Critique du livre de Dehornoy
J'ai reçu un exemplaire du livre "théorie des ensembles" de Patrick Dehornoy, sorti chez Calvage et Mounet et je poste quelques commentaires.
1) Le livre est superbement bien articulé: le sommaire est très détaillé, les chapitres bénéficient d'un double résumé. Enfin, aurais-je envie de dire, tant de nombreux livres considèrent que tables des matières et index sont des outils subalternes.
2) Le contenu mathématique pèche par un classicisme excessif: certes, dans tous les DEA, on se doit de livrer un tronc commun d'informations qui soit + ou - toujours le même afin de ne pas égarer les étudiants, mais j'aurais préféré, (c'est une histoire de goût) que PaDe en profite pour publier des éléments qui sont assez rares ailleurs. Il ne semble pas avoir fait ce choix et préféré au fond offrir une traduction française de tous les archi-diffusés en anglais des 40 dernières années (en gros le contenu du PaDe est une partie stricte de Kanamori, tables de Laver mises à part, ça m'a un peu surpris, d'autant que Jech avait très largement enrichi Kanamori). Pourquoi pas, après tout, je ne sais qui est visé...
2bis) Je me dépèche de réparer l'apparent négativisme du (2): en même temps (beurk, macronisme), un gros livre vendu plus de 15 euros aura toujours du mal à ajouter et ajouter et ajouter des résultats moins diffusés. PaDe a déjà choisi (à moins que ce ne soit Rached, j'ai oublié de lui demander) une police très petite pour les preuves. Cela dit, j'aurais bien aimé lire des choses sur les 1001 équivalents de AC, sur ZF sans AC (hors ZF+AD bien sûr, il y a des tas d'étudiants qui ont écrit des thèses non triviales sur par exemple Ramsey + choix bien fondé), sur $AD(autrechosequeIN)$, sur les jeux de longueur alpha (et pas juste omega), etc, etc
3) Pour les lecteurs amateurs, je recommande de zapper de manière absolument ferme et brutale toutes les considérations politiques (totalement fausses) présentes de le livre.
4) Je trouve un peu dommage le petit jeu platonicien qui a consisté à prendre à la lettre les blagues de Woodin (assumées comme telles mais même si elles sont techniquement élaborées). Je ne peux pas imaginer que PaDe n'ait que trop peu parlé avec HW pour ne pas savoir que c'était de l'humour (mais la vie est si étonnante parfois). Ca fait très bizarre de retrouver des paragraphes (qui ont quand-même gaspillé une page chacun) entiers autour de "DP est VRAI", nous ne contenterons plus de le supposer. En plus d'être franchement sujet à controverse, ces passages sont fautifs (Woodin lui-même l'explique très bien si vous lui payez l'addition du restau) sur le plan scientifique. De même qu'il est fautif de dire que $AD(\Gamma)$ dénoue $\Gamma$ (exercice: le prouver, c'est vraiment facile)
edit: paragraphe ancien qui sera amendé fin mars en fin de fil
4bis) ce jeu est d'autant plus étrange qu'à d'autre moment du livre PaDe adopte des postures autoritaires plutôt opposées. Les lecteurs amateurs s'interrogeront longtemps sur la façon de trouver un passage étroit non contradictoire entre ces deux positionnements à des pages différentes.
5) Pourquoi ne pas avoir donné une preuve intégrale de Martin Steel? J'ai envie de dire qu'un lecteur ressentira un genre de "c'est trop ou pas assez". Il y a un pdf (faudrait que je le retrouve) sur internet, écrit en guise de mémoire par un étudiant de DEA qui rédige complètement (détails compris) cette preuve.
6) Pourquoi avoir zappé les extensibles (bon encore eux....) mais surtout la Vopenka Conjectur. Cette dernière (c'est un axiome de grand cardinal qui se trouve entre les supercompacts et les 1-huge) est littéralement emblématique et mérite de nombreux commentaires. L pour le coup un paragraphe de 15 pages n'eût pas été de trop
edit: remarque, je n'ai que parcouru la fin du livre, peut-être que ça se trouve avant
Bon bien sûr qui dit "critique" dit "critique", je tiens à dire que les gens qui achèteront ce livre feront une excellentissime acquisition en français. C'est le seul livre français disponible (coups de griffes RDC perso mis à part) sur le marché qui diffuse l'activité des professionnels de la théorie des ensembles telle qu'elle est EFFECTIVEMENT financée et "thésée". En cela PaDe a parfaitement bien ciblé les items et mis les plus sous le feu des projecteurs.
1) Le livre est superbement bien articulé: le sommaire est très détaillé, les chapitres bénéficient d'un double résumé. Enfin, aurais-je envie de dire, tant de nombreux livres considèrent que tables des matières et index sont des outils subalternes.
2) Le contenu mathématique pèche par un classicisme excessif: certes, dans tous les DEA, on se doit de livrer un tronc commun d'informations qui soit + ou - toujours le même afin de ne pas égarer les étudiants, mais j'aurais préféré, (c'est une histoire de goût) que PaDe en profite pour publier des éléments qui sont assez rares ailleurs. Il ne semble pas avoir fait ce choix et préféré au fond offrir une traduction française de tous les archi-diffusés en anglais des 40 dernières années (en gros le contenu du PaDe est une partie stricte de Kanamori, tables de Laver mises à part, ça m'a un peu surpris, d'autant que Jech avait très largement enrichi Kanamori). Pourquoi pas, après tout, je ne sais qui est visé...
2bis) Je me dépèche de réparer l'apparent négativisme du (2): en même temps (beurk, macronisme), un gros livre vendu plus de 15 euros aura toujours du mal à ajouter et ajouter et ajouter des résultats moins diffusés. PaDe a déjà choisi (à moins que ce ne soit Rached, j'ai oublié de lui demander) une police très petite pour les preuves. Cela dit, j'aurais bien aimé lire des choses sur les 1001 équivalents de AC, sur ZF sans AC (hors ZF+AD bien sûr, il y a des tas d'étudiants qui ont écrit des thèses non triviales sur par exemple Ramsey + choix bien fondé), sur $AD(autrechosequeIN)$, sur les jeux de longueur alpha (et pas juste omega), etc, etc
3) Pour les lecteurs amateurs, je recommande de zapper de manière absolument ferme et brutale toutes les considérations politiques (totalement fausses) présentes de le livre.
4) Je trouve un peu dommage le petit jeu platonicien qui a consisté à prendre à la lettre les blagues de Woodin (assumées comme telles mais même si elles sont techniquement élaborées). Je ne peux pas imaginer que PaDe n'ait que trop peu parlé avec HW pour ne pas savoir que c'était de l'humour (mais la vie est si étonnante parfois). Ca fait très bizarre de retrouver des paragraphes (qui ont quand-même gaspillé une page chacun) entiers autour de "DP est VRAI", nous ne contenterons plus de le supposer. En plus d'être franchement sujet à controverse, ces passages sont fautifs (Woodin lui-même l'explique très bien si vous lui payez l'addition du restau) sur le plan scientifique. De même qu'il est fautif de dire que $AD(\Gamma)$ dénoue $\Gamma$ (exercice: le prouver, c'est vraiment facile)
edit: paragraphe ancien qui sera amendé fin mars en fin de fil
4bis) ce jeu est d'autant plus étrange qu'à d'autre moment du livre PaDe adopte des postures autoritaires plutôt opposées. Les lecteurs amateurs s'interrogeront longtemps sur la façon de trouver un passage étroit non contradictoire entre ces deux positionnements à des pages différentes.
5) Pourquoi ne pas avoir donné une preuve intégrale de Martin Steel? J'ai envie de dire qu'un lecteur ressentira un genre de "c'est trop ou pas assez". Il y a un pdf (faudrait que je le retrouve) sur internet, écrit en guise de mémoire par un étudiant de DEA qui rédige complètement (détails compris) cette preuve.
6) Pourquoi avoir zappé les extensibles (bon encore eux....) mais surtout la Vopenka Conjectur. Cette dernière (c'est un axiome de grand cardinal qui se trouve entre les supercompacts et les 1-huge) est littéralement emblématique et mérite de nombreux commentaires. L pour le coup un paragraphe de 15 pages n'eût pas été de trop
edit: remarque, je n'ai que parcouru la fin du livre, peut-être que ça se trouve avant
Bon bien sûr qui dit "critique" dit "critique", je tiens à dire que les gens qui achèteront ce livre feront une excellentissime acquisition en français. C'est le seul livre français disponible (coups de griffes RDC perso mis à part) sur le marché qui diffuse l'activité des professionnels de la théorie des ensembles telle qu'elle est EFFECTIVEMENT financée et "thésée". En cela PaDe a parfaitement bien ciblé les items et mis les plus sous le feu des projecteurs.
Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
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Réponses
Projective veut dire definissable au second ordre sur (IN, +, fois). Attention IR abrege P(IN) en th des ensembles assez souvent.
Un ensemble est dit projectif quand il peut s'obtenir à partir des boréliens par combinaisons booléennes, projections et complémentaires. C'est l'aspect "projections" qui donne de la force. Pour la suite je triche un peu, je te donne à nouveau une version équivalente courte à écrire
DP dit (de manière équivalente) que pour toute partie projective $A$ de $E^2$, il existe un gros fermé $F$ de $E^2$ tel que $F\subset A$ ou $F\subset \{(x,y)\in E^2\mid (y,x)\notin A \}$.
Un gros fermé $\subset E^2$ est un fermé $X$ tel que $\forall x\in E\,\exists y\in E: (x,y)\in X$.
(1) contrairement à ce qu'il prétendait, christophec ne semble pas avoir fait partie des relecteurs du livre en question.
(2) Dehornoy ne semble pas faire grand cas du schéma d'axiomes: "frichmoute étaient les borogoves" prouve que "frichmoute étaient les borogoves" sous l'hypothèse "frichmoute étaient les borogoves".
On pourra, ad libitum, y voir deux raisons de moins (ou de plus) pour acheter et lire ce livre.
Cordialement, Pierre.
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?11,1586052,1586074#msg-1586074
à propos du livre de Dehornoy.
Le quatrième de couverture ainsi que toutes les parties politiques du livre (peu nombreuses, mais dommage que le quatrième de couverture en fasse partie) sont à décommander vivement au lecteur, car fausses et désinformantes (je ne parle pas spécialement de la phrase citée par MC, qui à elle seule est peu importante).
J'insiste que j'ai la plus grande estime pour PaDe qui m'avait choucouté à Luminy. Cela ne m'empêche pas d'insister sur la fausseté (ou plutôt la non -objectivité, car elles n'ont pas vraiment de sens donc ne sont pas vraiment fausses) de ses déclarations politiques (je le répète qui occupent très peu de place dans son livre qui est excellent).
J'en casse quelques unes (mais pas toutes, j'ai la flemme, et ce sont des serpents de mer bien connus des chercheurs, c'est inutile de papoter 10ans, les idéologues sont parfaitement conscients qu'ils le sont, donc pas besoin de les convaincre, ils le sont déjà, mais affichent volontairement l'opposé en public "il n'y a pire sourd qui celui qui ne veutpas entendre")
1) Concernant la phrase de MC: oui et non. Si on considère qu'une définition remplace une notion première et qu'une notion première c'est du vent et rien d'autre, alors si si, $2 = \{0;1\}$, puisque c'est la seule définition formelle et consensuelle acceptée à ce jour (à l'exception de ceux qui le considère comme une notion première). De toute façon l'honnêteté commande de dire "définitivement" que ou bien $2 = \{0;1\}$ ou bien $2$ est la collection des ensembles en bijection avec $\{0;1\}$ (c'est ça, la vraie définition
historique de $2$) et non le représentant ordinal canonique de cette collection. Mais dans tous les cas (la classe ou son représentant privilégié), le "ton" sur lequel PaDe parle est tel qu'il aurait pu tout aussi bien écrire la provocation fausse $<<$ non, $2$ n'est pas la collection des ensembles ayant le même cardinal que $\{a;b\}$ avec $a\neq b>>$, car son souci n'est absolument pas d'informer dans ce 4ième de couverture (ce souci vient à l'intérieur du livre)
2) Concernant ses propos répétés, mais pour autant rares (la politique est rare dans le livre) que ZF est une théorie l'infini, là encore, l'intention dans l'énoncé de cette fausseté criarde n'est pas d'informer, mais de "taper". Evidemment que les maths (maths = ZF(C) dans leur formalisme) ne se réduisent pas à l'étude de l'infini et c'est une manière pour PaDe de dire que $maths\neq ZF(C)$ que de dire ça (mais une manière si j'ose dire, violente). Encore une fois, ce sont des serpents de mer, mais j'en ai souvent parlé.
Une "guerilla", certes feutrée, mais bien intense, est à l'oeuvre de tout un tas de matheux incompétents en TDE, qui ne veulent pas apparaitre comme "les maths appliqués de quelqu'un d'autre". On est sur rien d'autre que des affaires de revendication et de vanité-orgueil. C'est un peu dérisoire. Parmi eux, d'ailleurs, les plus extrêmistes peuvent même aller jusqu'à ne pas accepter de se faire corriger quand ils confondent "prouvé et vrai" (je n'invente rien!!!!!).
Les comptes que règle PaDe en les glorifiant, ça s'appelle "de la politique" et rien d'autre. J'en ai souvent parlé sur le forum dans le passé, une ambiguité est entretenue entre "fonder" et "unifier". L'idéologie extrémiste dont PaDe s'est fait le porte-parole quelques paragraphes se voudrait "fondatrice" car "Madame" se satisfait pas" d'être juste "unificatrice" (il y en a qui serait pourtant bien content de recevoir la médaille de l'unificiation, demandez aux physiciens). Je rappelle juste que "fonder" c'est plutôt au départ et "unifier" c'est plutôt à l'arrivée et un accomplissement. Faut quand-même une sacrée dose de mégalomanie pour ne pas se satisfaire de ce compliment "tu es unificateur" :-D . "Au départ", ça veut dire "évident, enseignable théoriquement à l'école maternelle", c'est ça "fonder". Ce n'est pas d'obscurs développements absconses obtenus après 12 médailles Field (PaDe parle de la tentative de la théorie homotopique des types, qui d'ailleurs est très faible et ne parvient à "unifier" qu'une partie partie des maths du premier ordre et ne fonde évidemment rien du tout)
3) Le rasoir d'Ockam: c'est un peu différent de ce qui précède comme propagande politique, mais PaDe affirme à maints endroits du livre (enfin en filigranes sous-entendus, je ne veux pas prétendre que c'est explicite et je peux me tromper) qu'on glorifie (enfin qu'on le pérennise) un axiome en considérant la richesse des conséquences qu'il a. C'est absolument faux. Là encore, on est dans un lieu commun, dont je ne sais pourquoi un logicien (il doit être le seul logicien à afficher de manière aussi provocante cette erreur volontaire) le valorise. Bien évidemment que la science c'est d'avoir du sûr et que donc, elle ne peut pas arguer de la force (c'est à dire de la tendance à être faux) des énoncés pour, de manière croissante, les déclarer "vrais". C'est d'ailleurs, de toute évidence, une démarche schizophrène ("plus un truc a tendance à être faux, plus j'y crois").
La réalité est autre: les axiomes sont justifiés par le fait que leur fausseté ferait gagner gros, c'est tout. Après, il y a bien sûr une expertise pour évaluer "ce qu'on gagne".
S'agissant de la remarque de MC, elle n'est pas grave, mais je voudrais dire qu'elle est bizarre "rien que cette phrase me ferait acheter le livre", dit-il (ou dis-tu) (sous-entendu, "comme ça caresse mon idéologie dans le sens du poil, j'achète et lis"). C'est pour moi l'occasion de faire un HS de 2 lignes très court que je mets en rouge: d'une manière générale, je recommande à chacun de lire des oeuvres qui défendent l'idéologie opposée à soi. C'est plus enrichissant!
1) il y a 2 grandes idéologies qui s'opposent que je résume comme suit:
1.1) Celle qui dit que tout ce qui n'est pas prouvé est supposé
1.2) Celle qui voudrait mettre une espèce de couche interfacique où il y aurait des choses dites "fondamentalement vraies". C'est cette deuxième idéologie, qui emprunte à l'esprit religieux, qui anime les "soit disant" refondateurs défenseurs sur le net et ailleurs "d'alternative à ZF" (ou à la TDE)
2) L'idéologie (1.1) bien qu'idéologie (comme toute opinion qu'on défend) est plutôt light: elle défend la mise en gras de ce qu'on suppose dans toutes les preuves de maths et milite pour le statut de CONVENTION pour tous les axiomes "automatiquement supposés même si non écrits"
3) Bien des gens commettent des contre-sens (par exemple, on voit plein de gens qui font l'erreur de croire que Bourbaki a milité pour "qu'on croit à ses axiomes" (ce qui est l'opposé extrême de la réalité) et donc "ne l'aiment pas" :-D
4) En fait, ce qui différencie les 2 idéologies c'est que les partisans de (1.2) sont quasiment tous incompétents en logique donc caressent encore secrètement un vague espoir de réaliser le programme de Hilbert où on prouverait (après subtile esquive des conditions de validité du théorème de Godel) la "consistance" des fondement des maths. D'où une inflation vaine d'arguments de plus en plus absconses et certes brillants, mais techniques, qui tournent autour du typage (révélant d'ailleurs, c'est ça qui est rigolo, une incompréhension profonde de ce que veut dire typer (j'en parlais encore récemment avec un spécialiste, pourtant adepte de 1.2, mais qui était d'accord in fine)
5) Pour simplifier on pourrait dire qu'il y a encore des gens qui "voudraient travailler dans une théorie consistante" (enfin je veux dire "dont on est sûr qu'elle l'est à un bon degré"). Le plus amusant est qu'il y a une forte coincidence entre cette communauté et ceux qui se déclarent non platoniciens (ce qui est pour le moins paradoxal).
En conclusion: il n'y a rien à fonder (ou plutôt ce programme est voué à sa propre perte), ZF n'est pas "une fondation" et donc ça n'a pas de sens de "le remplacer". Les "combattants anti-ZF qui voudraient remplacer ZF par autre chose perdent leur temps et sont comparable à Don Quichotte (il veulent combattre un dictateur qui n'existe tout simplement pas). Le fait que toutes les maths se font dans ZF n'est rien d'autre qu'une convention de langage (et n'a rien de profond), et bien évidemment, on a encore jamais vu de chercheur annoncer un théorème dans lequel figurerait un argument "non acceptable" dans ZFC (il se devrait alors de le justifier et aurait grand mal à réussir ça devant la communauté scientifique). Je ne parle pas des grands cardinaux (que je mets dans ZF et qui de toute façon sont en encre noire sur fond blanc lors des publications.
1) Encore une fois, l'opposition entre les idéologies concerne essentiellement "l'honneur de l'esprit humain", car tout le monde se fiche de laquelle est la plus pertinente. Les conséquences politiques sont a priori mineures, voire inexistantes. Mais il y a quand-même des conséquences de désinformation grave du public possible, ce qui n'est pas forcément souhaitable, et je ne parle pas a priori mais après constat et avoir croisé nombre de victimes de ces désinformations (de gens pas assez "matheux" par exemple qui croient que les catégories ne nécessitent pas de formation en TDE et qui, à cause de ça, n'ont pas pu progresser (avec parfois des conséquences alimentaires)).
2) Une désinformation possible pour le quidam qui se laisserait influencer par les diatribes de PaDe et qui n'y connaitrait rien avant serait, et ça le pénaliserait beaucoup, de croire "qu'il existe quelque part, mais ailleurs" des définitions précises des objets mathématiques. Il achèterait alors des livres, où il ne trouverait évidemment rien, et s'épuiserait.
Bien entendu que des choix ont été faits, dont une partie est conventionnelle. Dire que $2 = \{0;1\}$, autrement dit que $2$ est le plus petit ordinal en bijection avec les paires qui ne sont pas des singletons (je rappelle que le "vrai" $2$ est l'ensemble (la collection) de tous les ensembles qui sont des paires non singletons) peut apparaitre en partie conventionnelle. But what else? ** Pour comprendre ça, il faut revenir à $0$, qui est $\emptyset$ et non pas la "collection" des ensembles vides (celle-ci étant d'ailleurs aujourd'hui définie comme étant le nombre $1$).
Partant d'un ensemble $x$, comment définir un ensemble qui s'appelle $<<x+1>>$? Il faut pour ça ajouter à $x$ un élément qui n'est pas dans $x$. Bien entendu, on peut affirmer son existence, mais ce n'est pas très reglo, car ça ferait beaucoup de notions premières qui s'accumuleraient!!! (N'oublions pas qu'avec le signe $\forall$, le simple ajout d'une notion première peut exploser en multitude infinie de notions premières et ce serait préjuger que de penser que "ce n'est pas grave car c'est uniforme")
Le célèbre théorème dû à Cantor, qui trouve un élément canonique qui n'est pas dans $x$ est beaucoup plus satisfaisant: $x+1 := \{t\mid t\in x\ ou\ t=\{y\in x\mid y\notin y\}\}$ et pour des raisons que je ne détaille pas, vaut $x\cup \{x\}$ pour tous les objets à figure humaine. De là, le fait que $2 := (0+1)+1$ n'est plus une convention mais un théorème.
2) Quand, il y a une dizaine d'année, j'ai ouvert le fil "le forcing expliqué aux matheux ordinaires", je me rappelle une chose (même si ensuite il est devenu un fil à caprices du moment). Je me suis refusé coute que coute à introduire les choses de manière artificielle. Par exemple, "l'idiotie" consistant à dire "il existe sur IN deux opérations $+$ et $\times$ vérifiant $\forall x,y: x\times (s(y)) = (x\times y) + x$, etc, et puis de tout prouver ensuite par récurrence ubuesque. Bien entendu, je n'ai rien contre ces activités sportives, mais elles n'ont que faire autre part que dans des exercices de musculation. J'ai pris soin de définir $a+b$ comme l'entier en bijection avec deux ensembles disjoints respectivement en bijection avec $a,b$ et $a\times_{\N}\ b$ comme le cardinal du produit cartésien $a\times b$. Pourquoi? Parce que c'est ça l'approche honnête (et pour l'heure permise par la seule TDE) et c'est comme ça (bien entendu les profs des écoles ne sont pas des matheux, mais...) qu'on peut avoir l'espoir de convaincre l'enfant des propriétés de semi-anneaux de $(\N,+\times)$.
3) Ce qui m'amène à commenter la proposition de voir $2$ comme le terme du LC suivant: $suc(suc(zero))$ où $suc$ est défini par
$$n\mapsto (f\mapsto (x\mapsto [n(f) (f(x))]))$$
et zero par $x\mapsto (y\mapsto y)$ , comme évoqué par MC (MC:=math coss) dans l'autre fil.
Tout d'abord, il faut rappeler que faire du LC ou faire de la TDE, c'est la même chose (il y a une bijection entre ensembles et fonctions qui est quasiment l'identité). Si les ensembles l'ont emporté historiquement, c'est probablement parce qu'on voulait un statut privilégié pour les phrase afin de s'économiser d'écrire "=vrai" à la fin de chacune (et même le statut de P=vrai aurait été d'être "une phrase", donc autant écrire P plutôt que P=vrai, puisqu'en poussant le vice, on devrait ne pas en finir d'ajouter des "=vrai"). Un ensemble est juste une fonction dont le codomaine est $\{vrai; faux\}$, un $\{vrai; faux\}$ + ou - méta qui n'est utilisé qu'une fois (tout le reste étant explicite).
Ensuite, contrairement à ce que raconte MC, il n'est pas vrai du tout que l'application du LC (qui est l'opération puissance en fait) se réduise correctement aux entiers seuls. Par exemple, le suc que j'ai défini ci-dessus a un point fixe (comme toute fonction, ie tout terme du LC) et c'est lui qui fait tout le travail. La question n'est pas de savoir si $2=suc(suc(zero))$, mais bien entendu celle de savoir quelles sont les fonctions qui sont des entiers au sein des fonctions. Ce serait ne pas répondre que de défendre la position de GG disant "ceux que je peux obtenir en appliquant un nombre fini de fois de suite suc à zero".
Je rappelle que ce qui caractérise le LC, c'est justement d'avoir cette opération puissance universelle (qui n'est autre que l'application d'une fonction à son argument) et que le LC est défini dès lors qu'on dispose de $k,s$ vérifiant pour tous $x,y,z:$
$$ x^{(y^k)} = y \ et\ z^{(y^{(x^s)})} = (z^y)^{(z^x)}$$
dont on voit bien que l'écriture en ligne $a(b)$ et quand-même bien plus pratique que $b^a$.
Ensuite, puisqu'on joue "aux entiers de Church", MC oublie de dire ce que sont $+$ et $\times$ (définis eux aussi tout simplement par $\times := \circ$ (excusez du peu) et $+$ par $x\mapsto (y\mapsto (z\mapsto x(z)\circ y(z))$ qui pour les lecteurs qui découvrent, peut être mnémotechniquement retenu en écrivant ça sous forme de puissance); c'est "tout à fait fondateur" :-D
C'est un peu gênant d'expliquer aux enfants que quand il vont compter des billes dans un sac, il vont devoir itérer $suc$, mais aussi que $\circ$ .. euh pardon $\times$ est commutative.
4) A ce jeu, MC aurait pu aller plus en amont et signaler que le couple $(x,y)$ est $z\mapsto z(x)(y)$ et que la première projection est $K$ (qui est la fonction $x\mapsto (y\mapsto x)$ ) et la deuxième est $K(J)$ où $J$ est $(x\mapsto x)$. Sauf qu'on a alors un sérieux problème, c'est que pour des opérations aussi simples, on doive dupliquer ou jeter des ressources. Or les termes du LC le plus "sérieux" sont ceux qui n'utilisent qu'une fois leur ressource.
Mais tout ça, c'est exactement faire de la TDE!!!!!! sous une forme plus almabiquée, artificielle et moins naturelle certes, mais c'est en faire. Ce n'est absolument pas ni changer de paradigme, ni changer de fondations. Ces conventions (banales et connues depuis Church) sont équiconsistantes avec la les bridage de la TDE avec un algorithme de complexité linéaire (En gros, c'est la même approche, à des remplacement de signes par d'autres, bijectivement près).
5) Je ré-insiste: les enfants comptent des billes dans des sacs, multiplie pour "calculer l'aire d'un rectangle".
Ouais bah si tu te bases sur l'opinion des enfants, tu vas bien être obligé d'admettre que $2$ c'est pas $\{\varnothing, \{\varnothing\}\}$.
Plus serieusement, je n'ai pas lu son livre, mais je pense que ce que dit Dehornoy quand il dit "NON, $2$ n'est pas $\{\varnothing, \{\varnothing\}\}$", c'est plutôt qu'il croit à l'existence d'un monde platonique des objets mathématiques, et il croit que la théorie des ensemble est un langage qui permet de parler de ce monde, mais qui ne dit rien de la nature profonde et véritable de ses objets.
D'accord Shah d'Ock, un autre avait dit "la carte n'est pas le territoire".
J'ai acheté ce livre pour une autre raison: il vient de C&M.
Cordialement,
Rescassol
e.v.
Cela dit, que penserais-tu de rejoindre l'ALCAPA (Association de Lutte Citoyenne contre les Acronymes et la Prolifération des Abréviations)?
Et mon niveau en Logique, je l'ai déjà dit, est des plus médiocres.
J'ai déjà parlé du CNCAA, Comité National Contre l'Abus des Abréviations. Encore des associations rivales, on n'en sortira pas.
Pour PaDe non je sais pourquoi il a fait ça (mais je ne le dirai pas). En tout cas il a fait fort il aurait au moins pu faire semblant de "ne pas y toucher"
Qu'aurait-on pu prendre d'autres ? C'est peut-être détailler un peu cela qui serait éclairant pour les profanes...
@poirot: peut-être aurais-je mieux fait de dire "philosophico-politique"**? Tout ce qui n'est pas des maths. Par exemple, le 4ième de couverture (extrêmement violent), la répétition que ZF est une étude de l'infini (sous-entendu "mais pas du fini et des maths ordinaires), que la détermination projective "est vraie" (je cite), qu'on justifie l'adoption définitive d'un axiome à la richesse de ses conséquences. Etc...
Attention, je ne dis pas qu'il a tort ou raison (enfin je pense qu'il a tort, mais ce n'est pas mon propos), j'évoque surtout la poncivité prosélyte qu'il a choisie (en gros, il fait de la provocation pure et dure, et ce n'est pas pour m'embêter moi (dont il a oublié probablement l'existence à un chouya près)).
Il aurait pu, par exemple, évoquer les mêmes idées, mais en s'engageant moins et en faisant dans du plus subtil, je pense que s'il ne l'a pas fait c'est qu'il n'a pas voulu le faire
(le bouquin n'a pas dû lui prendre tant de temps que ça, dans la mesure où il s'agit probablement des cours qu'il a donnés des décennies durant (je ne dis pas pour autant qu'il n'a pas travaillé, les 1001 relectures+corrections prennent 50 fois plus de temps que le premier jet (c'est d'ailleurs bien pour ça que je les sacrifie :-D ))).
@Shah: l'un n'exclut pas l'autre. Mais lis le 4ième de couverture, tu comprendras peut-être mieux. Et si tu peux, lis l'avant-propos.
** le mot "politique" n'est pas péjoratif pour moi, c'est même un mot noble.
tu dis que la "vraie" définition de 2, c'est {0, 1}, ou encore mieux, la classe des paires.
Ça m'intéresse alors de savoir quelle "vraie" définition tu donnes des réels.
La construction par coupures de Dedekind ?
Celle par suites de Cauchy de Cantor ?
Une autre ?
Ou alors diras-tu que c'est simplement l'unique corps (à isomorphisme près) totalement ordonné vérifiant l'axiome de la borne supérieure, comme on peut dire que N est l'unique ensemble (à isomorphisme près) vérifiant les axiomes de Peano (dont $\omega $ n'est que l'un des modèles) ?
@GG, je suis étonné par ta question, il y a plusieurs $\R$, comme il y a plusieurs $\C$, comme il y a plusieurs paires. Où est le problème? Que les matheux non logiciens puissent remplacer un $\R_1$ par un autre $\R_2$ qui lui est isomorphe n'entraine pas pour autant que ces deux corps sont égaux. Isomorphe n'est pas synonyme de $=$. Bien évidemment il y a de nombreuses situations où l'intérêt des gens est invariant par isomorphisme de la structure intéressante. Tu aurais tout aussi bien pu me demander*** qui je choisis dans $\{(0,1); (0,-1)\}$ pour jouer le rôle de $i$. Les gens ont pris $(0,1)$, mais c'est une convention, $(0,-1)$ eût donné les mêmes joies.
*** quand on décide d'appeler "corps des nombres complexes" le plan vectoriel $\R^2$ en le dotant de la multiplication $$(x,y).(u,v)\mapsto (xu-yv, xv+yu)$$ mais tout le monde ne fait pas ce choix.
Tu parles quelque part d'une "vraie" définition des entiers, ou ai-je rêvé ?
Je te demande alors si tu penses qu'il y a une une "vraie" définition des réels, et si oui, laquelle ?
Ma question concerne ce bout de phrase : "on a pris le plus petit ordinal de cardinal 2 comme étant 2". Qu'aurait-on pu prendre d'autre ? En fait, ce que je ne comprends pas, comme c'est apparemment supposé implicitement dans la phrase, c'est qu'il existe des ordinaux de cardinal 2 "plus grands". C'est là, que les bactéries attaquent comme disait l'autre. Un brin d'explication pour les débutants ?
(Je précise que je ne suis pas un spécialiste de TDE mais que j'ai tout de même bouquiné pas mal les notions de base : ordinaux, cardinaux, etc. D'où mon inquiétude, en fait...)
> f rond f :-D
Quand on voit que les citations supposées fonder les critiques se limitent principalement à la quatrième de couverture, le tout entrelardé d'affirmations sur le modèle
on se dit qu'un certain nombre de participants à ce fil n'ont pas ouvert le bouquin dont ils causent. A vrai dire, ce ne serait pas la première fois. Rien de nouveau depuis (par exemple) les "critiques" du bouquin de A. Robinson "Non-standard Analysis".
Cordialement, Pierre.
Comme tu sais il est connu que l'énoncé suivant est compatible avec ZF (sauf si ZF est contradictoire):
il existe une suite de parties dénombrables de IR dont la réunion est IR
Je te propose un énoncé beaucoup plus fort, dont je t'invité à essayer de le casser dans ZF. Dorénavant j'appelle "suite" tout fonction de domaine $\mathbb{Z}$ (et non plus $\mathbb{N}$). Soit $u$ une suite. Je note $c(u)$ l'ensemble des suites $v$ telles que il existe $n\in \mathbb{Z}: v=(p\mapsto (u(n+p))$. Quand il existe une suite $u$ telle que $x=c(u)$ je dirai que $x$ est une pseudo-suite. Peux-tu casser l'affirmation suivante:
Il existe une pseudo-suite $x$ telle que pour tout $u\in x$ et tout $n\in \Z: u(n)$ est une pseudo-suite dont les éléments ont des termes réels et telle que pour tout réel $r$, il existe $u,n,v,p$ avec: $u\in x$ et $n,p$ sont dans $\Z$ et $v\in u(n)$ et $r=v(p)$
Bon, histoire de ne pas compliquer, j'ai pris une équivalence très simple, mais la bonne équivalence*, un peu plus compliquée**, marche aussi
** mais elle oblige à prendre $\Z^\Z$ à la place de $\R$
* envoyer par exemple $u$ sur $n\mapsto u(n+p)-p$ ce qui permet de préserver plus de structure mais n'est pas très important ici.
Je référence la question présente dans : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?16,1008195,1587766,page=14#msg-1587766
Non, j'ignorais ce résultat, comme tous ceux qui découlent du refus de l'axiome de choix. Je ne me suis toujours intéressé qu'à ZFC et à ses conséquences les plus classiques.
Christophe je rebondis sur ton tout premier post (je suis justement en train de lire le livre de PaDe, comme tu dis, je profite des vacances).
Dans le point 3), quand tu parles de considérations politiques tu fais allusion aux violentes critiques anti-bourbachistes c'est ça ?
Concernant le point 4) :
a) Je pense effectivement comme toi que Patrick a eu largement l'occasion de parler avec Woodin ces 30 dernières années...
b) Quand tu parles de l'humour de Woodin, tu suggères qu'il ne croît pas vraiment à DP, alors que Dehornoy semble considérer ZFC+DP comme le bon système ?
c) Je veux bien payer un restau à Woodin, je ne suis même pas radin sur l'addition, mais il faudra que tu lui dises de parler lentement, because my English is very bad... et je ne te cause même pas de mon américain.
Je dine dans quelques jours avec PaDe (a priori en quasi tête à tête) peut être serai-je amené à préciser voire à amender sérieusement l'orientation politique que je lui attribue ci dessus? On verra.
Si tu as des références sur ce sujet, ça m'intéresse...
Ce qui me gêne surtout c'est la redite perpétuelle (pas seulement là, mais un peu partout dans le livre) au sujet de l'aspect non fondationnel de la TDE.
D'abord, certes il n'y a pas unicité du système : j'aime beaucoup Morse-Kelley, mais c'est vrai que les différences avec ZFC sont minimes. J'aime bien aussi la théorie de Peter Aczel avec anti-fondation, voire NFU à condition d'y comprendre quelque chose... mais c'est vrai que la théorie homotopique des types, franchement, qui en a entendu parler ?
Mais bref, je persiste et signe pour dire qu'une TDE, quelle qu'elle soit, a forcément un aspect fondationnel des maths.
Dans le même ordre d'idée je trouve réducteur de dire que la TDE est uniquement une théorie de l'infini. Et puis même, l'essentiel des maths est basé sur l'infini, non ? (Je n'ai rien contre les gens qui travaillent sur les groupes finis, mais j'imagine qu'il doit y avoir beaucoup d'infini dans les outils utilisés dans leur travaux).
Bon, ceci dit je trouve que la sortie de ce livre est une excellente nouvelle pour pas mal de gens, dont moi. Il a 2 avantages extraordinaires :
1) Il part d'un niveau très élémentaire pour arriver à des considérations fortement non triviales.
2) Il est en français (je lis l'anglais, mais à chaque lecture je dois faire un double effort : comprendre les difficultés purement mathématiques, et me forcer à piger le vocabulaire utilisé).
P.S. Je ne comprends pas pourquoi le logiciel n'arrête pas de me souligner en rouge le mot "fondationnel", alors que PaDe l'emploie à toutes les sauces...
concernant les jeux de longueurs alpha, non, je n'ai pas de référence, mais ce n'est pas non plus mon invention, Boban me disait souvent qu'Itay Neeman, dans des travaux non publiés avait vaguement réussi à mesurer leur consistency-strength. Les noms, enfin je pense, attachés à ces paysages de jeux, peuvent être: Fred Galvin, I.Neeman, John Steel. Il y avait aussi un étudiant de Galvin qui avait écrit un livre entier sur l'étude de "jeux poil à gratter" assez poussée, mais hélas je ne me rappelle pas son nom. Par exemple, il publiait tous les arguments + ou - célèbres, même si "faciles" a priori, vue la subtilité du domaine par ailleurs. C'est un livre, pas juste un article. Mais je crois qu'il y est beaucoup question de jeux de longueur IN. Sinon, si tu te poses des questions précises, je peux essayer d'y répondre. J'ai prouvé beaucoup de choses "plaisantes" sur ces jeux (et assez faciles).
Concernant PaDe, comme tu y vas plus fort que moi :-D (Bon, j'ai moins lu le livre en détail que toi apparemment). Je ne sais pas ce qu'il lui a pris, j'espère l'apprendre prochainement!!
Ce qu'il y a d'agaçant avec cette erreur (je dis bien que c'est une erreur) consistant à faire croire qu'on débat de fondations, c'est que ça désinforme violemment le public car lui fait croire qu'il y a besoin de fondements. Or quand les théories prétendument "concurrentes" à la TDE sont non seulement compliquées, mais absolument en aval, c'est à dire nécessitent la TDE pour être définies. Mais même si elles n'en avaient pas besoin, un enfant de 10 ans les disqualifieraient d'emblée pour excès de gratuité, d'arbitraire, et de complexité (elles sont imbittables). Ce qui est hélas trop oublié est que les fondations on les connait parfaitement pour ce qui est des maths: tout assumer, point barre. La vraie fondation n'est d'ailleurs pas ZF mais la TDE originelle (comme je l'ai déjà dit 1000 fois) et sa contradiction (avec la logique intuitionniste) n'en fait pas une théorie disqualifiée (tout le monde travaille dedans à longueur de journée, c'est tout de même idiot de ne pas l'assumer).
Comme je disais à foys, dans un autre fil, "toutes les fonctions ont des points fixes, et alors? "*** (Mince, je ne sais plus quelle pub utilise ce "et alors?" :-D , initialement, c'est le film "9 mois fermes" où c'est l'avocat irrésistible qui le dit).
Je ne suis pas suspect d'avoir baigné dès le départ dans ce genre de considérations, j'étais un fervent partisan du classicisme (de la logique classique), et je vilipendais les changeurs de logique pour un oui pour un non. MAIS j'ai réfléchi et évolué. Je crois réellement que la Nature nous impose de conduire des recherches où l'existence de $a$ tel que $x\in a$ EST EGAL EN DUR à $R(x)$ vient AVANT la priorité qu'on donnerait à la logique classique et intuitionniste. Dans l'autre fil, avec foys, on discutait de la difficulté d'arbitrer un match entre un personne se prétendant voyante et devant jouer $x$ à 14H et gagner contre Léa qui joue $y$ à 15H, ayant pris connaissance de $x$, avec le critère que Lea gagne SSI $y\neq x$. On impose de plus que les coups joués sont dans $\{0;1\}$. Oui mais qui décide-t-on de faire perdre si l'un ou les deux de $x,y$ ne sont pas dans $\{0;1\}$???? Et comment arbitrer???. La Nature est sans pitié: même si on impose à Léa qu'elle perd si son $y$ n'est pas dans $\{0;1\}$, de sorte que Voyante n'aurait pas d'excuse, alors les problèmes commencent: il n'y a pas d'application d'un connexe ($C$ tel que $\{0;1\}\subset C$) dans $\{0;1\}$ continue et sans point fixe.
Bref... les débats fondationnels sont tout à fait autre chose que ce que les promoteurs de je ne sais quelle usine à gaz typante espèrent. On ne peut pas typer si on est sérieux (à cause de la "continuité" de Dame Nature, qui nous infligera toujours des points d'hésitation (comme être dans $\{0;1\}$ à epsilon près)).
*** je sous-entendais le fait bien connu que "nos calculs-formalisme" nous donnent même uniformément le point fixe de chaque $f$ via :
$$ p(f):= let \ a:=[x\mapsto f(x(x))] \ in \ a(a) $$
qui n'est probablement qu'une toute petite partie visible d'un gros iceberg qu'il reste à explorer. (Et on a pris du retard en rejetant la TDE originelle plutôt que la logique classique (et intuitionniste)). Il a fallu que la MQ nous inflige de force ses phrases non clonables. On aurait dû faire plus attention à la phrase $a:=non(a)$ découverte avant.
Cela n'a pas grand-chose à voir mais j'ai une question qui me vient à l'esprit et je ne sais pas si Dehornoy y répond vu que je ne suis pas encore arrivé là dans le livre, loin s'en faut !
Je sais que si V=L il ne peut pas exister de cardinal mesurable.
Supposons, pour emmerder le monde, qu'il existe dans l'univers "réel" un cardinal mesurable kappa.
V et L ont les mêmes ordinaux, donc kappa est dans L en tant qu'ensemble, et même en tant qu'ordinal..
Mais, comme il y a moins de bijections dans L que dans V, L "voit" aussi kappa comme un cardinal, on est bien d'accord ?
Je pense même qu'il le voit comme un inaccessible, me trompé-je ?
En tous cas ce qui est sûr c'est qu'il ne le voit pas comme un mesurable.
Pourtant AC est vrai dans L, donc l'ultrafiltre kappa-complet (ou aleph zéro-complet) censé être porté par kappa doit bien aussi exister dans L, non ?
Alors qu'est-ce qui se passe ? L'ultrafiltre a perdu sa stabilité par intersection dénombrable en passant de V à L, c'est ça ?
J'avoue que je me sens un peu comme le Père Plexe.
Rappel M est le transitif collapse de l'univers ultra puissance où f in g est défini par ensemble des x tels sue f(x) appartient à g(x) est dans l'ultrafiltre.
Je ne suis pas sûr de voir quel lien tu fais entre AC et l'ultrafiltre, mais je vais tenter une réponse.
On a, d'une part, un ultrafiltre $U$ $\kappa$-complet sur kappa dans $V$.
D'autre part, l'axiome du choix dans $L$ donne l'existence d'ultrafiltres non principaux sur $\kappa$ dans $L$. Mais rien ne dit qu'on puisse obtenir $U$ de cette manière ; et c'est même justement ce qu'il se passe. $L$ "ne voit pas" l'ultrafiltre $U$ (autrement dit, $U\notin L$).
@Christophe : maintenant ça me revient, il me semble que Louveau nous avait parlé d'un truc dans le genre, mais c'était en 2004 alors ça commence à dater lol.
@Mattar : Tu as mis précisément le doigt sur le truc qui me dérangeait : je savais bien que AC dans L entraînait l'existence d'ultrafiltres non principaux sur kappa, mais je me demandais ce que L pensait de l'ultrafiltre kappa-complet en question.
Maintenant j'ai la réponse : il n'en pense rien, puisqu'il ignore son existence.
Martial
Page 247, juste après la démonstration du corollaire, Dehornoy écrit :
"L'argument ci-dessus montre en fait qu'en tant qu'ensemble ordonné, un modèle non-standard de l'arithmétique commence par une copie de $\N$, puis est composé de copies de $\Z$ puisque chaque élément a un successeur et un prédécesseur immédiats".
Jusque là, no problem.
"On peut vérifier que les copies de $\Z$ forment un ordre dense sans point extrémal".
C'est là que j'ai du mal à suivre : pourquoi ordre dense, et pourquoi sans extrémités ?
Si quelqu'un peut m'expliquer, ou alors me donner une référence...
Merci d'avance
Martial