Le maximum et l'élément maximal.

Bonjour.

Dans un ensemble ordonné $(E,\mathcal R)$ ($\mathcal R$ est une relation d'ordre), un élément maximal est un élément $m$ de $E$ tel qu'il n'existe pas d'élément $x$ de $E$, différent de $m$, vérifiant $m \mathcal R x$ (pas d'élément "plus grand").
Par exemple dans $\{1,2,3\}$ ordonné par le relation "divise", $2$ et $3$ sont des éléments maximaux.

Dans un ensemble ordonné $(E,\mathcal R)$ ($\mathcal R$ est une relation d'ordre), $M$ est le maximum si pour tout $x$ de $E$, $x\mathcal R M$ ($M$ est plus grand que tous les autres).
Par exemple dans $\{1,2,3\}$ ordonné par le relation "divise", il n'y a pas de maximum. Mais dans $\{1,2,3,6\}$ ordonné par le relation "divise", il y a un maximum : $6$.

Exercice : Montrer que s'il y a un maximum, il est unique (d'où "le" maximum).

Cordialement.

C'est ça : Si M et M' sont deux maximums, alors (définition) ....

Qu'appelles-tu "comprendre la différence?"

Moi non plus je ne "comprends pas la différence" entre 77 et 188.

$<<x$ est un maximum de $(A,\leq)>>$ est une abréviation de $<<x\in A \ et\ (\forall y\in A: y\leq x)>>$

$<<x$ est un élément maximal de $(A,\leq)>>$ est une abréviation de $<<x\in A\ et\ non(\exists y\in A: y>x)>>$

Ce ne sont pas les mêmes définitions. Si tu as envie qu'elles soient équivalentes, il t'appartient de le prouver. D'ailleurs, si je joue au psychologue de comptoir, et ne me trompe pas, je ne serais pas étonné que tu puisses produire une preuve où tu verrais très bien un truc que tu admets et qui n'est pas pertinent.

Mets-toi à la place de tes lecteurs, je le répète, que répondrais-tu à un enfant qui te dit <<je voudrais comprendre la différence qu'il y a entre 77 et 645>>?

La seule chose qui apparait au premier abord comme option, c'est qu'on l'informe qui est 77, on l'informe aussi de qui est 645. Mais une fois ça fait, que veux-tu ajouter?

Le problème est que tu as l'air de croire qu'on peut "partager" un sentiment que tu n'exprimes pas, qui en gros est "il est compréhensible qu'on les confonde", alors que non, ça n'est pas compréhensible qu'on "confonde" deux choses (même d'ailleurs quand elles sont égales!!!) en maths (sauf si le gars arrive avec preuve qu'elles sont égales et demande <<msieur, dame, pourriez-vous m'indiquer ce qui cloche dans ma preuve>>)

Mais toi tu arrives, confonds 77 et 645 et demandes qu'on t'explique la différence entre les deux...

@Ahlamsmap,

Le mot maximum est un substantif introduit au début du 18 ème siècle et provient du superlatif de l'adjectif latin signifiant grand.

Substantivé, UN maximum désigne donc ce qui est le plus grand.

Curieusement c'est seulement près de deux siècles plus tard, fin du 19 ème, que l'adjectif maximal, qui signifie donc (EN FRANÇAIS) le plus grand, a été introduit et qu'à la même période, l'adjectif maximum a été accepté.

Ainsi, aujourd'hui EN FRANÇAIS, les expressions : le maximum de température, la température maximale, et la température maximum sont strictement équivalentes.

Lorsque les mathématiciens se sont intéressés aux relations d'ordre dans leur généralité, en particulier les relations d'ordre partiel, il leur a bien fallu choisir deux mots différents pour désigner, d'une part un élément plus grand que tous les autres, d'autre part un élément tel qu'il n'existe pas de plus grand.

Tout naturellement ils ont choisi maximum, ou élément maximum pour le premier ("le plus grand" a bien le même sens que "plus grand que tous les autres") et, de manière quelque peu regrettable, élément maximal pour le second. Mais quel autre mot auraient-il pu, dû choisir ?

Cela fait que tu peux à la fois lire dans le journal que la température est maximum ou maximale, et lire dans un bouquin de maths que dans un ensemble à plus d'un élément, la relation d'égalité est une relation d'ordre telle qu'aucun élément n'est (un) maximum, mais que tous les éléments sont maximaux.

Est-ce plus clair ?

Simplemement @Ahlamsmap : dans un ensemble ordonné quelconque, $\neg (x\leq y)$ n'est pas du tout équivalent à $x>y$, je pense que ton problème vient de là

[size=x-large]oui[/size]

:-D , mouais, enfin c'est surtout une introduction au vocabulaire. Ca pourrait s'enseigner en sixième.

Oui pardon!

Bonjour Ahlamsmap.

Pour des situations de ce genre, représenter la relation d'ordre par un graphe orienté permet de voir les éléments maximaux (pas d'arc issu de lui, sauf la boucle), minimaux (pas d'arc y arrivant, sauf la boucle) et l'existence de maximum (tous les éléments sont sur des arcs ou suites d'arcs convergeant vers lui) ou minimum.

Cordialement.