extension continue d'un préordre

Bonjour,

Je m'excuse d'avance si la terminologie que j'utilise est en fait reliée à autre chose, ou si une terminologie existe déjà pour ce problème.
Etant donné $<_a,<_b\subset V\times V$ deux préordres je dis que $<_b$ étend $<_a$ si $\forall v,w\in V\,\,v<_a w\Rightarrow v<_b w$.
Pour tout preodre $<_i$, je note $v=_i w$ ssi $v<_i w$ et $w<_i v$, ce qui induit une relation d'équivalence modulo laquelle je note $[w]_i$ la classe de tout $w\in V$.
Je note $min_i(P)$ l'ensemble des $<_i$-minorants de tout $P\subset V$ et j'ecris $min_i(P)=\inf_i(P)$ s'il existe $v\in V$ tel que $min_i(P)=min_i([v]_i)$. Je note $[0]=[0]_a=[0]_b=min_a(V)=min_b(V)=\inf_a(V)=\inf_b(V)$

Jusqu'ici tout est banal.
Je dis que $<_b$ est une extension continue de $<_a$ ssi pour tout ordinal $\alpha$ et pour tout $F=\left\{F_i^j\in V\setminus [0], i,j<\alpha\right\}$ tel que $\inf_a(F_i)=\inf_a(\left\{F_i^j,\,j<\alpha\right\})=[0]$ et $\inf_b(F^j)=\inf_b (\left\{F_i^j,\,i<\alpha\right\})=[f^j]$ avec $F^j$ $b$-décroissante (i.e $F_i^j<_b F_k^j$ pour tout $k<i<\alpha$ et tout $j<\alpha$) on a :
$\inf (\left\{f^j,\,j<\alpha\right\})=[0]$.


Questions :

1) est-ce que toute extension $<_a$ de $<_b$ telle que $[0]_a=[0]_b$ est continue
2) est-ce que $<_*\subset \mathbb{N}\times \mathbb{N}$ est une extension continue de $\subset_f$.
Où $\subset_f$ est l'inclusion presque partout et $A<_* B$ ssi il existe $a,b,c,d\in \mathbb{N}$ tel que pour tout entier $n$ , on ait $A^*(n+a)+b>B^*(n+c)+d$ où pour tout $X\subset \mathbb{N}$ je note $X^*$ l'unique injection croissante de $\mathbb{N}$ dans $X$.

La réponse positive à 2) et a fortiori à 1), donnerait une démonstration élémentaire de $p=t$ discuté ici : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?16,1535920,1536046#msg-1536046

(je mets le lien d'un commentaire éclairant de Maxtimax car le premier post de noix de totos ne présente (volontairement) pas le problème mais dénonce les énormités d'un article de vulgarisation relatif au problème)

pourquoi est-ce que ça implique $p=t$?
On montre d'abord que $p$ est le plus petit cardinal tel que $H=:\left\{H_i,\, i\in p\right\}$ vérifie $min_a H[>k]=\left\{[0]\right\}\ne min_a H[<k]$ pour tout $k<p$ (où $H[>k]:=\left\{F_i,\, k<i\in p\right\}$ et $H[<k]:=\left\{F_i,\, i\in k<p\right\}$)
On pose alors $G_0=H_0$, $G_1=H_0* H_1$ ... $G_k=G_{k-1}*H_k$ si $k$ est successeur et on choisit $k$ dans $min_a(G[<k])$ si $k$ limite.
où $A*B=A^*\, o\, B^*(\mathbb N)=A^*(B)$ avec $A^*$ qui est définie comme l'unique injection croissante de $\mathbb N$ dans $A$.
On pose alors $F^i_j=G_j$ si $j\leq i$ et $G_j*H_i$ sinon.
On pose $A<_a B$ s'il existe $K$ fini tel que $A\subset B\cup K\subset \mathbb N$
et pour tout $A, B\subset \mathbb N$, on pose $A<_b B$ s'il existe $a,b,c,d\in \mathbb N$ tel que pour tout $n\in \mathbb N$ on a $A^*(n+a)+b>B^*(n+c)+d$ ou si $A$ est fini.



Pour $i$ fixé la famille des $F^j_i$ est stationnaire et $G_i$ est la borne inf, on vérifie que les autres conditions demandées dans 1) et 2) sont remplies

D'autre part, il est évident que $G$ est une tour. Et si 2) ou 1) est vrai, on a $inf_a G=0$ (qui est ce qu on veut)