Choix sans l'axiome de fondation.

@foys: oui j'avais bien compris (enfin, de toute façon, l'autre option, plus générale que $R$ est un prédicat primitif auquel on applique les ZF-schémas, ne semble pas vraiment poser PLUSSSSS de problèmes).

Pour donner une idée des difficultés que tu soulèves, je formalise ça dans un exercice où tout est précisé:

On suppose que pour tout entier $n$, il existe $x$ tel que $x=\{x;n\}$. Existe-t-il alors un ensemble $E$ tel que pour tout $n\in \N$, il existe $a\in E$ tel que $a=\{a;n\}$?

Je le référence dans "il est facile de".

De mon téléphone : je justifie (1) car ce n'est pas long : seul le schéma de remplacement n'est pas trivial. Mais si (a , R ) est telle que il existe un unique b tel que R(a,b) alors tout atome présent dans la clôture transitive de b est un atome présent dans celle de a.

Il "faut" partir du bon univers initial mais ça c'est vraiment facile (les mauvais sont rares :-D ) ie où les atomes sont indiscernables (de sorte que n'importe quelle permutation des atomes induit un isomorphisme de l'univers tout entier.

R(x,y) : = [ x est un entier naturel et y ne contient que des atomes et card(y)=x]

L'univers qui contrarie le désir de foys a la propriété que tout ensemble ne contient qu'un nombre fini d'atomes. De plus l'univers tout entier lui en contient une infinité.

Je détaille encore plus étant sur un pc. Soit un univers contenant une infinité d'atomes indiscernables (ie toutes les suites finies et injectives d'atomes ont le même ensemble vérité étendu aux formules à paramètres dont aucun ne rencontre les images directes des suites). On prend le sous-univers W constitué des ensembles dont la clôture transitive ne contient qu'un nombre fini d'atomes. Alors W vérifie ZFC.

C'est évident pour l'axiome de la paire, le schéma de compréhension, l'axiome de l'union (l'union de A a presque la même CT que A lui-même), l'axiome de l'infini (qui dit que IN existe).

Pour l'axiome des parties, si $x$ est inclus dans $E$ et est un atome alors $x\in E$, donc CQFD

Reste le schéma de remplacement. On dispose de $R$ (faisant intervenir un nombre fini de paramètres) et de $A$ tels que $\forall x\in A\exists ! y: R(x,y)$ et on veut prouver que $B:=\{t\mid \exists x\in A: R(x,t)\}$ n'a qu'un nombre fini d'atomes dans sa clôture transitive. Il suffit de prouver que les atomes de sa CT sont tous des atomes de la CT de $A$. Soit donc $z$ un atome de la CT de $B$. Si $z$ n'est pas dans la CT de A alors on peut le remplacer par n'importe quel autre atome qui n'est pas dans la CT de $A$ obtenant ainsi qu'en fait tous les atomes sont dans la CT de $A\cup B$.

@foys : pour ta remarque finale, en général on sait borner les $y$ tels que $R(x,y)$, et donc même sans fondation on s'en sort très bien. J'imagine mal l'axiome de fondation servir à des "maths usuelles" (i.e. non théorie des ensembles)

@foys. Je ne me rappelle pas le titre mais il y a un livre grand public où la preuve est détaillée en annexe.

lool Romyna, merci (au nom de tous) pour les liens. Quelques précisions:

1) le premier ne traite aucunement d'un "autre axiome du choix" (le titre est trompeur), mais juste des explorations minutieuses qu'on obtient en passant en logique intuitionniste.

Je n'ai jamais été vraiment d'accord avec l'état d'esprit du deuxième article qui apparait comme un accident collatéral de l'obligation qu'ont les chercheurs de publier des choses de plus de 5 lignes. Mais l'honnêteté commande de dire que l'unicité ne devrait presque jamais (ou le moins possible) avoir le statut d'axiome. On a deux parties, une "honnête" et une qui est de l'hyperextensionalité:

2.1) Affirmer que pour tout couple $(E,R)$, il existe une fonction $\phi$ de domaine $E$ telle que pour tout $x\in E: \phi(x)=\{\phi(y) \mid y\in E\wedge (x,y) \in R\}$ relève de l'habituelle et normale approche platonicienne du monde mathématique (censé faire exister tout ce qui est "possible"). On n'aurait JAMAIS dû considérer cet axiome comme optionnel et lui substituer l'axiome de fondation (qui, rébus, est aux probas ce que la sigma-additivité est à la théorie de la mesure, donc illégitime)

2.2) Affirmer ce que j’appellerais l'hyper-extensionalité: deux ensembles dont les graphes canoniques qui dessinent l'appartenance dans leur clôture transitive ne peuvent être différents que si lesdits graphes ne sont pas isomorphes. Cet axiome est difficile à légitimer (mais pas plus difficile à légitimer que l’extensionnalité elle-même, qui permet d'obtenir toutes les maths en admettant la logique linéaire seule (et la compréhension bien sûr, mais celle-ci n'est pas vraiment "un axiome", c'est plus une règle de langage)

3) Je ne vois pas trop ce que tu veux apporter en postant un article (le 3ième) sur PFA (assez mal rédigé d'ailleurs en ce qu'il ne semble pas vraiment préciser de manière VEDETTE ce que veut dire "forcing propre"**, ce qui est fort dommage. On dirait un truc qui imite les manuels scolaires: d'abord des exemples, puis l'information importante en petits caractères)


** une algèbre de Boole complète est propre quand elle n'ajoute de club dans aucun ensemble ordonné de la forme $(T,\subset)$ où $T$ est l'ensemble des parties dénombrables d'un certain ensemble. Formellement un stationnaire reste stationnaire dans l'extension générique***, il ne devient pas non stationnaire. (Un stationnaire est un ensemble qui rencontre tous les clubs).

*** l'extension générique $V^B$ d'un univers est l'univers obtenu en remplaçant $\{vrai; faux\}$ par l'algèbre de Boole complète $B$. Les éléments de $V$ y sont bien sûr présents comme fonctions de codomaine $\{0_B;1_B\}$, mais il ya tout plein de "nouveaux" ensembles, ie l'univers a été élargi.

Mais que vient faire l'axiome du choix dans cette galère ? :-D (Seule Romyna a la clé secrète)

oups, j'ai oublié de dire dans ma réponse à Romyna que PFA n'est pas un axiome acceptable (de mon point de vue) même s'li a été très en vogue, car il implique que $card(\R)=\omega_2$, ce qui est "irraisonnable".

Le cardinal de $\R$ doit être suffisamment grand pour que sans sigma-additivité, on ne puisse avoir une proba non nulle de gagner au jeu des boites que j'ai déjà décrit (or avec $\omega_2$, on gagne avec 2 boites seulement et en 3 coups seulement avec proba $\geq 1/8$, ce qui est "complètement opposé à l'idée qu'on se fait de $\R$).

Si quelqu'un demande je redécrirai le jeu des boites.

De mon téléphone : c'est une variante (tres legere) de mon jeu habituel Bob propose à Léa 2 (par exemple) boites fermées chacune contenant un élément de E. Léa peut ouvrir une boite et doit faire un pari sur celle restée fermée de la forme "elle contient un élément de A (Léa choisit le A qu'elle veut). Si Léa gagne son pari la partie continue et Bob propose à nouveau deux boites fermées contenant chacune une élément cette fois ci DE A. Et ainsi de suite. Quand A (le A d'un tour concerné) est fini Léa gagne définitivement la partie. Il se trouve que pour omega2 Léa a une strategie lui garantissant 1 chance sur 8 de gagner en 3 coup

avant de me déconnecter, j'en profite pour poster ce petit exercice illustrant la blessure que j'ai évoquée ci-dessus. Un anneau de Boole est un anneau vérifiant $\forall x: x^2=x$. Il est dit complet quand l'ensemble de ses idéaux principaux ordonné par inclusion est complet en tant qu'ordre, ie toute intersection d'idéaux principaux est un idéal principal

Prouver que si $A$ est de Boole, complet et libre (parmi les anneaux de Boole) alors $A$ est fini.