Qu'est-ce qu'un nombre ?
Bonsoir,
Existe-t-il une définition d'un nombre ? Selon moi un ensemble n'a pas l'air d'être ce que j'ai envie d'appeler un nombre, de même pour une application. Un nombre est-il un élément d'un ensemble qui ne soit ni un ensemble d'ensemble ni un ensemble d'applications ?
Les nombres sont-ils exactement les éléments de $\mathbb{C}$ ? Après il y a (même si je ne les connais que de nom), les nombres transfinis ect... Donc à priori non
Existe-t-il une définition d'un nombre ? Selon moi un ensemble n'a pas l'air d'être ce que j'ai envie d'appeler un nombre, de même pour une application. Un nombre est-il un élément d'un ensemble qui ne soit ni un ensemble d'ensemble ni un ensemble d'applications ?
Les nombres sont-ils exactement les éléments de $\mathbb{C}$ ? Après il y a (même si je ne les connais que de nom), les nombres transfinis ect... Donc à priori non
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Réponses
$0=\varnothing$,
$1=\{0\}$,
$2=\{0,1\}$,
$3=\{0,1,2\}$
etc etc
(et quand on croit que c'est fini on recommence).
Je ne sache pas qu'il y ait une définition générale du substantif "nombre". Il y a par exemple les "nombres complexes", les "nombres suréels", ..., mais il ne s'agit pas d'une notion générale de nombre qui aurait en plus la propriété d'être, selon les cas, complexe ou suréel ou autre.
D'accord je vois... J'ai lu que Cantor avait essayé de définir ce qu'est un nombre, mais que beaucoup ne reconnaissait, en core aujourd'hui, pas ce travail.
Ce sont tous des corps qui étendent $\mathbb{Q}$ d'une façon plus ou moins naturelle,
mais ils sont tellement différents, que je ne vois pas trop comment rendre légitime le fait de les ranger tous dans une même catégorie "nombre".
Reuns, justement, ils ont quand même des choses en commun, non ?
Sylvain j'aime bien la façon dont tu essayes de te réfugier derrière de grandes pensées philosophiques après avoir dit une sottise (ce qui arrive à tout le monde, moi le premier).
Les raisons sont les suivantes, à mon humble avis d'historien/épistémologue des maths de comptoir : déjà, la notion de nombre entier était plus ou moins séparée de la notion de grandeur, chez les Grecs ; de plus, les entrées de $0$, $\sqrt{2}$, $\pi$, $i$ dans le monde des nombres ont causé, en leur temps, pas mal de questionnements ! Enfin, les développements de l'algèbre du XIXème siècle ont permis à l'arithmétique de s'émanciper du concept de nombre, en parlant de polynômes, d'idéaux d'anneaux, etc., tandis que Cantor a "élargi" le concept de nombre à des choses infinies, les ordinaux. De nos jours et depuis le moment où on a décidé que les maths ne se feraient plus qu'avec des ensembles, la question ne se pose même plus : les objets mathématiques sont tous de même nature, à savoir des ensembles.
"A partir du moment où on a décidé que les maths ne se feraient plus qu'avec des ensembles" ?
Parce que cet "on" nous plonge dans un dilemne affreux: soit la collection des ordinaux est un ensemble, soit la collection des ordinaux n'est pas un objet mathématique. Kékonfé ?
Cordialement, Pierre.
en complément de la première phrase de Georges Abitbol, on peut dire que le mot "nombre " désigne tout ce que les mathématiciens appellent ainsi.
Ce qui fait qu'on peut appeler "nombre" ce qui nous paraît relever de ce nom, mais si la plupart des mathématiciens ne suivent pas cette dénomination, elle disparaîtra. Ainsi les matrices étaient appelés "nombres" par leur inventeur, Cayley ("je suis bien sûr que personne n'utilisera ces nombres", disait-il, à tort), et ce qu'on appelle maintenant vecteurs (ceux du lycée) ont été appelés nombres par certains.
Alors que les nombres définis par Cantor (cardinaux et ordinaux) sont maintenant universellement acceptés.
Cordialement.
Si pour Bourbaki tout est ensemble, alors tout est nombre aussi. Mais bon, on ne peut se satisfaire d'une telle généralité.
Je pense qu'un bon outil pour nourrir cette réflexion nécessaire est un livre que j'ai plusieurs fois cité cité sur ce forum : H. D. Ebbinghaus & alii, Numbers, Springer 1991, traduction de l'allemand Zahlen, 1983, et traduit en français par François Guénard, Les nombres, Vuibert 1998. Ouvrage collectif présentant les divers types d'objets mathématiques généralement considérés comme des nombres, avec leurs diverses constructions.
Bonne journée.
Fr. Ch.
Donc, dans le langage de la programmation objet, un nombre est une classe abstraite dont vont hériter les diverses catégories de nombre.
Cordialement,
Rescassol
1/ La notion de cardinal parfaitement et sincèrement formalisée donne déjà un bon exemple de notion de nombres (on peut en faire des sommes quelconques, pas seulement finies, et des produits quelconques et tous les théorèmes attendus sont réalisés).
2/ En plus d'eux, ne devrait-on pas plutôt évoquer des grandeurs. Autrement dit "nombre réel", "nombre complexe" seraient plutôt des grandeurs ? Le nombre (1/3) aussi ?
Peut-être parce que nous avons tous une arrière pensée "ontologique" sur le sujet ; comme l'écrit anthomédal dans son premier message :
A partir de là, les désaccords sont nombreux et d'ordre plutôt philosophiques ; l'important pour le matheux c'est qu'il dispose de caractérisations formelles comme celle de Peano qui sont utilisables même si elles sont philosophiquement insatisfaisantes, par exemple en raison l'existence des entiers non standards.
Bruno
Bon réveillon.
Jean-Louis.
Un point commun avec Christophe ! Cette réticence à écrire correctement le mot "dilemme".
C'est pas compliqué, un dilemme, c'est deux lemmes. Un matheux devrait comprendre ça, non ?
Bonnes fêtes
e.v.