Anneaux libres et complets

Tous les anneaux de ce post sont unitaires et commutatifs. Je crée un fil pour cette question numéro 963, car elle est parente avec un exercice que j'ai discrètement posté dans un fil où j'évoquais le "traumatisme des scientifiques" et je m'aperçois que le dit peut être exploré avec d'autres anneaux que les anneaux de Boole.

Je rappelle ce que j'ai appelé "traumatisme des scientifiques" sous la forme d'un slogan: il n'existe pas d'objets mathématiques "intéressants" (dans le sens de général pour intéressant) qui soient à la fois "libres" et "complets".

Typiquement ça démarre avec l'inexistence d'une injection de $P(E)$ dans $E$, et ça passe par le fait qu'il n'existe pas d'algèbre de Boole complète libre parmi les complètes (en dehors des triviales, celles qui sont finies). Avant ça, ça passe par le fait qu'il n'y a pas d'ensemble de tous les ordinaux, par le théorème de Godel, et ça aboutit + ou - au forcing (qui prend un virage à 180 degrés en disant "puisqu'on ne peut pas dans ce sens-là, allons jusqu'au bout du bout dans l'autre sens en faisant vivre pleinement tous les rochers qui barrent le chemin**")

Du coup juste numéroter la question dans "il est facile de", m'eût paru un peu trop discret.

Pour simplifier, je suppose que $V$ est un ensemble inaccessible (ie transitif, stable par $x\mapsto EnsembleDesParties(x)$ et qui contient comme éléments toutes ses parties sauf celles qui se surjectent sur $V$)

Soit $Z$ l'ensemble des anneaux qui sont dans $V$. Une partie $C$ de $Z$ sera dite stable quand pour tous éléments $a,b$ de $Z: $ si $a$ et $b$ ont le même ensemble vérité (ie les mêmes énoncés clos du langage des anneaux qui soint vrais), $C(a)=C(b)$ (je note indifféremment $u\in v$ et $v(u)\in \{vrai; faux\}$).

Un élément $a$ de $Z$ est dit libre sur $C$ quand $a\in C$ et il existe un ensemble $e$ et une application $j$ de $e$ dans $a$ telle que pour tout $b\in C$, pour toute application $f$ de $e$ dans $b$, il existe un unique morphisme $g$ de $a$ dans $b$ vérifiant $f=g\circ j$.

(Exemple: $\Q$ est libre sur l'ensemble des corps de $Z$ avec l'ensemble vide pour en attester. Autre exemple: l'anneau $\mathbb{Z}$ est libre sur $Z$ tout entier (idem avec l'ensemble vide qui en atteste, sauf erreur))

Un élément $a$ de $Z$ est dit complet quand toute intersection de ses idéaux principaux est un idéal principale de $a$.

Question 963 : est-il vrai que pour toute collection $C\subset Z$ qui est stable, tout $a\in C$ qui est à la fois libre sur $C$ et complet est forcément noethérien l'ensemble des idéaux de a est fini?

** En très rapide, le forcing décide assumément de contenir des $A\wedge non(cons(A))$ chaque fois que le besoin d'en fait sentir, ie, à la différence du mouvement des grands cardinaux ou du platonisme***, dès qu'il voit une marche à monter, il cherche un détour. Ca lui a pas trop mal réussi :-D

*** qui eux cherchent à "monter" (mais qui du coup ne peuvent rien faire contre la perte de sécurité impliquée par Godel), ie par exemple en passant de $ZF$ à $cons(ZF)$