Difficulté avec le schéma de séparation.

Ottman · November 2017

Bonsoir,

En relisant mon cours sur la théorie des ensembles une chose me frappe, historiquement, on a remplacé le schéma d'axiomes de compréhension par le schéma d'axiomes de séparation, il est évident que le premier n'est pas du tout solide car il engendre le paradoxe de Russell et c'est pour cette raison qu'on a introduit le second concept, Mais je n'arrive pas à me convaincre de cette "chose", et j'ai l'impression qu'un souffle de vent va l'abattre comme un château de cartes pour citer Poincaré. Après tout si le schéma de compréhension s'avère être inconsistant, comment juger le schéma de remplacement plus fiable ? (même si on ne connait évidemment aucun contre exemple étant donné que la théorie des ensembles est toujours d'après ce que je sais le fondement des mathématiques.)
Je sais très bien qu'on ne peut démonter dans ZFC que la théorie elle-même est inconstante ou consistante et vu que tout ce que l'on fait est dedans ça s'avère délicat.
Et puis la notion même de schéma me déroute, un liste finie d'axiomes je veux bien : mais un schéma qui associe à chaque ensemble un axiome ...
c'est à dire qu'a priori on aura autant d'axiomes que d'objets de la théorie.

Bref si quelqu'un pouvait m'indiquer comment concevoir proprement ces objets je serais très heureux !

Ottman Auguste.

Shah d'Ock · November 2017

On n'a pas d'autre moyen de faire le pari que c'est consistant. Concernant les schémas d'axiomes, tu fais une ou deux confusion: d'une part un axiome est un objet typographique, syntaxique, alors qu'un ensemble est un objet sémantique. Un axiome ne peut donc pas "contenir" un ensemble. Ensuite, le schéma de séparation est indexé par les formules du langage, pas par des ensembles (puisque ça n'est pas possible).
Enfin, tu peux dérouler de manière algorithmique les axiomes de ton schéma, donc conceptuellement ça ne devrait pas poser plus problème qu'une liste finie.

Foys · November 2017

Le schéma de compréhension découle du schéma de séparation, et il est valide à condition de le "borner", c'est-à-dire que pour toute propriété $P$ et tout ensemble $E$, il existe un ensemble constitué des $x$ tels que $x$ est dans $E$ et vérifie $P$ . Et non pas la version naïve qui dit que pour toute propriété $P$, il existe un ensemble des $x$ vérifiant $P$ (sans quoi on prête le flanc au paradoxe de Russel: il existe un ensemble $U$ des $x$ tels que $x\notin x$ et on a $U\in U \leftrightarrow U\notin U$, conduisant à une contradiction).

Ottman · November 2017

Je vois, parfait ! merci.

talal · November 2017

Et puis la notion même de schéma me déroute

Il t'a été répondu. Sache (exercice assez facile) que tu peux obtenir la même utilisté fondatrice avec un nombre fini
et petit d'axiomes (donc un seul axiome, en mettant des "et" entre les morceaux). Essaie de la construire ladite théorie, ce sera utile.

Sinon, l'avantage (même si c'est modéré) de l'inconsistance éventuelle de ZF, c'est qu'elle bornerait le cardinal de tout l'univers des possibles. Autrement dit, on y gagne même si un jour c'est contradictoire. De plus les maths usuels se font entre $\N$ et $P(\R)$

Talal

Maxtimax · November 2017

@talal : qu'entends-tu par "même utilité fondatrice avec un nombre fini et petit d'axiomes" ? Pour les maths "de tous les jours", c'est ça ? (I.e. les maths faites par des non logiciens/théoriciens des ensembles)

Shah d'Ock · November 2017

Je pense qu'il pense à NBG.
Tu exagère pour "entre $\N$ et $P(\R)$. Une fonction sur $\R$ c'est en gros dans $P(\R)$ donc un opérateur sur un espace de fonctions ça fait déjà du $P(P(\R))$...

talal · November 2017

Oui c'est ça, NBG ou autre (il y a plein de théorie finie au moins aussi fortes Que ZF dans lesquels les modèles de ZF s'interprètent canoniquement) NBG est peut être la première historiquement mais pas la moins "guindée" disons.

Poirot · November 2017

Ottman a écrit:

on ne peut démonter dans ZFC que la théorie elle-même est inconstante ou consistante

Non, c'est plus compliqué que ça. Si la théorie est inconsistante alors elle prouve qu'elle est consistante et qu'elle est inconsistante (puisqu'elle prouve tout). Si elle est consistante alors (seconde théorème d'incomplétude de Gödel), elle ne peut pas prouver qu'elle est consistante. Donc pour résumer, si elle prouve qu'elle est consistante, ou si elle prouve qu'elle est inconsistante, alors elle est inconsistante, ce qui est une éventualité ;-)

Shah d'Ock · November 2017

Erreur. Elle peut prouver sa propre inconsistance mais être consistante (justament par le second théorème d'incomplétude on peut ajouter à ZFC l'axiome "ZFC est inconsistante" et alors la théorie obtenue prouve sa propre inconsistance).

Poirot · November 2017

ZFC + "ZFC est inconsistante" prouve "ZFC est inconsistante", oui et alors ? Quel rapport avec le fait qu'une théorie consistante peut prouver sa propre inconsistance ? En quoi ZFC + "ZFC est inconsistante" serait consistante ?

Shah d'Ock · November 2017

Si ZFC est consistante alors justement par le second théorème d'incomplétude ZFC+"ZFC est inconsistante" est consistante.
Par ailleurs vu que c'est une sur-théorie de ZFC, si elle prouve "ZFC est inconsistante" (ce qu'elle fait trivialement) alors elle prouve en particulier sa propre inconsistance.

Shah d'Ock · November 2017

Précision: j'utilise que si T ne prouve pas A alors T + non A est consistante.

Maxtimax · November 2017

Oui Poirot, fais gaffe, ce n'est pas parce qu'un modèle de ZFC satisfait "ZFC est inconsistante" que ZFC est inconsistante : la preuve de $0=1$ que $M$ contient pourrait par exemple être codée par un entier non standard. En fait, si ZFC est consistante, ce scénario apparaît nécessairement, précisément du fait du second théorème d'incomplétude, comme Shah D'Ock le rappelle

Poirot · November 2017

Merci, ça m'apprendra à ne pas approfondir sérieusement ;-)

Difficulté avec le schéma de séparation.

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