réels algébriques trop rigides?

Je vais numéroter la question suivante dans "il est facile de", mais je crée un fil autonome. J'ai inventé cette conjecture pour "me laver de la honte" de ma négligence avachie d'hier sur la non rationalité de $\pi$.

Soit $A$ l'ensemble des réels algébriques (ie les réels qui sont racine d'un polynôme non constant à coefficients rationnels)

Soit $T$ l'ensemble des bons (intérieurs de leur adhérence) ouverts simplement connexes et relativement compacts du plan euclidien $\R^2$.

Soit $Y$ l'ensemble des éléments de $T$ dont la frontière est un polygone, et $Y_n$ la partie de $Y$ de ceux qui ont $n$ sommets (éventuellement avec certains alignés)

Soit $n$ un entier. Soit $f$ une fonction "continue" (pour la distance de l'aire de la différence symétrique) de $T$ dans $\R^n$ qui est $C^\infty$ au sens que pour chaque entier $p$, sa restriction à $Y_p$ est $C^\infty$ vue comme $\phi(p,f):=$ la fonction envoyant le uplet de sommets dans $\R^n$, ie $f(X) = \phi(p,f)(Sommets(X))$ (par abus, il faudrait choisir un ordre pour les lister)

On suppose que aussi que pour chaque entier $p$, $\phi(f,p)$ envoie $(A^2)^p$ dans $A^n$.

Soit $Q$ un polynôme à coefficients rationnels à $n$ indéterminées. On suppose que $Q\circ f$ atteint son maximum en $m$ et que $m$ est un réel algébrique.

Je résume cette conjecture compliquée en un slogan facile à mémoriser: si un réel algébrique bat un record canonique à propos de propriétés diverses (comme l'aire le périmètre, les diamètres, etc) concernant les ouverts bornés, alors il y a un ouvert avec un frontière polygonale qui en témoigne.