c'est une façon d'écrire différemment une fonction.
Une famille d'ensembles de $E$ d'index $I$ est une application de l'ensemble $I$ dans l'ensemble $E$, mais le fait d'appeler ça "famille" sous-entend qu'on note l'image par f d'un élément $i\in I$ non pas $f(i)$ mais $E_{i}$ et au lieu d'appeler l'application $f$ on l'appelle comme ça $(E_{i})_{i\in I}$, on utilise par exemple cette notation pour parler des fonctions dont l'ensemble de départ est $\N$ (une suite).
Une famille d'ensembles de $E$ d'index $I$ est une application de l'ensemble $I$ dans l'ensemble $E$
Non. Une famille de parties de $E$ indexée par l'ensemble $I$ est une application de l'ensemble $I$ dans l'ensemble $\mathcal{P}(E)$ des parties de $E$.
Une famille d'ensembles $(E_i)_{i\in I}$ indexée par l'ensemble $I$ est une relation fonctionnelle définie sur tous les éléments de $I$. La réunion des images d'éléments de $I$ par cette relation fonctionnelle est un ensemble $E$, et on se ramène ainsi à une famille de parties de $E$ indexée par $I$, comme ci-dessus.
C'est toi qui parle de "famille d'ensembles de $E$", ce qui n'est pas clair. La question de Ahlansmap porte sur les "familles d'ensembles", tout simplement.
grothen t'a bien répondu, mais GBZM lui reproche l'ambiguité d'avoir écrit "famille d'ensembles de E" et non pas "famille d'éléments de E". L'ambiguité venant entre autre du fait que "famille d'ensembles de E" peut faire penser à "famille de sous-ensembles de E" (en rajoutant le "sous")
L'expression "famille" est synonyme de "fonction" (synonyme parfait). Mais comme l'habitude est de préciser ensemble de départ et ensemble d'arrivée avec le mot fonction, un écart avec cette habitude se produit du coup en utilisant le mot "famille". La littérature, comme le dit Grothen, a aussi tendance à utiliser la notation $f_x$ plutôt que $f(x)$ quand elle a appelé $f$ une famille, pour désigner l'image de $x$ par $f$.
Concernant la définition du mot "fonction" (donc du mot "famille"), il y en a 2 officielles, et différentes (même si la différence est peu grave):
1) Celle de Bourbaki: $<<f$ est une fonction$>>$ abrège $<<$ il existe $E,F,w$ tels que $f=(E,F,w)$ et $w\subset E\times F$ et pour tout $x,y,z: $ si $(x,y)\in w$ et $(x,z)\in w$ alors $y=z>>$
2) Celle "moderne" de théorie des ensembles. $<<f$ est une fonction$>>$ abrège $<<$pour tout $x,y,z: $ si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y=z>>$. Puis on utilise des mécanismes de grammaire si on veut (ce qui est peu utile, sauf cas spéciaux) équiper le discours d'ensemble de départ et d'arrivée, ou de tout plein d'autres choses. Par exemple: $<<f$ est une fonction de $E$ dans $F>>$ abrège $<<f$ est une fonction et $f\subset E\times F>>$.
Bilan1+2: les fonctions de la théorie des ensembles sont ce que Bourbaki appelle "lourdement" les graphes fonctionnels.
3) "L'index d'une famille" est synonyme de "domaine de la famille". Le domaine d'une fonction (ou de n'importe quel ensemble) $f$ est $\{x\mid \exists y: (x,y)\in f\}$. au lycée, le mot domaine a été renommé "ensemble de définition".
Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
Soit \(x\) un élément de \(\bigcap\limits_{i,j}(A_i\cup B_j)\) ; le problème est de prouver qu'il appartient à \(\left(\bigcap\limits_i A_i\right)\cup\left(\bigcap\limits_j B_j\right)\), c'est-à-dire : \(x\) appartient à \(\bigcap\limits_i A_i\) ou \(x\) appartient à \(\bigcap\limits_j B_j\) que l'on reformule généralement en : si \(x\) n'appartient pas à \(\bigcap\limits_i A_i\), alors \(x\) appartient à \(\bigcap\limits_j B_j\).
Est-ce que ça veut dire que ' il existe un élément X appartenant à intersection de Bi alors il va appartenir à la réunion.
Sinon il existe X appartenant à l'intersection de Ai donc à la réunion ??
Il n'est pas question de supposer qu'il existe un élément qui...
Il faut raisonner pour un élément quelconque \(x\) de l'intersection \(\bigcap\limits_{i,j}(A_i\cup B_j)\), supposer qu'il n'appartient pas à \(\bigcap\limits_i A_i\), et prouver qu'il appartient à \(\bigcap\limits_j B_j\).
Eh oui je crois que j'ai compris.
Puisque cet élément n'appartient pas à Ai alors il doit forcément appartenir à Bintersection. .car il appartient à la réunion des intersection d'après l'hypothèse.
N'est-ce pas ?
Réponses
c'est une façon d'écrire différemment une fonction.
Une famille d'ensembles de $E$ d'index $I$ est une application de l'ensemble $I$ dans l'ensemble $E$, mais le fait d'appeler ça "famille" sous-entend qu'on note l'image par f d'un élément $i\in I$ non pas $f(i)$ mais $E_{i}$ et au lieu d'appeler l'application $f$ on l'appelle comme ça $(E_{i})_{i\in I}$, on utilise par exemple cette notation pour parler des fonctions dont l'ensemble de départ est $\N$ (une suite).
Non. Une famille de parties de $E$ indexée par l'ensemble $I$ est une application de l'ensemble $I$ dans l'ensemble $\mathcal{P}(E)$ des parties de $E$.
Une famille d'ensembles $(E_i)_{i\in I}$ indexée par l'ensemble $I$ est une relation fonctionnelle définie sur tous les éléments de $I$. La réunion des images d'éléments de $I$ par cette relation fonctionnelle est un ensemble $E$, et on se ramène ainsi à une famille de parties de $E$ indexée par $I$, comme ci-dessus.
:-D j'explicite tout.
grothen t'a bien répondu, mais GBZM lui reproche l'ambiguité d'avoir écrit "famille d'ensembles de E" et non pas "famille d'éléments de E". L'ambiguité venant entre autre du fait que "famille d'ensembles de E" peut faire penser à "famille de sous-ensembles de E" (en rajoutant le "sous")
L'expression "famille" est synonyme de "fonction" (synonyme parfait). Mais comme l'habitude est de préciser ensemble de départ et ensemble d'arrivée avec le mot fonction, un écart avec cette habitude se produit du coup en utilisant le mot "famille". La littérature, comme le dit Grothen, a aussi tendance à utiliser la notation $f_x$ plutôt que $f(x)$ quand elle a appelé $f$ une famille, pour désigner l'image de $x$ par $f$.
Concernant la définition du mot "fonction" (donc du mot "famille"), il y en a 2 officielles, et différentes (même si la différence est peu grave):
1) Celle de Bourbaki: $<<f$ est une fonction$>>$ abrège $<<$ il existe $E,F,w$ tels que $f=(E,F,w)$ et $w\subset E\times F$ et pour tout $x,y,z: $ si $(x,y)\in w$ et $(x,z)\in w$ alors $y=z>>$
2) Celle "moderne" de théorie des ensembles. $<<f$ est une fonction$>>$ abrège $<<$pour tout $x,y,z: $ si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y=z>>$. Puis on utilise des mécanismes de grammaire si on veut (ce qui est peu utile, sauf cas spéciaux) équiper le discours d'ensemble de départ et d'arrivée, ou de tout plein d'autres choses. Par exemple: $<<f$ est une fonction de $E$ dans $F>>$ abrège $<<f$ est une fonction et $f\subset E\times F>>$.
Bilan1+2: les fonctions de la théorie des ensembles sont ce que Bourbaki appelle "lourdement" les graphes fonctionnels.
3) "L'index d'une famille" est synonyme de "domaine de la famille". Le domaine d'une fonction (ou de n'importe quel ensemble) $f$ est $\{x\mid \exists y: (x,y)\in f\}$. au lycée, le mot domaine a été renommé "ensemble de définition".
Comment on peut démonter ça :
(Intersection Ai)U(intersection Bj)égal à intersection (AiUBj).
Merci d'avance.
Méthode classique : par double inclusion.
Sinon il existe X appartenant à l'intersection de Ai donc à la réunion ??
Il faut raisonner pour un élément quelconque \(x\) de l'intersection \(\bigcap\limits_{i,j}(A_i\cup B_j)\), supposer qu'il n'appartient pas à \(\bigcap\limits_i A_i\), et prouver qu'il appartient à \(\bigcap\limits_j B_j\).
Puisque cet élément n'appartient pas à Ai alors il doit forcément appartenir à Bintersection. .car il appartient à la réunion des intersection d'après l'hypothèse.
N'est-ce pas ?