Relation binaire

trueman
trueman
dans Fondements et Logique
Bonjour,

Petite question évidente pour beaucoup mais pour laquelle je souhaiterais une explication précise si possible.
Sur $\mathscr{P}(E)$, on a une relation binaire telle que $~A \mathscr{R} B \Leftrightarrow A \Delta B \subset A,~$ où $\Delta$ est la différence symétrique.
On peut montrer que $\mathscr{R}$ est réflexive car $A \Delta A = \varnothing \subset A$.
Mais qu'en est-il de la symétrie et de l'antisymétrie ?
Merci pour votre retour.

[En $\LaTeX$, c'est toute l'expression mathématique que l'on encadre par des $\$$, pas seulement quelques symboles. AD]

Réponses

  • gerard0
    gerard0
    Bonjour.

    Sur un exemple, tu devrais voir ce qu'il en est (la définition est éclairante sur la symétrie !) et trouver facilement comment prouver l'antisymétrie.
    Tu ne parles pas de la transitivité.

    Cordialement.
  • trueman
    trueman
    Pour la symétrie, $\forall$ A et B $\in \mathscr{P}(E)$, on a pas toujours A $\Delta$ B $\subset$ A $\Leftrightarrow$ B $\Delta$ A $\subset$ A donc $\mathscr{R}$ n'est pas symétrique.
    Mais pour l'antisymétrie j'ai une réponse à mon exercice qui me dit que ça ne l'est pas et je voudrais comprendre pourquoi ?
  • Maxtimax
    Maxtimax
    As-tu une idée de ce que ta relation est vraiment ? Tu devrais alors pouvoir rèpondre à toutes tes questions

    Je te le fais avec des indicatrices modulo $2$ : $ARB \iff 1_A + 1_B \leq 1_A \iff 1_A(1_A + 1_B) = 1_A +1_B \iff 1_A + 1_A 1_B = 1_A +1_B \iff 1_B = 1_A1_B \iff ...$ ?
  • gb
    gb
    Bonjour

    \[A\Delta B \subset A \iff B \subset A\]

    Me trompé-je ?
  • trueman
    trueman
    C'est ce que je voyais aussi GB mais alors c'est symétrique ou j'y comprends rien ?
  • Maxtimax
    Maxtimax
    Yes gb, tout à fait !
    @trueman : l'inclusion est-elle symétrique ?
  • gb
    gb
    La formulation est un déguisement de l'inclusion, c'est une relation d'ordre, réflexive, antisymétrique et transitive.

    Comme : \(E\Delta\varnothing=E\subset E\), la symétrie impose : \(E\Delta\varnothing=E\subset\varnothing\), c'est-à-dire : \(E=\varnothing\).
    Il est immédiat de vérifier que la relation est bien symétrique lorsque \(E\) est vide.
  • trueman
    trueman
    si gb a raison alors A $\Delta$ B $\subset$ $ A \Leftrightarrow$ B $\subset$ A et B $\Delta$ A $\subset$ $ A \Leftrightarrow$ B $\subset$ A aussi
    donc A $\Delta$ B $\subset$ A $\Leftrightarrow$ B $\Delta$ A $\subset$ A et c'est symétrique. Est-ce juste ou je me trompe ?
  • gb
    gb
    Heu...

    La symétrie c'est :
    \[A \Delta B \subset A \iff B \Delta A \subset B.\]
  • trueman
    trueman
    Ok ça ira mieux maintenant. Merci (:P)
  • trueman
    trueman
    Pour autant c'est bien antisymétrique, non ou mon bouquin a raison et m'induit en erreur (:P)?
  • gb
    gb
    Ouii, c'est antisymétrique, c'est-à-dire :
    \[\left. \begin{array}{c} A \Delta B \subset A \\ B \Delta A \subset B \end{array} \right\rbrace \implies A=B.\]
  • trueman
    trueman
    merci beaucoup (:P) et désolé pour les longueurs.
  • christophe c
    christophe c
    De mon téléphone : tape anneau de Boole sur google et fais les petits exos qui seront attachés aux docs que tu trouveras. Parce qu' en pensant au cas ultra particulier P(E) avec delta tu te joies inutilement dans un verre d'eau (ça ne vient pas de toi c'est le sujet et sa syntaxe qui est ainsi)
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
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