Définition $\mathbb C$

Calcule $(a+ib)(a^{'}+ib^{'})$ et sépare partie réelle et partie imaginaire...

Bonjour,

Posons\[\newcommand{\MySet}[2]{\left\{\begin{array}{c|c}#1\,&\,{#2}\end{array}\right\}}\C:=\MySet{\left(\begin{array}{rr}a&-b\\b&a\\\end{array}\right)}{(a,\,b)\in\R^2}\]Soit\[\left(\begin{array}{rr}a&-b\\b&a\\\end{array}\right)\in\C\text{ et }\left(\begin{array}{rr}a'&-b'\\b'&a'\\\end{array}\right)\in\C\]Alors,\[\left(\begin{array}{rr}a&-b\\b&a\\\end{array}\right)\,\left(\begin{array}{rr}a'&-b'\\b'&a'\\\end{array}\right)=\cdots\]L'on pose\[i:=\left(\begin{array}{rr}0&-1\\1&0\\\end{array}\right)\mbox{ et }1=\left(\begin{array}{rr}1&0\\0&1\\\end{array}\right)\]Remarquons que $i^2=-1$.


Cordialement,

Thierry

@mpsi_quatre : tu as dû voir aussi la définition de $\mathbb{Z}$ à partir de $\mathbb{N}$, là aussi tu as une multiplication bizarre $(a,b)(c,d) = (ac + bd, bc + +ad)$ (modulo la relation d'équivalence)
La raison pour $\mathbb{Z}$ est que le couple $(a,b)$ (enfin sa classe d'équivalence) mime "$a-b$".

Eh bien pour $\mathbb{C}$ c'est pareil, sauf qu'on n'a pas besoin de classe d'équivalence : $(a,b)$ mime "$a+ib$" et donc la définition de $(a,b)(c,d)$ en découle naturellement, au vu de ce qu'on veut en faire