irrationalité de pi

citation: "j'ai supposé que périmètre sur aire était injective alors qu'elle est constante 2 sur les convexes bien ronds".

Voyons voir ce que prouve cette nouvelle "preuve". En se limitant aux cercles, on a $(2\pi r)/ (\pi r^2)=2/r$. Et donc, seuls les cercles de rayon $1$ sont "bien ronds". Cela donne une nouvelle définition du mètre étalon: on fait varier le rayon d'un cercle. Au moment précis où le cercle est "bien rond", le rayon vaut $1$.

EDIT: sur le conseil de Chaurien, on pourrait aussi essayer: "$\forall$ frichmoute: frichmoute étaient les Borogoves" prouve que "$\forall$ frichmoute: frichmoute étaient les Borogoves" en supposant que "$\forall$ frichmoute: frichmoute étaient les Borogoves" à condition que frichmoute ne soit pas une variable dans la proposition "étaient les Borogoves"... et tester cela sur le nombre $e+\pi$.

Cordialement, Pierre.

J'appelle polygone "bien rond" le convexe qui s'obtient en prenant sur un cercle un nombre fini de points et en prenant leur enveloppe convexe. Ces quadrilatères vérifient tous que leur périmètre vaut 2 fois leur aire si on retire l'unité de longueur choisie (qui est telle que rayon = 1 fois cette unité).

Qu'est-ce que ça veut dire ? Affirmes-tu que pour tout quadrilatère convexe inscrit dans un cercle, le périmétre fois le rayon du cercle vaut deux fois l'aire ? Et pourquoi quadrilatère ? Nombre fini = 4 ?

Bonjour,

Mueller dit: "In all cases, the used polynomials seem to appear from nowhere" ... cela est encore plus vrai dans son article. Pour commencer les polynômes \[ P_{n}\left(t\right)=\frac{1}{2^{n}~n!}\,\frac{\partial^{n}}{\partial t^{n}}\left(t^{2}-1\right)^n \] ne sont autres que les polynômes de Legendre sur $[-1,+1]$. On rappelle que les récurrences relatives à ces polynômes sont encapsulées dans: \[ Ser_{P}\left(\zeta\right)=\dfrac{1}{\sqrt{1-2\,t\zeta+\zeta^{2}}}\;\;(ogf) \]

Puis on calcule de deux façons les intégrales \begin{eqnarray*} J_{n}\left(z\right) & \doteq & \left(-1\right)^{n}z^{2\,n+1}\int_{-1}^{1}\!\dfrac{\left(t^{2}-1\right)^{n}}{n!\,2^{n}}\,\exp\left(zt\right)\,{\rm d}t\underset{1}{=}z^{n+1}\int_{-1}^{+1}L_{n}\left(t\right)\exp\left(zt\right)\mathrm{d}t\\ & \underset{2}{=} & \exp\left(z\right)Q_{n}\left(z\right)+\exp\left(-z\right)R_{n}\left(z\right) \end{eqnarray*} (1) s'obtient par i.p.p. tandis que (2) fait intervenir des polynômes à coefficients entiers. Les premières valeurs sont: \begin{multline*} J_{0}={\rm e}^{z}-{\rm e}^{-z}\;;\;J_{1}=\left(z-1\right){\rm e}^{z}+\left(z+1\right){\rm e}^{-z}\;;\;J_{2}=\left(z^{2}-3\,z+3\right){\rm e}^{z}-\left(z^{2}+3\,z+3\right){\rm e}^{-z}\;;\;\\ J_{3}=\left(z^{3}-6\,z^{2}+15\,z-15\right){\rm e}^{z}+\left(z^{3}+6\,z^{2}+15\,z+15\right){\rm e}^{-z}\cdots \end{multline*} Les relations de récurrence relative à ces polynômes sont résumées par \[ Ser_{J}\left(\zeta\right)=\dfrac{\exp\left(+z\,\sqrt{2\,\zeta+1}\right)}{\sqrt{2\,\zeta+1}}+\dfrac{\exp\left(-z\,\sqrt{2\,\zeta+1}\right)}{\sqrt{2\,\zeta+1}}~~(egf) \]

$\def\qq{\mathbb{Q}} \def\zz{\mathbb{Z}}$ On suppose que $z$, $\exp\left(z\right)$, $\exp\left(-z\right)$ sont des éléments de $\qq\left[i\right]$ avec $b,d_{1},d_{2}$ comme dénominateurs. D'une part, la première écriture montre que l'expression $\left|J_{n}\left(z\right)\,b^{n}d_{1}d_{2}\right|$ est majorée par $\left(2\,d_{1}d_{2}\left|z\right|\exp\left|z\right|\right)\left|b^{2}z^{2}/2\right|^{2n}\div n!$ et donc tend vers $0$ lorsque $n\rightarrow0$.

Par ailleurs, $b^{n}d_{1}d_{2}\,J_{n}\left(z\right)$ est un entier de Gauss puisque les polynômes $Q_{n},R_{n}$ sont à coefficients entiers. On notera que Mueller considère en fait les polynômes $2^{n}P_{n}$ parce que cela lui facilite la vie pour prouver que $Q_{n},R_{n}\in\zz\left[z\right]$ (sans pour autant compromettre $b^{n}d_{1}d_{2}\,J_{n}\left(z\right)\mapsto0$).

On a obtenu une suite d'entiers qui tend vers zéro: elle est donc nulle à partir d'un certain rang. Il reste à exploiter un certain nombre de cas où $\forall n:J_{n}\left(z\right)\neq0$. Je ne détaille pas, c'est dans l'article.

Par contre, cette méthode est loin de constituer une alternative "plus basique" aux techniques de fractions continues. En effet la relation $J_{n}\left(z\right)\rightarrow0$ (plus vite que toute progression géométrique, comme le disait Lambert 1761), indique que les fractions $-R_{n}\left(z\right)/Q_{n}\left(z\right)$ sont des réduites de $\exp\left(2z\right)$. En fait on en trouve une sur deux, celles dont numérateur et dénominateur ont le même degré. C'est ce que l'on appelle les approximants de Padé d'ordre $\left(n,n\right)$.

Autrement dit, la "méthode" de Mueller consiste en fait à changer les noms dans la démonstration de Lambert. Au passage, on voit pourquoi christophec n'arrive pas à trivialiser la question depuis sa baignoire:
(1) il ne semble toujours pas avoir compris que la formule ${\rm aire}={\rm apotheme}\times \frac 1 2 {\rm perimetre}$ n'est rien d'autre que mettre l'apothème en facteur dans $ \frac 1 2 \sum base \times hauteur$
(2) cette propriété n'a rien à voir avec la choucroute (un simple passage à la limite ne conserve pas l'irrationalité).

Cordialement, Pierre

Comme signalé par Chaurien, Legendre a appelé P ses polynômes... et pas L (il n'y en n'avait pas d'autres à l'époque).

J'ai corrigé l'exposant $n$ oublié dans mon message.
Mais je ne vois pas pourquoi mettre des dérivées partielles alors qu'il n'y a qu'une variable réelle.
Bonne journée et bonne année.
Fr. Ch.

Poser la méthode de Niven telle quelle est une aberration:
Petite citation tirée de l'article joint <<L'exercice est souvent posée sous cette forme, sans autre commentaire, dans
des livres, des sujets d'épreuves.... Quelle image cela peut-il donner aux étudiants d'un chercheur en Mathématiques ? N'est-il pas décourageant de penser, pour peu qu'on soit lucide, qu'on n'aura jamais soi-même l'idée de partir d'une telle fonction $f_n$ ?>>

Alors que les polynômes apparaissent naturellement dans l'irrationalité de $e$ et $\pi$

Hisoitre d'une preuve mathématique

Merci pour cet article (visiter aussi le site de la personne qui l'a écrit, c'est très intéressant)

@Christophe : "l'heuristique encourageante..." Peux-tu expliciter un tel système fini d'équations pour une racine de $X^5-3\,X-1$ ?