties finies de $\N$, il existe un ensemble infini $A$ inclus dans $\N$ tel que ou bien toutes les parties finies de $A$ sont rouges, ou bien pour toute partie infinie $B$ de $A$, il y a un segment initial de $B$ qui est vert.
Ce type de questionnement consiste, et c'est très général, à chercher une branche dans un arbre. Par exemple ici, on va chercher une partie infinie entièrement rouge (ses parties finies), et bien commencer à la construire consiste à étudier les suites finies strictement croissantes dont tous les ensembles finis de termes sont rouges. La non-existence d'une partie rouge homogène se traduit par le fait que l'arbre est bien fondé, donc par le fait qu'on associer un ordinal $\phi(u)$ à chaque suite finie de l'arbre de sorte que chaque fois que $v$ prolonge $u$, $\phi(v)<\phi(u)$. La hauteur de l'arbre est $\phi(e)$ où $e$ est la suite vide.
Comment fait-on, en général, pour s'apercevoir qu'il y aura toujours une branche infinie. Et bien par exemple, dans l'exemple de l'énoncé classique de Ramsey, on peut dire "soit la plus petite hauteur possible d'un arbre attestant d'un contre-exemple à Ramsey classique". Le simple fait de dire permet de voir qu'on a déjà quasiment démontrer le théorème (on voit bien qu'une telle plus petite hauteur ne peut pas exister à cause du fait que l'arbre local qui vient après les premières suites qu'on essaie est encore un Ramsey-problème, avec, contradiction, une hauteur par définition, plus petite).
Dans ce domaine, la plupart des constructions s'obtiennent de cette façon, et on peut dire sans exagérer que les ordinaux y sont le principal, voir l'unique ingrédient.
Bonne journée,
Talal
Pas vraiment math "de tous les jours" mais les ordinaux sont utilisés pour définir ce que sont les cardinaux.
Sinon, les nombres surréels de Conway incluent des ordinaux transfinis et ont été inventés pour les jeux combinatoires (de type jeu de Nim).
A noter que l'arithmétique se réduit à un jeu extrêmement simple tout entière, c'est à dire que la vérité arithmétique est définissable (en fait même Turing-réductible) à la simple connaissance de l'ensemble des réponses "qui gagne qui perd" à des instances de ce jeu. Cela provient du fait que les énoncés avec des $\forall, \exists$ décrivent un jeu et que, en arithmétique les coups étant des entiers, on peut les mimer par des appuis sur une seule et même touche (le joueur 1 attend le joueur 2 qui tape sur sa touche autant de fois qu'il veut jusqu'à ce qu'il décide d'arrêter pour passer son tour au joueur 1).
L'hydre n'est qu'une mise en forme esthétique de ça, mais on peut l'exprimer de plein de façon différentes. Par contre Goodstein, est un énoncé arithmétique indécidable pur et dur (de même nature que Syracuse).
cordialement, Talal