Injectivité d'une application.

Ahlamsmap · December 2017

Salut tout le monde.
Est-ce que si une application est strictement croissante alors elle est injective ???
Merci d'avance.

Dom · December 2017

On imagine qu'il s'agit d'une application $f$ de $\mathbb R$ dans $\mathbb R$.
Soient $x$ et $y$ deux réels tels que $f(x)=f(y)$...

Allez, on se retrousse les manches !

Ahlamsmap · December 2017

Oui mais une application est strictement croissante veut dire que si x>y alors f (x)>f (y)..
Mais pour injectiven injective il faut que f (x)=f (y)=>x=y.
Certes graphiquement je peux la comprendre mais algébriquement non :-S

Dom · December 2017

Par contraposée alors...?

gb · December 2017

Bonjour,

Il est usuel de définir l'injectivité par :
\[f(x)=f(y) \implies x=y,\]
mais il est souvent utilie de la caractériser par :
\[x \neq y \implies f(x) \neq f(y).\]

nicolas.patrois · December 2017

Essaie $f:[1;+\infty[ \rightarrow [1;+\infty[$ avec $f(x)=x \lfloor x \rfloor$.

GaBuZoMeu · December 2017

Ahlamsmap : tu n'as pas été clair sur ton application ; elle va de quoi dans quoi ?
La propriété n'est pas vraie en général, pour une application d'un ensemble ordonné dans un ensemble ordonné.
S'il s'agit d'une application de $\R$ dans $\R$ (ou dans un autre ensemble ordonné), alors ça va marcher parce que $\R$ est totalement ordonné (pour l'ordre usuel, bien sûr) :
$$\forall x\in \R\ \ \forall y \in \R \ \ (x<y \text{ ou } x=y \text{ ou } x>y\;.$$