Fonctions ou bien applications
Bonjour,
Depuis 50 ans au moins ( commission Lichnérowicz.) une application est une fonction dont l'ensemble de départ est égal à son ensemble de définition .
Un étudiant que j'ai rencontré récemment m'a dit qu' on lui a enseigné qu'une relation de E vers F pouvait être soit une fonction ,soit une application selon que tout élément de l'ensemble de départ est en relation avec un élément au plus ou bien avec un élément et un seul de l'ensemble d'arrivée.
Une application ne serait donc pas une fonction, et par exemple l'exponentielle de $R$ vers $R^{+*}$ serait une application , mais pas une fonction.
S'agit-il de nouvelles définitions ou bien l'étudiant a-t-il mal compris?
Merci par avance pour vos réponses.
Cordialement
PS s'il s'agit de nouvelles définitions, cela aurait au moins l'avantage de tordre le cou définitivement aux expressions " fonctions injectives , surjectives bijectives"
Depuis 50 ans au moins ( commission Lichnérowicz.) une application est une fonction dont l'ensemble de départ est égal à son ensemble de définition .
Un étudiant que j'ai rencontré récemment m'a dit qu' on lui a enseigné qu'une relation de E vers F pouvait être soit une fonction ,soit une application selon que tout élément de l'ensemble de départ est en relation avec un élément au plus ou bien avec un élément et un seul de l'ensemble d'arrivée.
Une application ne serait donc pas une fonction, et par exemple l'exponentielle de $R$ vers $R^{+*}$ serait une application , mais pas une fonction.
S'agit-il de nouvelles définitions ou bien l'étudiant a-t-il mal compris?
Merci par avance pour vos réponses.
Cordialement
PS s'il s'agit de nouvelles définitions, cela aurait au moins l'avantage de tordre le cou définitivement aux expressions " fonctions injectives , surjectives bijectives"
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Réponses
"christophe c" fonction application domaine codomaine
tu devrais trouver toutes les réponses à tes questions.
Dans sa théorie des ensembles, Monsieur Patrick Dehornoy précise informellement ceci dans une note (page 7) :
Une fonction de $A$ dans $B$ est une correspondance entre éléments de $A$ et de $B$ dans laquelle chaque élément de $A$ a au plus une image ; de plus elle est dite partout définie, ou appelée application de $A$ dans $B$, si tout élément de $A$ a une image.
Il revient plus loin sur cette notion. Je ne partage pas ce point de vue, mais l'on s'en fout. Selon le collectif Bourbaki, définition 9 (E II.13), une correspondance $f=(\Gamma,\,A,\,B)$ est une fonction si (E I.41)\[(\forall\,x)\Big(x\in{A}\Rightarrow\big((\exists\,y)((x,\,y)\in\Gamma))\mbox{ et }(\forall\,u)(\forall\,v)(((x,\,u)\in\Gamma\text{ et }(x,\,v)\in\Gamma)\Rightarrow{u=v})\big)\Big)\]L'on ne se focalise pas sur l'ensemble d'arrivée et l'ensemble de départ est l'ensemble de définition de $f$. A contrario, l'on appelle application de $A$ dans $B$ une fonction $f$ dont l'ensemble de départ (égal à l'ensemble de définition) est égal à $A$ et dont l'ensemble d'arrivée est égal à $B$ ; on dit aussi qu'une telle fonction est définie dans $A$ et prend ses valeurs dans $B$.
Quelqu'un d'autre te donnera la définition de Monsieur Krivine, page 17.
Question : Pourquoi, selon toi, cela aurait au moins l'avantage de tordre le cou définitivement aux expressions " fonctions injectives , surjectives bijectives" ?
Bien cordialement,
Thierry Poma
On peut avoir un élément de l'ensemble de départ qui est en relation avec plusieurs éléments d'ensemble d'arriver .Donc dans ce cas c'est juste une relation ni fonction ni application.
Par definition la fonction est une relation dont chaque élément de l'ensemble de départ peut avoir au plus une image.Pour l'application tout élément admet une et une seule image donc implicitement il y'a la notion de au plus.
Donc l'application est une fonction. ..mais là fonction est une application de sont ensemble de définition vers l'ensemble d'arriver.
Cordialement.
Pour Bourbaki une fonction est un triplet a:=(E,F,f) tel que f appelé "graphe de a" par Bourbaki est une fonction au sens de la TDE telle que dom(f) inclus dans E et codom(f) inclus dans F.
Pour application remplacer inclus par égal.
Pour la TDE ce sont LES PHRASES ELLES MEMES qui sont des abréviations: par exemple <<f est une injection de X dans Y>> abrège <<f est une fonction et dom(f)=X et codom(f) inclus dans Y et réciproque de f est une fonction>>.
Mais dom, codom, réciproque de, etc sont définis pour tous ensembles pas juste pour les fonctions.
Si tu as Bourbaki devant les yeux, alors tu constateras que $\mbox{dom}\,f=\text{E}$, en reprenant tes notations.
PS : Je viens de modifier légèrement mon texte.
Amicalement,
Thierry
Il m'a toujours semblé plus simple de considérer que les qualités de surjection injection bijection ne concernaient que les applications et non les fonctions.
Je comprends bien l'arbitraire de ces définitions, mais il est souhaitable pour les étudiants ( après on fait des choix ) , qu' elles ne soient pas divergentes.
Ma question relève, maintenant , plus du sondage que d'autres choses d'après vos réponses.
Cordialement
Il ya deux versions DIFFERENTES. Celle, très ancienne de Bourbaki et celle, utilisée en théorie des ensembles actuelle. Je ne parle que de la deuxième série de définitions.
1) Tout ensemble $a$ possède un domaine et un ensemble réciproque:
1.1) $dom(a) :=\{x\mid \exists y: (x,y)\in a\}$
1.2) $reciproque(a):=\{(x,y)\mid (y,x)\in a\}$
2) Le codomaine de $a$, que je note $codom(a)$ est $:=dom(reciproque(a))$.
3) $<<x$ et une image de $y$ par $a>>$ abrège $(y,x)\in a$
4) $<<f$ est une fonction$>>$ abrège $<<$ $\forall x: x$ a au plus une image par $f>>$
5) $<<a$ va de $X$ dans $Y>>$ abrège $<<a\subseteq X\times Y>>$
6) $<<f$ est une fonction allant de $A$ dans $B>>$ abrège $<<f$ est une fonction et $f$ va de $A$ dans $B>>$
7) $<<f$ est une application de $A$ dans $B>>$ abrège $<<f$ est une fonction et $f$ va de $A$ dans $B$ et $dom(f)=A>>$
8) $<<f$ est injectif$>>$ abrège $<<\forall x,y,u,v: $ si $(x,y)\in f$ et $(u,v)\in f$ et $x\neq u$ alors $y\neq v>>$
9) $<<f$ est une fonction injective$>>$ abrège $<<f$ est une fonction et $f$ est injectif$>>$
10) $<<f$ est une injection de $A$ dans $B>>$ abrège $<<f$ est une application de $A$ dans $B$ et $f$ est injectif$>>$
11) $<<f$ est une surjection de $A$ dans $B>>$ abrège $<<f$ est une application de $A$ dans $B$ et $codom(f)=B$
12) $<<f$ est une bijection de $A$ dans $B>>$ abrège $<<f$ est une application de $A$ dans $B$ et $reciproque(f)$ et une application de $B$ dans $A>>$
13) $<<f$ est constante$>>$ abrège $<<\forall x,y,u,v: $ si $(x,y)\in f$ et $(u,v)\in f$ alors $y=v>>$
14) $<<a$ est une partition de $b>>$ abrège $<<\{(x,y)\mid x\in b$ et $y\in a$ et $x\in y\}$ est une surjection de $b$ dans $a$ et $\forall x\in a: x\subseteq b>>$
(C'était pour ne pas m'arrêter au numéro13 :-D )
Bien sûr, tu peux préférer Bourbaki, mais c'est malsain et usine à gaz, et ça n'a eu une utilité que pour des emplois algébriques très spécifiques. Si tu y tiens absolument, je peux te filer (ou Thierry qui a les traités sous la main) les abréviations bourbakistes. Cependant, tu n'as pas été clair dans ta demande pour l'instant.
La vraie (mais pas utilisée du tout, donc tu peux l'ignorer dans le contexte académique) notion de fonction est exactement celle d'ensemble: $a(b):=\{x\mid (b,x)\in a\}$ ainsi toute fonction est définie partout, et on n'a aucun problème de validité d'écriture.
*** on a "un peu" de maths sans les transgresser, mais ça ne va pas très loin (ça se borne à des calculs ou de l'algèbre)
** que l'informatique par exemple a l'intelligence de traiter comme bien défini et provoquant un raise.
Ma demande est simple, est-il souhaitable de dire à un étudiant qui débute ses études supérieures en maths que:
" l'exponentielle de $R$ vers $R^{+*}$ est une application , mais pas une fonction"
La réponse que j'attends est courte et binaire.
Merci pour vos réponses qui m'intéressent, mais dépassent le cadre dans lequel j'ai posé ma question.
Cordialement
1) la notion de réciproque n'a pas à être réservé qu'aux bijections (sauf si je ne comprends pas ce que tu dis...)
2) l'impossibilité complètement idiote de la division par $0$
Et sur ce troisième point ?
3) prétendre que les points 1) et 2) viendraient d'une gaucherie passée
Remarque : l'argument sur le fait que l'informatique "à l'intelligence de traiter [cela] comme bien défini" m'étonne aussi, de ta part.
Mais je ne veux pas court-circuiter la discussion. On peut patienter pour répondre.
Merci pour vos deux réponses très claires:
"Toute application de E dans F est une fonction de E dans F"
L'étudiant aurait donc mal compris car il est en région parisienne ...
Très cordialement
$A:=$ l'ensemble des gens qui vont décrypter patiemment et jusqu'au bout la cabalistique que tu envoies
$B:=$ l'ensemble des gens qui vont venir sur le forum demander s'il est vrai que $exp$ est une application de $\R$ dans $]0, +\infty[$
Je n'ai pas d'idée de ce nombre, mais il me semble fort petit. De plus ce que tu appelles "le point de vue de PaDe" n'est pas le point de vue ensembliste. Peut-être l'a-t-il posé là pour respecter ses collègues de la fac de Caen, ça me semble tout à fait possible (vu que les différences entre Bourbaki et la TDE sont sans importance: les auteurs se devant de préciser le leur).
Par ailleurs, tu dis très clairement que "tu préfères Bourbaki", mais tu ne donnes aucune (même courte) raison pour cette préférence? Bourbaki contient quand-même beaucoup d'erreurs (on en a signalé pas mal récemment dans les fils dédiés), et même en plus des erreurs pas mal de maladresses logiques. Penses-tu que tu es abonné "à vie" à son paradigme d'écriture? Je ne pense pas que tu peinerais à aborder des livres plus sérieux dans le domaine formaliste maintenant que tu es entrainé à courir dans la boue et passer sous les barbelés.
@acetonic:
oula, je ne savais pas que l'air était à ce point devenu pollué :-D
C'est HS, c'est vrai, mais je ne vais pas te répondre en 5000 lignes. C'est une ligne générale que je me suis assignée, ça me fait un point commun (un des rares) avec gérard0***** de refuser la dictature des interdits arbitraires.
1) Je refuse qu'on dise à quelqu'un qui a écrit "A donc B donc C" qu'il n'a pas raisonné. Je lui réponds "d'accord avec le fait que (A et (A=>B) et (B=>C)) entraine C, mais je n'accepte pas ton hypothèse que (B=>C)" par exemple. Je ne lui réponds pas "tu n'as le droit d'écrire ça, car B=>C n'est pas un théorème. Je trouve cette attitude totalement irrespectueuse.
2) Je refuse qu'on demande aux étudiants et autres personnes (et ce inutilement) de traverser tout un tas "d'implicites bourgeois non documentés"***** pour se faire accepter dans leurs textes. J'ai plusieurs fois dû reprendre des intervenants ici même, sur CE forum, qui répondaient à un étudiant qu'il avait fait une erreur dans sa preuve que $3/0$ est spécial, alors que ledit poseur livrait une parfaite preuve (et même la preuve classique) que si $3/0$ fait ce qu'on attend de lui alors $0=1$ et donc ne commettait aucune erreur.
3) Imagine que ta famille subisse un accident d'avion et que le concepteur des logiciels de pilotage réponde qu'une suite de bits non correctes grammaticalement a été envoyé au flux d'une routine de calcul. Moi je lui pète la gueule et je lui réponds "tu vas voir", je le kidnappe et je l'attache et je lui dis "tu es prêt pour te prendre une chaine de caractère non définie dans la figure avec mon logiciel de torture?"
4) Bref: règle d'or, on doit converger et faire des efforts pour que toute suite de caractère ait une valeur mathématique. Alors je ne dis pas que "demain" atteindra l'objectif, mais c'est un effort à faire. En particulier, tout typage doit impérativement disparaitre des maths. Je sais que ça eut paraitre excessif, mais, certes, les maths sont "pour l'honneur de l'esprit humain" mais elles commandent aussi la "science irréfutable", et on ne peut pas s'autoriser à hésiter sur la valeur de if 3=5 then 41/0 else 29
Bon, je pourrais détailler, mais je pense qu'avec un peu de bonne volonté, il est aisé de compléter sans que je le dise.
***** d'ailleurs, on a là un phénomène intéressant. Personnellement je me fiche de maths modernes, de Bourbaki, etc, je suis neutre. Mais j'ai lu bien des fois que l'intention (louable au moins en tant que telle) de Bourbaki avait été de mettre tout le monde à égalité devant les maths en éliminant (le plus possible) les implicites afin d'arrêter de privilégier les initiés. Autrement dit, la culture et l'éducation bourgeoise qui privilégiait les gosses de riches (enfin certains) face aux maths et en interdisait l'accès aux pauvres, à cause des implicites, devenait à tout le moins atténué (à défaut d'être éliminé: on n'élimine pas le travail régulier accompli) puisque permettait, sous la seule réserve d'huile de coude, l'accès des pauvres aux maths.
C'est pourquoi j'ai toujours trouvé les propos de G un peu étranges (mais moi j'étais trop jeune à l'époque) quand parfois il semble dire que mieux vaut des implicites que "tout expliciter et rendre imbitable" alors qu'à côté il lui est arrivé de dire que cette imbitabilité entraine le rejet des pauvres de cette culture.
Cela dit, pour moi, G est un militant très actif (métaphore) du parti EELV (je répète ME-TA-PHO-RE) qui prend sans cesse le micro lors des assemblées pour demander qu'on augmente les moyens de lutte contre le cannibalisme (au sein de ce parti de vegans): à savoir qu'il lutte contre un truc des années 1975 qui non seulement n'a plus strictement aucune manifestation, mais même pire, dont le fait de vouloir l'éradiquer a fait sombrer la communauté dans l'excès exactement opposé (aujourd'hui, tout est intuitif, tout a "du sens", tout est présenté "pédagogiquement", etc, etc, tout est fait pour la pratique, il n'y a ABSOLUMENT plus LA MOINDRE parcelle de formalisme, d'abstrait ou de rigueur dans les "dites maths" des enseignements scolaires (et début de l'universitaire), avec les conséquences désastreuses que l'on connait (pas UNE SEULE personne en France n'y a gagné et presque tout le monde y a beaucoup perdu)).
Elle est dans le fait que relation, fonction, etc, ne sont pas des triplets, mais juste ce que tu appellerais toi "leur graphe".
J'ai déjà raconté pourquoi (on raisonne sur des infinités de fonctions partielles en quantité industrielle, dont on ignore les domaines et dont le but ultime est parfois de les trouver)
Quant à utiliser le mot "correspondance" (qui ne veut rien dire de précis), je ne sais si c'est toi ou PaDe qui l'utilise mais de toute façon je désapprouve grandement cette technique tautologique*** des auteurs, quels qu'ils soient: par exemple, j'ai déjà dit à quel point je considérais la "définition" de fonction pour des L1,L2 (je mets des guillemets) de F.Liret dans un de ses livres (je n'ai rien contre l'homme lui-même) comme une grosse faute déontologique: il écrit << on dira qu'on s'est donné une fonction f quand pour chaque x, on s'est donnée un objet f(x)>>
*** C'est un technique consistant à hypnotiser l'auditoire en lui faisant dire "oui" par énonciation d'une tautologie (mais elle est vide elle n'apporte rien). Par exemple, pour reprendre FL, ça dit << on dira que s'est donné une fonction quand on se sera donné une fonction>>. Il en va de même des gens du secondaire qui dépeignent les fonctions comme d'atroces et insensés "machins" qui transformes des trucs en des bidules (mais ceux-là, au moins, savent qu'ils sont fautifs, ils n'ont pas besoin qu'on le leur dise). Autre exemple: ne pas définir le signe $=$ et galérer comme un demeuré en parlant d'équations en 5e-4e avec des analogies de balances (j'ajoute un même poids des deux côtés, ça reste équilibré).
Oui. J'allais dire que ce point de vue répond à une forme d'éthique. Dont il n'est pas question de dire qu'elle serait plus vertueuse qu'une autre.
par contre je suis curieux, comment tu définis l'égalité au collège ? j'ai longtemps buggé dessus et je vois pas comment faire un truc satisfaisant au collège
Formellement, tu peux dire (mais des collégiens...):
$$(x=y):=[\forall z: (x\in z\to y\in z)]$$
Exercice amusant: prouver (sans raisonner par l'absurde**) que si $a=b$ alors $b=a$.
** Attention: admettre $[non(A)\to non(B)]\to (B\to A)$ est raisonner par l'absurde
Discussion ancestrale entre @cc et moi.
Je ne sais toujours pas ce que signifie "arrive".
J'aime bien l'utilisation du verbe être.
Évidemment, plusieurs sens pour ce verbe, c'est ce qui pose problème.
Parler du sens identitaire du verbe être peut-être...
"$(x=y)$ $:=$ pour toute propriété $P$ on a $P(x) \Rightarrow P(y)$"
(t'es sûr que ça va te suffire ta formalisation avec seulement des ensembles et $\in$ ?)
le problème c'est que soit ta définition est circulaire (ou plutôt cache sous le tapis un axiome assez violent), soit on peut pas résoudre ton exercice :-D (c'est marrant je pensais justement à cet exo quand je t'ai demandé comment tu définis l'égalité)
@oka : tu veux une correction? :-S
Bon je la mets en blanc, comme ça tu as le choix: comme $x$ peut dire $moi=x$, si $x=y$ alors $y$ peut aussi le dire donc $y=x$.
Concernant "ensemble" ou "propriété" j'imagine que tu devines ce que je vais te dire.
1) Je vais faire exprès de dire des bêtises pour faire comprendre que cet aspect ne résout pas tout :
« Vous dites 3=2+1 mais si je note P la propriété "le premier symbole avec lequel je suis écrit", alors P(3)=3 et P(2+1)=2 »
J'utilise le =, c'est fâcheux mais ça souligne d'autres ambiguïtés.
La faille est liée à la manière d'écrire quelque chose.
2) Autre : comment constater que "ce qui arrive à $x$ arrive aussi à $y$" ?
N'y a-t-il pas, dans le "aussi" une idée du type "c'est la même chose", ce qui revient au verbe être ou à l'utilisation de "même" dans le sens "égal".
Pardon si cela dévie de la discussion originale, je ne veux aucunement polémiquer, ni être catalogué comme troll du soir.
On peut reporter les réponses. Je peux même effacer ce message.
christophe c, c'est justement le typage qui permet d'avoir des fonctions définies partout (surtout pour les logiciels).
c'est un peu délirant de faire de la TDE en logique du second ordre au collège, en plus de pas être satisfaisant parce que tu perds la complétude
J'ai donné quelques arguments remarquera-t-on.
N'est-ce pas exactement l'inverse ?
N'y a-t-il pas l'ancien monde, celui de Bourbaki, où fonction et application signifiaient la même chose, des objets qui avaient des qualités intrinsèques, par exemple celle d'être ou non surjectives, ou de posséder un ensemble de départ et un d'arrivée,
et le nouveau monde, celui sponsorisé par CC, où la fonction s'est déshabillée en graphe fonctionnel, les concepts d'ensemble de départ et d'arrivée ont disparu, les substantifs "application", "surjection", "bijection" sont vidés de leur sens pris isolément, et remplacés par des locutions telles que :
"f est une application surjective de A dans B", inanalysable grammaticalement (la nature est bien faite et ça tombe bien car dans ce nouveau monde, il n'y a plus de grammaire, plus de sens, et bientôt plus de langue) et que l'on doit aveuglément traduire par "f est une fonction et dom f = A et im f =
?
Je serais devenu post-moderne selon toi, après avoir été accusé d'être bourbakiste???
il faudrait que tu prouves en exercices tout un tas de petits choses que tu crois + ou - admises parfois j'ai l'impression en théorie des ensembles et aussi pour le coup, à l'opposé que tu réalises que certains dogmes ne sont pas prouvables.
En tout cas, la différence entre Bourbaki et la TDE ici est totalement négligeable (les boubakistes disant $(E,F,f)$ quand les ensemblistes disent $f$) et n'a rien à voir avec la déclaration de héhéhé, dont je ne peux pas plussoir le propos tellement je ne suis pas du tout au courant de ce qu'il affirme concernant la sociologie estudiantino-prof et surtout, tellement ça me semble en fait très peu général (cela doit dépendre de ce qu'il voit de quels étudiants il s'occupe). Effectivement dans beaucoup de cursus juste post-bac, on parle pas mal de nombres, mais bon.
Il faut se débarrasser de l'illusion qui voudrait que la grammaire française soit précise. Il y a des adjectifs en français qui n'expriment pas une propriété des objets qu'ils qualifient. Pour le coup christophe c avait fourni des exemples. Prenons le cas de "nombreux" ou "rare".
"Les chinois sont bruns." "L'individu Wang est brun"
"Les chinois sont nombreux". "L'individu Wang est nombreux" (????)
("nombreux" exprime une qualité d'un ensemble contenant le sujet, non une qualité du sujet lui-même).
"tout ce qui est rare est cher. Les chevaux bon marché sont rares. Les chevaux bon marché sont chers" (idem: rare n'est pas une propriété des chevaux mais une propriété de la paire constituée de l'ensemble des chevaux et d'une autre propriété).
*******
Le débat sur l'attribution des termes fonction/application semble ne jamais s'arrêter, chacun campant sur sa position mais la solution consistant a appeler fonctions les graphes que vous savez, et applications des triplets (A,f,B) où A et B sont des ensembles et f une fonction telle que dom(f)=A et im(f) est contenu dans B me paraissait être assez simple pour satisfaire tout le monde. Qu'en est-il exactement
Par contre pour trancher le conflit entre les 2 "nobles et formels" $(E,F,f)$ vs $f$ seule, ça me semble sans espoir à cause de Bourbaki qui a choisi $(E,F,f)$ et un vent promotionnel actuel ces dernières décennies en faveur des catégories où là, il est indispensable pour eux d'avoir comme flèche "les triplets". De plus les habitudes des enseignants dans les écoles d'ingénieurs appliquées utilisent $(E,F,f)$ non seulement pour les fonctions, mais ils poussent même l'intégrisme jusqu'à utiliser $(E,F,R)$ à la place de $R$ quand $R\subset E\times F$
Donc:
-une fonction $f$ est un ensemble dont tous les éléments sont des couples et tel que pour tous $a,b,c$, si $(a,b)\in f$ et $(a,c)\in f$ alors $b=c$.
-On désigne par $dom(f)$ (le "domaine", ou "ensemble de définition" de $f$)l'ensemble de tous les $x$ tels qu'il existe $y$ tel que $(x,y)\in f$.
-On convient que pour tous $x,f$, si $x\in dom(f)$ alors $\big ( x,f(x)\big )\in f$ (autrement dit lorsque $f$ est une fonction et $x$ dans son ensemble de définition, $f(x)$ n'est autre que l'unique élément $z$ tel que $(x,z)\in f$).
-On désigne par $im(f)$ l'ensemble des $t$ tels qu'il existe $s$ tel que $(s,t)\in f$.
-Les mots "famille" et "fonction" sont synonymes; soit $f$ une fonction. Si $I=dom(f)$, $(f_i)_{i\in I}$ désigne simplement $f$. En l'espèce on dit aussi que $f$ est une famille indexée par $I$. Si $k\in I$, $f_k$ est sauf mention du contraire une autre notation pour $f(k)$.
-Si $f$ est une fonction et $E$ un ensemble, $f\big|_E$ désigne $\{(s,t)\in f\mid s \in E\}$. Il est immédiat qu'il s'agit aussi d'une fonction appelée "restriction de $f$" à $E$. Le domaine de $f\big|_E$ est égal à $E\cap dom(f)$, donc à $E$ lorsque $E \subseteq dom(f)$ (quasiment le seul cas où cette notion ets utilisée en pratique).
-Soient $A,B$ des ensembles et $f$ une fonction. Si $dom(f)=A$ et $im(f)\subseteq B$, on dit que "$f$ est une fonction de $A$ dans $B$" ce qui est souvent abrégé par la notation $f:A\to B$. L'ensemble des fonctions de $A$ dans $B$ est noté $B^A$.
Remarque 1: en théorie des ensembles, deux fonctions $f$ et $g$ sont égales si et seulement si $dom(f)=dom(g)$ et pour tout $x\in dom(f)$, $f(x)=g(x)$.
C'est une conséquence de l'axiome d'extensionnalité. En particulier si $f,g$ sont des fonctions de domaines respectifs $A,B$, $f\big|_{A\cap B}=g\big|_{A\cap B}$ si et seulement si pour tous $x\in A\cap B$, $f(x)=g(x)$.
1) Fonctions définies sur des quotients.
1.1) Soit $A$ un ensemble, $\sim$ une relation d'équivalence sur $A$ et $f$ une fonction telle que $dom(f)=A$ et telle que pour tous $x,y\in A$, si $x\sim y$ alors $f(x) = f(y)$ (édité). Alors il existe une unique fonction $g$ telle que $dom(g)=A/\sim$ et telle que pour tout $t\in A$, $f(t)=g \left ( [t] \right)$, où $[y]$ désigne la classe de $y$ pour $\sim$, c'est-à-dire $\{t \in A \mid t \sim x\}$.
Si $g_1,g_2$ sont deux telles fonctions et $u\in dom(g_1)=A/\sim$, soit $t\in A$ tel que $u=[t]$. Alors $g_1(u)=g_1 \left ( [t] \right)=f(t)=g_2 \left ( [t] \right)=g_2(u)$ d'où l'unicité via la remarque 1.
Pour ce qui est de l'existence: soit $g$ l'ensemble des éléments $(p,q)$ de $(A/\sim ) \times im (f)$ tels qu'il existe $s\in p$ tel que $(s,q)\in f$. L'existence d'un tel $g$ est garantie par le schéma de compréhension. $g$ est un ensemble de couples par construction. Soient $x,y,z$ tels que $(x,y)\in g$ et $(x,z)\in g$. soient $a,b\in A$ tels que $a\in x$, $b\in x$, $(a,y)\in f$ et $(b,y)\in f$. Alors, comme $\sim$ est une relation d'équivalence, $a\sim b$ et donc $f(a)=f(b)$. Donc en fait:
$y=f(a)=f(b)=z$ et donc $g$ est une fonction. De plus si $t\in A$, alors comme $\big( t,f(t)\big) \in f$ et $t\in [t]$, on a $\big([t],f(t) \big) \in g$ et donc, puisque $g$ est une fonction, $g(t)=f\left( [t]\right)$.
Les fonctions $f$ et $g$ ci-dessus ont bien évidemment la même image.
Ce théorème n'est jamais démontré dans les cursus, à la place on voit des incantations comme "puisque $f(x)=f(y)$ quand $x\equiv y$ ça a du sens de poser $g([x])=...$" et au final les étudiants ont peur des quotients au point que leur introduction est reportée de plus en plus tard, vers le M1 ou après, malgré leur caractère irremplaçable.
Le théorème se généralise bien sûr aux fonctions de plusieurs variables.
1.2) Soient $E_1,E_2,...,E_n$ des ensembles,pour tout $i\in \{1,...,n\}$ soit $\equiv_i$ une relation d'équivalence sur $E_i$ et $f$ une fonction de domaine $\prod_{i=1}^n E_i$. Si pour tous $(a_1,...,a_n),(b_1,..,b_n)\in \prod_{i=1}^n E_i $ tels que pour tout $i\in \{1,...,n\}$, $a_i \equiv b_i$, on a $f(a_1,...,a_n)=f(b_1,...,b_n)$, alors il existe une unique fonction $g$ de domaine $\prod_{i=1}^n (E_i/\equiv_i)$ telle que pour tous $(x_1,...,x_n)\in \prod_{i=1}^n E_i$, $f(x_1,...,x_n)=g([x_1],...,[x_n])$.
$g$ va être $\left \{(a,b)\mid \exists t_1,...,t_n\in \prod_{i=1}^n E_i : b= f(t_1,...,t_n)\wedge ([t_1],[t_2], ...,[t_n])=a, \right\}$.
La preuve est analogue à celle du théorème 1.1.
Plus besoin de tomber malade à l'évocation du fait que $\Z/n\Z$ est un anneau ou qu'il existe des quotients d'espaces vectoriels.
****************************
2) Recollement de fonctions
2.1) Unicité: Pour toute famille de fonctions $(h_k)_{k\in J}$, il existe au plus une fonction $g$ telle que $dom(g)=\bigcup_{k\in J} dom(h_k)$ et pour tous $j\in J$ et tous $x\in dom(h_j)$, $h_j(x)=g(x)$.
Soit $g,g'$ de telles fonctions. par hypothèse, $dom(g)=dom(g')$. Soit $x\in dom(g)$. Soit (hypothèse) $k\in J$ tel que $x\in dom(h_k)$. Alors $g(x)=h_k(x)=g'(x)$ et le résultat découle de la remarque 1 plus haut.
2.2) Existence: Soit $I$ un ensemble, $(f_i)_{i\in I}$ une famille de fonctions (i.e. $f_j$ est une fonction pour tout $j\in I$).
Les énoncés suivants sont équivalents.
(i) $\bigcup_{j\in I} f_j$ est une fonction.
(ii) Il existe une fonction $g$ telle que pour tout $i\in I$, $dom(f_i) \subseteq dom(g)$ et $g\big|_{dom(f_i)}=f_i$
(iii) pour tous $i,j\in I$, $f_i\big|_{dom(f_i)\cap dom(f_j)}=f_j\big|_{dom(f_i)\cap dom(f_j)}$
(i)=>(ii) est immédiate.
(ii)=>(iii) Soient $i,j\in I$ et $x\in dom(f_i)\cap dom(f_j)$; alors $f_i(x)=g(x)=f_j(x)$ et le résultat découle du cas particulier de la remarque 1 ci-dessus.
(iii)=>(i) $\bigcup_{j\in I} f_j$ est réunion d'une famille d'ensembles de couples donc c'est aussi un ensemble de couples. Soient $a,b,c$ tels que $(a,b)$ et $(a,c)$ appartiennent à $\bigcup_{j\in I} f_j$. Alors il existe $\ell \in I$ tel que $(a,b)\in f_{\ell}$ et $m\in I$ tel que $(a,c)\in f_m$. Mais comme $f_{\ell} \big|_{dom(f_{\ell})\cap dom(f_m)}=f_m\big|_{dom(f_{\ell})\cap dom(f_m)}$ et $a \in dom(f_{\ell})\cap dom(f_m)$, on a $b=f_{\ell}(a)=f_m(a)=c$ et donc $\bigcup_{j\in I} f_j$ est bien une fonction puisque la définition est satisfaite.
Noter qu'on a évidemment $dom\big( \bigcup_{j\in I} f_j\big)=\bigcup_{i \in I} dom(f_i)$
Application: construction de fonctions définies par récurrence/induction.
Si $E$ est un ensemble, une relation binaire $R$ sur $E$ (c'est-à-dire une partie de $E^2$) est dite bien fondée si pour toute partie $F$ non vide de $E$, il existe $m\in F$ "minimal pour $R$" (i.e. tel que pour tout $y\in E$, si $(y,x)\in R$ alors $y \notin F$). Des exemples de tels relations sont
-l'ensemble des $(p,q)$ tels que $q=p+1$ dans $\N$
-l'ordre strict sur un ensemble bien ordonné.
Si $E$ est muni d'une relation bien fondée et $G$ est une partie de $E$, la restriction de $R$ à $G$ (i.e.$G^2 \cap R$) est évidemment encore bien fondée.
Dans toute la suite on fixe une fois pour toutes un ensemble $E$ et une relation bien fondée $R$.
-Soit $x\in E$; on définit l'ensemble des prédécesseurs $P_R(x)$ comme étant $\{y\in E\mid x,y \in R\}$.
-un élément $a\in E$ sera dit "initial" si $P_R(a)=\emptyset$. La définition de "bien fondée" appliquée à $E$ entraîne l'existence de tels éléments lorsque $E$ est non vide. On désignera par $Init(E)$ l'ensemble des éléments initiaux de $E$.
-Dans la suite une partie $X\subseteq E$ sera appelée "segment initial" si pour tous $b\in X$ et tout $a\in E$, si $(a,b)\in R$ alors $a\in X$.
2.3)induction dans $(E,R)$: Soit $A$ une partie de $E$ telle que pour tout $x\in E$, si $P_R(x)\subseteq A$ alors $x\in A$. Alors $A=E$.
Si $E\backslash A$ est non vide, il admet un élément minimal $x$ et alors $P_R(x)\subseteq E\backslash (E\backslash A)=A$ ce qui entraîne une contradiction.
Cet énoncé est souvent exprimé de la manière suivante: "si $Init(E)\subseteq A$ et si pour tout $x$ non initial tel que $P_R(x)\subseteq A$ on a $x\in A$, alors $A=E$"
2.4) construction de fonctions par récurrence: soit $F$ un ensemble et $(v_x)_{x\in E}$ une famille telle que pour tout $x\in E$, $v_x$ est une fonction de $F^{P_R(x)}$ dans $F$. Il existe une unique fonction $f$ telle que pour tous $x\in X$, $f(x)=v_x \left( f\big|_{P_R(x)} \right)$..
Soit $S$ un segment initial de $E$. Une fonction $g:S\to F$ va être dite inductive si pour tous $x\in S$, $g(x)=v_x\left( g\big |_{P_R(x)} \right)$. Le but est bien sûr de montrer l'existence et l'unicité d'une fonction inductive sur $E$ (qui est évidemment un segment initial).
Unicité: soient $S$ un segment initial et $h,k:S\to F$ inductives. Alors $h=k$. Sinon compte tenu de la remarque 1 et de la définition de bien fondé, il existe $x\in S$ minimal tel que $h(x)\neq k(x)$ Mais alors $h\big |_{P_R(x)}=k\big |_{P_R(x)}$ et donc $h(x)=v_x\left( h\big |_{P_R(x)} \right)=v_x\left( k\big |_{P_R(x)} \right)=k(x)$ ce qui entraîne une contradiction, d'où l'unicité.
Pour l'existence, on note tout d'abord que toute réunion et toute intersection de segments initiaux est (évidemment) un segment initial. Soit $X$ l'ensemble de toutes les fonctions $g$ telles que $dom(g)$ est un segment initial de $E$ et $g$ est inductive au sens précédent (il existe bel et bien tel un ensemble en appliquant le schéma de compréhension à l'ensemble des parties de $E\times F$). Si $a,b\in X$, alors comme $dom(a)\cap dom(b)$ est un segment initial et que les restrictions de $a$ et de $b$ $dom(a)\cap dom(b)$ sont évidemment inductives, on voit que compte tenu de l'unicité déjà prouvée, on a $a\big |_{dom(a)\cap dom(b)}=b\big |_{dom(a)\cap dom(b)}$. Par suite les conditions du théorème de recollement 2.2) sont satisfaites et $f:=\bigcup X$ est alors une fonction, définie sur un segment initial de $E$ et qui est inductive (si $x\in dom (f)$, soit $u\in X$ telle que $x\in dom(u)$. Alors $f\big|_{dom(u)}=u\big|_{dom(u)}$ et donc $f\big |_{P_R(x)}=u\big |_{P_R(x)}$, de plus $f(x)=u(x)=v_x \left ( u\big |_{P_R(x)}\right )=v_x \left ( f\big |_{P_R(x)}\right )$ ). Montrons que $dom(f)=E$ ce qui conclut la preuve. Si ce n'est pas le cas, soit $x\in E$ un élément minimal de $E\backslash dom(f)$. Alors $P_R(x)\subseteq dom(f) \subseteq dom(f) \cup \{x\}$ et donc $dom(f) \cup \{x\}$ est un segment initial de $E$. On pose $e:= f \cup \left\{\left( x,v_x\left( f\big |_{P_R(x)} \right) \right)\right \}$. Il est alors immédiat que $e$ est une fonction inductive ce qui entraîne une contradiction, d'où le résultat.
Traditionnellement, l'énoncé 2.4) se formule plutôt de la façon suivante:
2.5) Soit $F$ un ensemble. Soit $a:Init(E) \to F$ une fonction. Pour tout $x\in E\backslash Init(E)$, soit $b_x:F^{P_R(x)} \to F$ une fonction. Alors il existe une unique $g:E\to F$ (dite définie par récurrence via $a,b$ ou autre formulation analogue...) telle que pour tout $x\in Init(E)$, $g(x)=a(x)$ et pour tout $x \in E \backslash Init(E)$, $g(x)=b_x
\left( \big(g(t)\big)_{t \in P_R(x)}\right )$.
Soit $x \in E$. Si $x \in Init(E)$ (i.e. si $P_R(x)=\emptyset$), posons $v_x:=\left\{\big(s,a(x)\big) \big | s \in F^{P_R(x)} \right\}$. Si $x\notin Init(E)$ posons $v_x:=b_x$. On vérifie que la fonction obtenue par le théorème 2.4) convient.
[size=x-small](*)au besoin: le couple $(a,b)$ est l'ensemble $\{\{a\},\{a,b\}\}$. On peut vérifier que pour tous $a,b,c,d$, si $\{\{a\},\{a,b\}\}=\{\{c\},\{c,d\}\}$ alors $a=c$ et $b=d$
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