Bourbaki, vraiment pour comprendre (4)

Bonjour,

Je continue avec la série d'exercices sur les ordinaux. Il s'agit maintenant de l'exercice n°15 p. III-78 du livre "Théorie des ensembles", dont l'énoncé est donné en pièce jointe. Ayant eu moins de difficultés qu'avec les deux précédents, je me permets de vous livrer plus succinctement ma solution (ce qui sera peut-être aussi plus digeste à la lecture !), je me tiens bien entendu à disposition pour détailler tout point que vous jugerez imprécis.

$a_1) \, \alpha, \beta$ étant $2$ ordinaux, il s'agit de montrer $\alpha<\beta \Longleftrightarrow \alpha + 1 \leqslant \beta$ :

$\bullet \, \alpha<\beta$ signifie (exo. 14 b) ) que $(E,\underset{E}{\leqslant}) \underset {i}{\simeq} (S,\underset{F}{\leqslant})$ avec $Ord(E)=Ord(\underset{E}{\leqslant})=\alpha \, ,\, Ord(F)=Ord(\underset{F}{\leqslant})=\beta$ et $S$ segment de $F$, différent de $F$ et comme $F$ bien ordonné $S=]\leftarrow,x[, x\in F$. Il s'ensuit que $x \in F-S$ n'a pas d'antécédent par $i$ !
$\bullet \,$On en déduit alors un isomorphisme $I$ entre la somme ordinale $(K=E+\{x\},\underset{K}{\leqslant})$ et $(\bar S=]\leftarrow,x], \underset{\bar S}{\leqslant}), \,$ $(\underset{\bar S}{\leqslant}$ étant l'ordre de $F$ restreint à $\bar S$) , puis, en passant aux type d'ordre : $Ord(K)\leqslant Ord(\bar S)$
$\bullet \,$ Or $\bar S \subseteq F$ , donc : $Ord(K)\leqslant Ord(F)$, soit (exercice 13, c) ) : $Ord(E) + Ord(\{x\}) \leqslant Ord(F)$ c'est-à-dire $\alpha+1\leqslant\beta $
$CQFD$

$a_2)$ Il s'agit de montrer $\alpha<\beta \Longrightarrow \alpha+\xi\leqslant\beta+\xi$ :

$\bullet $De $\alpha<\beta$, on déduit $\alpha \leqslant \beta$ , c'est à dire (exercice 13, f) ) $\alpha,\beta \text{ ordinaux } \land \, \alpha \prec \beta$
$\bullet$ Or $\xi \prec \xi \, \,$ donc, par l'exercice 13, f) : $\alpha+\xi\prec\beta+\xi \hspace {1 cm} (1)$
$\bullet$ Comme $\xi$ ordinal, par exercice 14, a) on déduit que $\alpha+\xi$ et $\beta+\xi$ : ordinaux $\hspace {1 cm} (2)$
$(1)+(2) \Longrightarrow \alpha+\xi\leqslant\beta+\xi \hspace{3 cm} CQFD$

$a_3)$ Il s'agit de montrer $\alpha<\beta \Longrightarrow \alpha\xi\leqslant\beta\xi$ :
C'est le même type de démonstration que précédemment...

$a_4)$ Il s'agit de montrer $\alpha<\beta \Longrightarrow \xi + \alpha < \xi +\beta$ :

$\bullet \, \alpha<\beta \underset {a_1)}{\Longleftrightarrow} \alpha + 1 \leqslant \beta \underset {exo. 13, f)}{\Longrightarrow} \xi + (\alpha+1)\leqslant \xi+\beta \underset {exo. 13, c)}{\Longrightarrow} (\xi +\alpha) +1\leqslant \xi+\beta \underset {a_1)}{\Longleftrightarrow} \xi + \alpha < \xi +\beta \hspace{2 cm} CQFD$

$a_5)$ Il s'agit de montrer $\alpha<\beta \Longrightarrow \xi \alpha < \xi \beta \,$ (si $\xi >0$) :
C'est le même type de démonstration que précédemment...


$b)$ Il s'agit de montrer qu'il n'existe pas un ensemble de tous les ordinaux :

$\bullet\,$Supposons, par l'absurde, qu'il existe un ensemble $\mathfrak{O}$ de tous les ordinaux, et on définit $f:\begin{cases} \mathfrak{O} \longrightarrow \mathfrak{O} \\ \xi \longmapsto f(\xi)=\xi\end{cases} \,\,$ ($f$ est en fait l'identité !)
$\bullet \, \mathfrak{O}$ peut être alors considéré comme une famille d'ordinaux indexée par $\mathfrak{O}$ ! (voir remarque après 2) en bas de p.II-14 pour ceux qui ont le livre ...)
et par l'exercice 14, d), cette famille a une borne supérieure unique $\alpha$ qui est un ordinal, donc $(\forall \xi \in \mathfrak{O}) \, \xi \leqslant \alpha$
Or, s'agissant des ordinaux: $1 > 0$, donc d'après exercice 15, a) : $\alpha + 1 > \alpha$ ce qui est en contradiction avec la définition de $\alpha ! \hspace{2 cm} CQFD$

$c_1)$ Il s'agit de montrer $\mu +\alpha<\mu + \beta \Longrightarrow \alpha <\beta$ :

Par l'absurde, supposons $\alpha \geqslant \beta$ alors par l'exercice 13, f) on a : $\mu +\alpha \geqslant \mu + \beta \longrightarrow$ contradiction ! $\hspace{2cm}CQFD$
On démontre de la même façon $\alpha + \mu <\beta + \mu \Longrightarrow \alpha <\beta...$

$c_2)$ Il s'agit de montrer $\mu\alpha<\mu\beta \Longrightarrow \alpha <\beta \,\,$ (si $\mu>0$) :
Démonstration du même type que ci-dessus ....
... et de la même façon : $\alpha\mu<\beta\mu \Longrightarrow \alpha <\beta \,\,$ (si $\mu>0$)

$d_1)$ Il s'agit de montrer $\mu +\alpha= \mu + \beta \Longrightarrow \alpha =\beta$ :
Supposons par l'absurde que $\alpha\neq \beta$, alors comme $\leqslant$ est une relation de bon ordre, on a $\alpha<\beta$ ou $\beta<\alpha$, il s'ensuit :
$(\alpha<\beta) \lor (\beta<\alpha) \underset{c)}{\Rightarrow} (\mu +\alpha < \mu + \beta) \lor (\mu +\alpha > \mu + \beta) \Rightarrow \Bigl((\mu +\alpha \leqslant \mu + \beta) \land (\mu +\alpha \neq \mu + \beta)\Bigr) \lor \Bigl((\mu +\alpha \geqslant \mu + \beta) \land (\mu +\alpha \neq \mu + \beta)\Bigr) $
$\Longrightarrow \biggl(\Bigl((\mu +\alpha \leqslant \mu + \beta) \lor (\mu +\alpha \geqslant \mu + \beta)\Bigr) \land \mu +\alpha \neq \mu + \beta\biggr) \Longrightarrow \mu +\alpha \neq \mu + \beta\hspace{2cm}CQFD$

$d_2)$ Il s'agit de montrer $\mu \alpha= \mu \beta \Longrightarrow \alpha =\beta$ :
Même type de démonstration que ci-dessus....


$e)\,$Il s'agit de montrer $\alpha \leqslant \beta \Longleftrightarrow (\exists!\xi) (\xi\leqslant \beta \,\land\, \beta = \alpha + \xi) $ :

$\bullet$ S'agissant de l'existence, c'est la même démonstration qu'en $a_1)$ en considérant $F-S$ au lieu de seulement $x$ ...

$\bullet$S'agissant de l'unicité : supposons $\beta=\alpha + \xi_1$ et $\beta=\alpha+\xi_2$, alors : $\alpha + \xi_1=\alpha+\xi_2$ et donc (par $d$) ) $\xi_1=\xi_2$
$CQFD$


$f)$ Il s'agit de montrer $\zeta < \alpha\beta \Longrightarrow (\exists\mu)(\exists\nu) ( \mu<\beta \,\land \, \nu<\alpha \, \land \, \zeta = \alpha\mu+\nu)$ :
cette question est la seule que je détaille …
$\bullet\,$le point crucial est de remarquer que, d'après exercice 13, $\alpha\beta=\displaystyle\sum_{i \in I,Ord(I)=\beta}\alpha_i$....
c'est-à-dire que $\alpha\beta = Ord(E_{\alpha\beta})=Ord(\displaystyle\sum_{i \in I,Ord(I)=\beta}E_i)$ avec $E_{\alpha\beta}$ ensemble bien ordonné par $\underset{\alpha\beta}{\leqslant}\,$ et $\,Ord(E_i)=Ord(\underset{i}{\leqslant})=\alpha$,
il s'ensuit que $\alpha\beta$ est le type d'ordre de $\displaystyle\bigcup_{i \in I,Ord(I)=\beta} \{i\}\times E_i$ avec $Ord(E_i)=\alpha$

$\bullet \, \zeta < \alpha\beta \underset {exo.14,b)}{\Longrightarrow} \zeta$ est le type d'ordre d'un segment de $\alpha\beta$, et donc il existe $(E_\zeta,\underset{\zeta}{\leqslant})$ bien ordonné, isomorphe à un segment de $(E_{\alpha\beta},\underset{\alpha\beta}{\leqslant})$

.$\,E_{\alpha\beta}$ étant bien ordonné, un segment de $E_{\alpha\beta}$ est de la forme $]\leftarrow,x[$,avec $x\in E_{\alpha\beta}$ (c'est à dire $x=(j,e)\in \{j\}\times E_j$)
Par conséquent : $y \in ]\leftarrow,x[ \Longleftrightarrow y\underset{\alpha\beta}{<} x \Longleftrightarrow y=(r,f)$ avec $r\underset{I}{<}j \,\lor \, (r=j \, \land \, f\underset{E_j}{<} e)$

. En remarquant que $r\underset{I}{<}j $ est équivalent à $r \in ]\leftarrow,j[_I$ ( = segment ordonné par $\underset{I}{\leqslant}$ ) et que $f\underset{E_j}{<} e$ est équivalent à $f \in ]\leftarrow,e[_{E_j}$ ( = segment ordonné par $\underset{E_j}{\leqslant}$ ), on en déduit que: $]\leftarrow,x[ = \left\{\displaystyle\bigcup_{i \in ]\leftarrow,j[_I} \{i\}\times E_i\right\} \, \bigcup \, \{j\}\times ]\leftarrow,e[_{E_j}$

. Ces réunions étant disjointes, on reconnait la somme ordinale : $\displaystyle \sum_{i\underset{I}{<}j} E_i + M$
. Donc, en passant aux types d'ordre on a: $Ord(E_\zeta)=Ord(\displaystyle \sum_{i\underset{I}{<}j} E_i + M)=Ord(\displaystyle \sum_{i\underset{I}{<}j} E_i)+Ord(M) $
avec $\begin{cases} Ord(M)=Ord(]\leftarrow,e[_{E_j})<Ord(E_j)=\alpha \\ et \\ Ord(\displaystyle \sum_{i\underset{I}{<}j} E_i)=\displaystyle \sum_{i\underset{I}{<}j}Ord(E_i)=\displaystyle\sum_{i \in ]\leftarrow,j[_I}\alpha \end{cases}\hspace{1cm}\longrightarrow \hspace{0.5cm}$On pose alors: $\nu=Ord(M)$ et $Ord(]\leftarrow,j[_I)=\mu$.
. Enfin, en remarquant que $]\leftarrow,j[_I$ est un segment de $I$ mais différent de $I$ (puisqu'il ne contient pas $j$, élément de $I$...), il vient $\mu<\beta$, et on peut alors écrire que : $Ord(\displaystyle \sum_{i\underset{I}{<}j} E_i)=\alpha\mu$
. En conclusion: $\zeta=Ord(E_\zeta)=\alpha\mu+\nu$ avec $\mu<\beta$ et $\nu<\alpha$, et par construction, il y a unicité !

$CQFD$

En vous remerciant pour vos futurs commentaires, remarques, critiques, validations (au moins quelques-unes, j'ose espérer (:P)).... et cordialement