formalisation de l'infini ?

FafaruK · November 2017

Bonjour,

Grosso modo, je voulais savoir quelle était la définition formelle de l'infini en maths ?
Je demande ça par rapport à la droite des réels achevés que j'ai pu voir en cours comme R U {-inf, +inf}. On a dit que pour tout a réel, a * inf = inf . Mais du coup, formellement, qu'est ce que c'est que inf sous ces notations ?
Comment ça se note en théorie des ensembles ?
(Je précise avoir un niveau de fin de math sup)

GaBuZoMeu · November 2017

On t'a dit que $0\times \infty=\infty$ ?
La théorie des ensembles n'a rien à dire de spécial sur ces éléments qu'on ajoute à $\R$ pour faire la "droite achevée".
On ajoute deux éléments dont on déclare que l'un est plus grand que tous les réels et l'autre plus petit, on déclare aussi que "voisinage de $+\infty$" veut dire "contient tout ce qui est plus grand que $a$ pour un certain réel $a$", et on étend partiellement les opérations à ces nouveaux éléments. La nature de ces nouveaux éléments, on s'en fout royalement.

Shah d'Ock · November 2017

Il y a divers contextes.
En géométrie, la droite projective $\mathbb P^1(\R)$ est définie comme l'ensemble des droites du plan passant par $(0,0)$.
Vu que par tout point $(x,1)$ passe une unique droite passant par $(0,0)$, et que la seule droite passant par $(0,0)$ et pas par un tel point est la droite horizontale $H$, $\mathbb P^1(\R)$ s'identifie à $\R \cup \{H\}$, et on voit $H$ comme le point à l'infini.
On peut généraliser ça et parler de plan projectif, d'espace projectif,...
En théorie des ensembles, un ordinal est en gros une classe d'isomorphie sur les bons ordres. En particulier la classe des ordinaux est munie d'un bon ordre. Un cardinal est un ordinal équipontent à aucun autre plus petit. Un cardinal infini est un cardinal équipotent avec aucun $\{0,...n\}$ avec $n$ entier naturel. Les ordinaux et les cardinaux sont munis d'une arihmétique, respectivement ordinale et cardinale.

Edit: mon message s'est croisé avec celui de Gabuzomeu. Ce dont il parle est encore une troisième construction.

FafaruK · November 2017

Oups, j'ai pas exclu 0 sorry.
Bah toi tu t'en fout peut-être, mais j'aimerais quand même savoir comment on les construits formellement.
Voisinage de l'infini me pose pas de problème puisque j'ai une définition précise dessus.

gerard0 · November 2017

Bonsoir.

GaBuZoMeu n'est pas le seul à s'en foutre ! Tu prends n'importe quel objet mathématique qui n'est pas déjà un réel, par exemple (1;1), et tu l'appelles $+\infty$. Idem pour l'autre. Si quelqu'un prend autre chose pour $+\infty$, ça donnera un ensemble isomorphe dans tous les sens dont tu as besoin.

Cordialement.

Shah d'Ock · November 2017

Bah on n'a que l'embarras du choix (je ne devrais peut-être pas écrire ça vu qu'on n'utilise pas l'axiome éponyme): étant donnés deux bidules qui ne sont pas dans $\R$, on apelle l'un $+\infty$ et l'autre $-\infty$. Il n'y a aucune difficulté "de construction".

Edit: grillé par gerard0.

Edit2: en fait mon message avait bien été posté... je croyais avoir fait une fausse manip. Désolé pour la redondance.

Edit3: il semblerait que le message auqjel fait allusion mon Edit2 a été supprimé, tant mieux.

FafaruK · November 2017

Ah ^^ Bah c'était tout bête finalement. Merci

Poirot · November 2017

@FafaruK : en mathématiques, ce n'est pas tant la nature des objets que l'on considère qui nous intéresse, mais plutôt leurs propriétés. Ici, tout ce qui compte c'est les propriétés évidentes telles que $x < + \infty$ pour tout réel $x$, etc.

D'ailleurs si tu t'es posé cette question à propos de la "nature" des symboles $+\infty$ et $-\infty$, tu devrais pouvoir te poser la question de la nature de ce que tu appelles $\mathbb R$ ! La réponse n'est pas si évidente.

FafaruK · November 2017

Oui bien sur

C'est déjà fait, j'avais regardé un peu les coupures de Dedekind .
Juste, c'est vrai par définition que x < + infini pour tout réel x ? non ?

moduloP · November 2017

Bonsoir,

c'est quoi "+ infini" pour toi ?

Poirot · November 2017

@FafaruK : bah si tu définis $+\infty$ pour que ça marche oui. Tu peux aussi t'amuser à déclarer $+\infty := 0$ par exemple. Ça ferait sûrement un peu jaser mais rien ne t'empêche de le faire.

FafaruK · November 2017

euhh 0 ça marche pas trop je crois .....

Math Coss · November 2017

0bis alors ?

Poirot · November 2017

Pourquoi ça ne marcherait pas ? Le symbole $1-1$ désigne $0$ Si ça t'amuse tu peux utiliser aussi le symbole $+\infty$, du moment que tu ne précises aucune propriété.

Shah d'Ock · November 2017

Tu peux définir la fonction $x$:$+ \to +, f \mapsto f \R \aleph_0$, où $+$ désigne l'ensemble des nombres réels, $a \R b$ l'addition des réels $a$ et $b$, et $\aleph_0$ la plus petite periode du cosinus. Si ça te chante.

FafaruK · November 2017

Bah si on pose 0= inf , (faut voir ce qu'on prendrai pour -infini) , mais à priori on a des problèmes au niveau des relations d'ordres, et puis du coup R u {infini} = R . C'est quand même dommage