Complémentaire d'un produit cartésien
Bonjour
$A$ et $B$ étant deux parties d'un ensemble $E$, a-t-on :
\begin{align*}
\complement_{E^{2}}A\times B&=\complement_EA\times B\cup A\times\complement_{E} B&\text{ou bien}\\[4pt]
\complement_{E^{2}}A\times B&=\complement_{E}A\times B \cup A\times \complement_{E}B\cup \complement_{E}A\times\complement_{E}B
\end{align*}
Et est-il possible de m'expliquer pourquoi l'une est la bonne réponse et pas l'autre.
Merci d'avance pour votre concours.
$A$ et $B$ étant deux parties d'un ensemble $E$, a-t-on :
\begin{align*}
\complement_{E^{2}}A\times B&=\complement_EA\times B\cup A\times\complement_{E} B&\text{ou bien}\\[4pt]
\complement_{E^{2}}A\times B&=\complement_{E}A\times B \cup A\times \complement_{E}B\cup \complement_{E}A\times\complement_{E}B
\end{align*}
Et est-il possible de m'expliquer pourquoi l'une est la bonne réponse et pas l'autre.
Merci d'avance pour votre concours.
Réponses
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Si $a\notin A, b\notin B$ alors $(a,b)\notin A\times B$.
Je te laisse en déduire la réponse globale. Pense au $\times$ comme à un "et" -
Bonjour,
Quels sont les ensembles représentés par les quatre cases du carré ? -
Si l'on prend $A = \{1,2,3\},\ B=\{a,b\},\ \complement_E A = \{4\}$ et $\complement_E B = \{d\}$ qu'en est-il du couple $(4,d)$ ?
-
Je suis toujours dans l'interrogation même si la solution est évidente ?
Une personne compétente peut-elle m'éclairer ? (:P) -
Tu n'as pas répondu à ma question... c'est dommage.
-
Tu assimiles la compétence au fait de te donner la solution complète. Ce n'est pas l'esprit de ce forum qui, il me semble, préfère laisser la personne qui pose la question y répondre, en l'aidant et en lui donnant des indications : c'est ce que les 3 intervenants ont fait
-
gb merci pour l'indication.
Peut-être me trompe-je : en bas à gauche :$A\times B$
en haut à gauche :$A\times\complement_{E}B$
en bas à droite : $\complement_{E}A\times B$
en haut à droite : $\complement_{E}A\times\complement_{E}B$ -
Oui, donc le complémentaire de \(A\times B\) se lit immédiatement sur le dessin ; reste à rédiger une preuve.
-
Merci gb.
J'avais une solution posée sans démonstration de l'exercice qui mentionnait la première hypothèse de mon premier post, que tes indications me confirme comme étant erronée apparemment. -
Si : \(E=\lbrace0,1\rbrace\) et \(A=B=\lbrace0\rbrace\) de telle sorte que : \(\complement_EA=\complement_EB=\lbrace1\rbrace\), alors:
1. \(A\times B=\lbrace(0,0)\rbrace\)
2. \(\complement_EA\times B=\lbrace(1,0)\rbrace\)
3. \(A\times\complement_EB=\lbrace(0,1)\rbrace\)
donc la première des égalités proposées est fausse puisque l'élément \((1,1)\) de \(\complement_{E^2}(A\times
\) n'appartient pas à \(\left(\complement_EA\times B\right)\cup\left(A\times\complement_EB\right)\). -
C'est donc la deuxième égalité qui est juste. Mon bouquin avait donc une coquille. C'est ce que je pensais.
Merci pour ta confirmation à l'interrogation que ça me posait.
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Bonjour!
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