Questions sur le livre de Dehornoy

L'axiome tel qu'il est écrit dit que pour tout ensemble $a$, il existe un ensemble $b$ qui contient tous les éléments d'éléments de $a$. Du coup, pour démontrer qu'il existe un $c$ qui contient tous les éléments d'éléments de $a$ et que ceux-là, tu peux peut-être te renseigner sur ce qu'est le schéma d'axiome de compréhension (pour ne pas trop te spoiler !).

Le schéma d'axiome de compréhension est souvent appelé schéma d'axiome de séparation. Ma question n'avait rien d'un calembour, il ne faut pas être parano ! :-D

@Poirot, merci pour cette information (je n'ai évidemment pas feuilleté les pages où il introduit ZF ;-) ) . Je connais (enfin je suis censé :-D ) connaitre parfaitement tout ce qu'il y a dedans, mais je précise que je ne connais pas du tout le sujet sur les tables de Laver qui sont son dada concernant + ou - son études des tresses. De même, j'ai pu voir qu'il signale quelques résultats récents (sans démonstration), il me semble y compris Shelah-Maliaris, mais surtout Shelah sur la limitation du $card(Aleph(\omega_0))$.

Je ne suis pas chez moi, mais je vérifierai s'il a reproduit la preuve de Boban que $PFA\to continu = \omega_2$ (qui de mon point de vue flingue l'espoir que $PFA$ soit un axiome "raisonnable" pour les platoniciens.

Bref, ce n'est pas le sujet du fil, je documentais juste sur quoi je peux aider éventuellement. Je signale que l'axiome de la paire est inutile grâce à $(x=0\wedge t=u)\vee (x=1\wedge t=v)$ qui fait exister $\{u;v\}$ à partir des schémas et de $P(\emptyset)$, l'ensemble vide existant, lui, grâce à l'axiome de ... l'infini. Par contre, à première vue, je n'ai rien qui me vient (ou dont je me rappelle) pour faire sauter l'axiome de la réunion. Une remarque: l'axiome de l'ensemble des parties est l'axiome le plus court que je crois n'avoir jamais vu, et qui soit aussi "plein de polémiques":

$$ \forall x\exists y\forall z\exists t : ((t\in z\to t\in x)\to z\in y)$$

@cc : l'exigence d'un ensemble en fait suffit comme tu le sais; mais celle-là découle des règles dites "logiques" souvent imposées par la notion de démonstration qu'on a à côté

Etant sur un PC, j'explicite comment exprimer ZF en peu de lignes.

1) il existe un ensemble

2) tout ensemble est élément d'un ensemble transitif stable par P

3) Axiomes de remplacement

Formellement:

1) $\exists x: (x\in x\to x\in x)$

2) $\forall x\exists y [x\in y\wedge (ok(y))]$

3) pour chaque relation $R$, avec éventuellement des paramètres, et chaque ensemble $a$ la collection $\{x\mid \exists y\in a: (x$ est l'unique élément à vérifier $R(y,x)) \}$ est un ensemble (je laisse le lecteur formaliser)

$ok(e)$ est abrège $[(\forall x\in e\forall y\in x: y\in e)$ et $(\forall x\in e\exists y\in e\forall z\exists t: ((t\in z\to t\in x)\to z\in y ))]$

Remarque: ça n'empêche aucunement de soulever l'intéressante remarque de foys dans un autre fil. On pourrait évidemment tout concentrer en un seul schéma, mais ça finirait par prendre des allures un peu "malhonnêtes" dans le sens que le schéma ne serait pas une "intuition évidente" qu'un univers vérifiant ZF est un truc très simple: toutes ses sous-collections qui ne sont pas des ensembles sont ultra-grosses (en gros, aussi grosses que l'univers lui-même, mais ça dépend si on veut ou pas de l'axiome du choix).

Je suis d'accord. Et j'en profite pour dire que j'ai oublié l'extensionnalite dans mon dernier post.

Attention, là, il s'agit d'axiomes, pas de définition.

Parce que la condition suffisante parle de quelque chose qui n'est pas défini ?

Exemple: Une fonction $f:R\to R$ est dite croissante si et seulement si blablabla.

Si blablabla, alors on qualifie $f$ de croissante. Mais, peut-on vraiment dire que $f$ croissante implique blablabla, si le terme "fonction croissante" n'a pas de définition préalable ?

Enfin, c'est comme ça que j'interprète l'objection (c'est comme ça qu'on m'a justifié cette interdiction, en tout cas )

Ceci dit, le problème se pose aussi dans l'autre sens, en tout cas si on repsne la définition comme étant l'implication "si blablabla, alors $f$ croissante".

C'est pour ça, que perso, j'aime bien définir un truc en écrivant "On dit que tel objet est truc"si ..." Ou alors Un "truc est un objet vérifiant blablabla"

Le mieux me semble être << machin(paramètres)>> abrège <<blabla>>. C'est le choix que j'ai fait et il donne entière satisfaction (avis du public concerné qui n'est pas tendre avec le reste de mes tortures)

@killersmile : oui mais dire "une fonction est croissante si" ne permet pas de dire "$f$ n'est pas croissante car $x\leq y$ mais $\neg (f(x)\leq f(y))$".. moi au contraire je mets tout le temps un "si et seulement si" (en symboles c'est le $\iff$ surmonté d"un "def" ou encore :=)

@GBZM : oui je parlais uniquement de modèles "classiques", au sens par exemple de Cori et Lascar ou trucs du genre. J'ai d'ailleurs précisé qu'il y avait un truc au niveau de la déclaration de variables; ce que l'idée de contexte règle parfaitement.

François : Pour moi, une définition est une abréviation. C'est-à-dire que quand on dit "une fonction $f$ est dite croissante si $blabla(f)$", c'est qu'à chaque fois qu'on lit "$f$ est croissante", on doit remplacer par "$blabla(f)$"$ (ou "est aux anchois" pour reprendre ton exemple). Il est donc important qu'il soit clair qu'on entend par là que l'on déclare une commodité de langage.

Bonjour,

p 212, je lis :

La logique intuitionniste vise à mieux rendre compte de la nature de l'implication en évitant de déclarer vraie toute implication $\Phi \Rightarrow \Psi $ telle que $\Phi $ soit fausse comme le fait la logique booléenne.

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