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Qu'est-ce qu'un nombre ?

Envoyé par anthomedal 
Qu'est-ce qu'un nombre ?
l’an passé
Bonsoir,
Existe-t-il une définition d'un nombre ? Selon moi un ensemble n'a pas l'air d'être ce que j'ai envie d'appeler un nombre, de même pour une application. Un nombre est-il un élément d'un ensemble qui ne soit ni un ensemble d'ensemble ni un ensemble d'applications ?

Les nombres sont-ils exactement les éléments de $\mathbb{C}$ ? Après il y a (même si je ne les connais que de nom), les nombres transfinis ect... Donc à priori non



Edité 1 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par anthomedal.
Re: Qu'est-ce qu'un nombre ?
l’an passé
avatar
Juste une remarque: en théorie des ensembles, tous les ensembles sont des ensembles d'ensembles. En général, on définit alors:
$0=\varnothing$,
$1=\{0\}$,
$2=\{0,1\}$,
$3=\{0,1,2\}$
etc etc
(et quand on croit que c'est fini on recommence).

Je ne sache pas qu'il y ait une définition générale du substantif "nombre". Il y a par exemple les "nombres complexes", les "nombres suréels", ..., mais il ne s'agit pas d'une notion générale de nombre qui aurait en plus la propriété d'être, selon les cas, complexe ou suréel ou autre.



Edité 2 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par Shah d'Ock.
Re: Qu'est-ce qu'un nombre ?
l’an passé
Je ne connaissais pas ce formalisme !

D'accord je vois... J'ai lu que Cantor avait essayé de définir ce qu'est un nombre, mais que beaucoup ne reconnaissait, en core aujourd'hui, pas ce travail.
Re: Qu'est-ce qu'un nombre ?
l’an passé
avatar
Cantor a bel et bien défini les nombres ordinaux et cardinaux. Quant à ceux qui aujourd'hui ne reconnaîtraient pas ce travail, je me demande à qui le texte que tu as lu fait allusion (désolé pour cette phrase bancale).
Re: Qu'est-ce qu'un nombre ?
l’an passé
Je parlais de définir les nombres au sens large :[www.universalis.fr]
Re: Qu'est-ce qu'un nombre ?
l’an passé
avatar
Je ne comprends pas ce que tu veux dire.
Re: Qu'est-ce qu'un nombre ?
l’an passé
Les nombres rationnels donnent les nombres réels, complexes, algébriques, $p$-adiques, et surréels.

Ce sont tous des corps qui étendent $\mathbb{Q}$ d'une façon plus ou moins naturelle,

mais ils sont tellement différents, que je ne vois pas trop comment rendre légitime le fait de les ranger tous dans une même catégorie "nombre".
Re: Qu'est-ce qu'un nombre ?
l’an passé
"La fondation de la théorie des ensembles par Georg Cantor à la fin du xixe siècle a permis de donner d'un nombre une définition mathématique précise."

Reuns, justement, ils ont quand même des choses en commun, non ?
Re: Qu'est-ce qu'un nombre ?
l’an passé
avatar
Cantor n'a pas défini les nombres suréels ou hyperréels par exemple. Dans cette phrase il faudrait remplacer "nombre" par "nombre ordinal".
Re: Qu'est-ce qu'un nombre ?
l’an passé
avatar
Tout élément d'un ensemble pouvant être muni d'une structure de corps (commutatif ou non) dont il existe un sous-ensemble isomorphe à l'ensemble des entiers naturels.
Re: Qu'est-ce qu'un nombre ?
l’an passé
Isomorphe en quel sens ?
Re: Qu'est-ce qu'un nombre ?
l’an passé
avatar
Disons un isomorphisme de monoïdes.
Re: Qu'est-ce qu'un nombre ?
l’an passé
avatar
Ah donc une fraction rationnelle sur $\mathbb R$ c'est un nombre?
Re: Qu'est-ce qu'un nombre ?
l’an passé
Ah donc tout ensemble est un nombre ?

"Mathematics, rightly viewed, possesses not only truth, but supreme beauty"-Russell
Re: Qu'est-ce qu'un nombre ?
l’an passé
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(Tout ensemble infini)
Re: Qu'est-ce qu'un nombre ?
l’an passé
avatar
Un nombre c'est une abstraction dont les exemples d'objets que vous citez sont des incarnations, des avatars pour jouer les indianistes à deux sous.
Re: Qu'est-ce qu'un nombre ?
l’an passé
@Shah D'ock : mhm si on prend la définition de Sylvain telle quelle, n'importe quel ensemble fait l'affaire (il dit "tout élément d'un ensemble pouvant être muni de blabla")

"Mathematics, rightly viewed, possesses not only truth, but supreme beauty"-Russell
Re: Qu'est-ce qu'un nombre ?
l’an passé
Un nombre est un element d'une Extension du corps Q
Re: Qu'est-ce qu'un nombre ?
l’an passé
avatar
Oui Max tu as raison.
Re: Qu'est-ce qu'un nombre ?
l’an passé
Citation
Shah d'Ock
Ah donc une fraction rationnelle sur $\R$ c'est un nombre?
Pas pire qu'un nombre $p$-adique !
Re: Qu'est-ce qu'un nombre ?
l’an passé
avatar
C'est une opinion qui n'engage que toi.

Sylvain j'aime bien la façon dont tu essayes de te réfugier derrière de grandes pensées philosophiques après avoir dit une sottise (ce qui arrive à tout le monde, moi le premier).
Re: Qu'est-ce qu'un nombre ?
l’an passé
@anthomedal : Dans aucun cours de maths, le mot "nombre" tout seul n'est défini. Il y a des définitions des "nombres premiers", des "nombres entiers", des "nombres relatifs", etc. Mais jamais "nombre".
Les raisons sont les suivantes, à mon humble avis d'historien/épistémologue des maths de comptoir : déjà, la notion de nombre entier était plus ou moins séparée de la notion de grandeur, chez les Grecs ; de plus, les entrées de $0$, $\sqrt{2}$, $\pi$, $i$ dans le monde des nombres ont causé, en leur temps, pas mal de questionnements ! Enfin, les développements de l'algèbre du XIXème siècle ont permis à l'arithmétique de s'émanciper du concept de nombre, en parlant de polynômes, d'idéaux d'anneaux, etc., tandis que Cantor a "élargi" le concept de nombre à des choses infinies, les ordinaux. De nos jours et depuis le moment où on a décidé que les maths ne se feraient plus qu'avec des ensembles, la question ne se pose même plus : les objets mathématiques sont tous de même nature, à savoir des ensembles.
Re: Qu'est-ce qu'un nombre ?
l’an passé
Qui c'est "on" dans
"A partir du moment où on a décidé que les maths ne se feraient plus qu'avec des ensembles" ?

Parce que cet "on" nous plonge dans un dilemne affreux: soit la collection des ordinaux est un ensemble, soit la collection des ordinaux n'est pas un objet mathématique. Kékonfé ?

Cordialement, Pierre.
Re: Qu'est-ce qu'un nombre ?
l’an passé
Anthomedal,

en complément de la première phrase de Georges Abitbol, on peut dire que le mot "nombre " désigne tout ce que les mathématiciens appellent ainsi.
Ce qui fait qu'on peut appeler "nombre" ce qui nous paraît relever de ce nom, mais si la plupart des mathématiciens ne suivent pas cette dénomination, elle disparaîtra. Ainsi les matrices étaient appelés "nombres" par leur inventeur, Cayley ("je suis bien sûr que personne n'utilisera ces nombres", disait-il, à tort), et ce qu'on appelle maintenant vecteurs (ceux du lycée) ont été appelés nombres par certains.
Alors que les nombres définis par Cantor (cardinaux et ordinaux) sont maintenant universellement acceptés.

Cordialement.
Re: Qu'est-ce qu'un nombre ?
l’an passé
J'ai déjà raconté que j'ai été l'élève de Charles Pisot en DEA en 1980, sa dernière année d'exercice. Il avait terminé son dernier cours par une méditation justement sur ce sujet, d'où il ressortait que c'était en quelque sorte un sujet de réflexion ouvert.

Si pour Bourbaki tout est ensemble, alors tout est nombre aussi. Mais bon, on ne peut se satisfaire d'une telle généralité.

Je pense qu'un bon outil pour nourrir cette réflexion nécessaire est un livre que j'ai plusieurs fois cité cité sur ce forum : H. D. Ebbinghaus & alii, Numbers, Springer 1991, traduction de l'allemand Zahlen, 1983, et traduit en français par François Guénard, Les nombres, Vuibert 1998. Ouvrage collectif présentant les divers types d'objets mathématiques généralement considérés comme des nombres, avec leurs diverses constructions.

Bonne journée.
Fr. Ch.



Edité 2 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par Chaurien.
Re: Qu'est-ce qu'un nombre ?
l’an passé
Bonjour,

Donc, dans le langage de la programmation objet, un nombre est une classe abstraite dont vont hériter les diverses catégories de nombre.

Cordialement,

Rescassol
Re: Qu'est-ce qu'un nombre ?
l’an passé
avatar
De quoi faire la Java.
Re: Qu'est-ce qu'un nombre ?
l’an passé
avatar
Par autorisation spéciale de la commission du même nom.



Edité 1 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par Shah d'Ock.
Re: Qu'est-ce qu'un nombre ?
l’an passé
Quelques pistes.

1/ La notion de cardinal parfaitement et sincèrement formalisée donne déjà un bon exemple de notion de nombres (on peut en faire des sommes quelconques, pas seulement finies, et des produits quelconques et tous les théorèmes attendus sont réalisés).

2/ En plus d'eux, ne devrait-on pas plutôt évoquer des grandeurs. Autrement dit "nombre réel", "nombre complexe" seraient plutôt des grandeurs ? Le nombre (1/3) aussi ?

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi



Edité 1 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par AD.
Re: Qu'est-ce qu'un nombre ?
l’an passé
On n'est même pas arrivé à être d'accord sur le concept de nombre !... Dire que ce que l'on conçoit bien s’énonce clairement.



Edité 1 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par AD.
Re: Qu'est-ce qu'un nombre ?
l’an passé
avatar
Citation
AitJoseph :
On n'est même pas arrivé à être d'accord sur le concept de nombre !...

Peut-être parce que nous avons tous une arrière pensée "ontologique" sur le sujet ; comme l'écrit anthomédal dans son premier message :

Citation

Selon moi un ensemble n'a pas l'air d'être ce que j'ai envie d'appeler un nombre

A partir de là, les désaccords sont nombreux et d'ordre plutôt philosophiques ; l'important pour le matheux c'est qu'il dispose de caractérisations formelles comme celle de Peano qui sont utilisables même si elles sont philosophiquement insatisfaisantes, par exemple en raison l'existence des entiers non standards.

Bruno

L'homme n'est ni ange ni bête, et le malheur veut que qui veut faire l'ange fait la bête.
Re: Qu'est-ce qu'un nombre ?
l’an passé
Cf Alain Badiou philosophe fils de mon prof de math de math sup (Raymond Badiou):" Un nombre est la donnée conjointe d'un ordinal et d'une partie de cet ordinal"...En fait il "reconstitue" les surréels de Conway. (dans son bouquin "Le Nombre et les nombres.")
Bon réveillon.
Jean-Louis.



Edité 1 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par Jean--Louis.
ev
Re: Qu'est-ce qu'un nombre ?
l’an passé
avatar
Citation
pldx
Parce que cet "on" nous plonge dans un dilemne affreux:

Un point commun avec Christophe ! Cette réticence à écrire correctement le mot "dilemme".
C'est pas compliqué, un dilemme, c'est deux lemmes. Un matheux devrait comprendre ça, non ?

Bonnes fêtes

e.v.
Re: Qu'est-ce qu'un nombre ?
l’an passé
avatar
Et cette orthographe, Stanislas l'aime.
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