Relation départ avec arrivée

Bonjour

Soit $f:E\rightarrow F$ une application, $\mathcal S$ une relation binaire sur $F$ et $\mathcal R$ une relation binaire sur $E$ définie par $x\mathcal R y\iff f(x)\mathcal S f(y)$.

J'ai réussi à montrer que $\mathcal S$ réflexive (resp. symétrique, transitive, antiréflexive) entraîne $\mathcal R$ réflexive (resp. symétrique, transitive, antiréflexive).

Par contre, je ne trouve pas d'exemple explicite où on a $\mathcal S$ antisymétrique et pas $\mathcal R$. Quelqu'un aurait un exemple simple ? Merci