Bourbaki

Mavialerys · January 2018

Salut tout le monde !
Je suis nouveau sur le forum et je m'intéressais aux fondements des maths. Après quelques recherches, j'ai trouvé les éléments de Bourbaki sur internet en PDF...
Mais on m'a dit que les experts de la théorie des ensembles considéraient que Bourbaki n'était pas du tout une bonne référence dans ce domaine, sans me donner d'arguments.
Du coup, quelqu'un pourrait-il éclaircir ce point ? Qu'est-ce qui fait du premier tome des éléments une 'mauvaise' construction de la mathématique formelle ? (Ne soyez pas trop méchant SVP, je ne suis qu'au lycée...)
Merci d'avance ^^

Maxtimax · January 2018

Une première raison est que leur but n'était pas de parler de théorie des ensembles : ce n'etait pas leur priorité et donc ils l'ont juste "utilisé" pour pouvoir faire le reste.
Ils ont fait des choix étranges, notamment le fait que leur système logique a l'axiome du choix "construit" dedans (avec leur opérateur $\iota$).
Je n'en sais pas beaucoup plus

Math Coss · January 2018

Au lycée, le livre de Paul Halmos constitue déjà un objectif raisonnable et, j'espère, plus abordable.

christophe c · January 2018

Bonjour, bin c'est juste que ça a été écrit très tôt, ça présente en des centaines de pages des choses qui pourraient dites en 5 ou 6, qu'il y a des maladresses en tout genre dedans. La pierre n'est pas à leur jeter, c'est déjà beau d'avoir entrepris ce truc à une époque historique si ancienne. Même encore aujourd'hui tu as plein de gens (alors certes, eux maintenant sont officiellement labelisés incompétents sans débat, mais pas à l'époque) qui déclarent que "ça a du sens", qu'un raisonnement mathématique ne peut pas être vérifiée sans subtilité par ordi ni effort, etc, que vrai et prouvable ça revient au même, etc.

Bin, en gros à l'époque, c'était quasiment la totalité des scientifiques qui disaient ces bêtises (la résurgence actuelle de leur promotion vient des pédagos, il n'y a plus de scientifiques (à part pour provoquer) qui le font), donc je te laisse imaginer à quel point ils ont dû, seuls, construire finalement un catalogne ultraredondant et mal fait pour aboutir à un livre. De plus, il faut savoir que pour "monter" une information de cette nature en milieu hostile, ce milieu hostile constituant ce qu'on appelle "un bruit", il faut insérer dans le message une très forte redondance pour la rendre résistante aux agressions ou aux accidents de transmission. C'est AUSSI CA qui donne le poids (au sens propre, au kilo!) des livres de Boubaki.

Mavialerys · January 2018

Merci de vos réponses !
@christophe c: Tu pourrais donner un ou deux exemples de "maladresses en tout genre" ? Les livres de Bourbaki présentent bien, à partir de quelques axiomes fondamentaux, une description de toute la mathématique de leur époque, et on n'attend rien de plus d'un ouvrage posant les fondations des maths, si ?
Cela dit, une autre question (sans doute liée à la précédente) me tourmente; les axiomes de Bourbaki présentent pas mal de différences avec ZFC, mais arrivent (enfin, je suppose) aux même résultats.
Quel est dès lors l'intérêt d'avoir créé plus tard ZFC, alors que les axiomes de Bourbaki étaient suffisamment clair et suffisamment fort ?

GaBuZoMeu · January 2018

Quel est dès lors l'intérêt d'avoir créé plus tard ZFC, alors que les axiomes de Bourbaki étaient suffisamment clair et suffisamment fort ?

Il ne faut pas inverser l'histoire !
Fraenkel a publié "Zu den Grundlagen der Cantor-Zermeloschen Mengenlehre" en 1922.
Bourbaki s'est formé en 1935.

Mavialerys · January 2018

Oops ! Désolé !
Alors j'inverse ma question : quel est l'intêret pour Bourbaki d'avoir construit sa théorie sur un nouveau système d'axiome, alors que ZFC existait déjà et était très performant ?

L'Axone du Choix · January 2018

On peut supposer que 13 ans après son apparition, ZFC ne s'était pas encore imposé comme aujourd'hui. Et puis les Bourbakistes, qui étaient davantage des mathématiciens que des logiciens, avaient peut-être envie d'un système plus "pratique" pour les maths de tous les jours...

Mavialerys · January 2018

Et pourquoi privilégie-t-on ZFC aujourd'hui ?

christophe c · January 2018

De mon téléphone : ZFC et Bourbaki sont exactement la même théorie sur le fond. Seule change la présentation, sur des détails. Le moins insignifiant desdits détails est l'évitement par B des quantificateurs grâce à la skolemisation due à son symbole tau qui permet de faire uniquement de la logique propositionnelle et ça pour l'époque et comme choix politique c'est plutôt une bonne chose.

Comme maladresses je te l'ai dit il y a des redondances volontaires et aussi involontaires et pas mal d'erreurs ou d'incohérences (certaines ont été signalées récemment sur le forum)venant de la longueur et de la collégialité du bouquin. De plus il y a une présentation de la logique "usine à gaz" la encore redondante avec des numéros peu mnémotechniques.

Bref... C'est un BON livre et même inégalable globalement mais il exprime en 300 pages ce qui l'être en 10 (en gros tu as un multiplication par 20 ou 30) sans perte. Si tu veux une idée de cette forme d'esprit redondante tu peux jeter un œil aux fils d'amatheur sur le forum en sachant (tu ne ne peux pas le deviner seul j'imagine) que quelques lignes suffiraient à résoudre complètement ce qu'il essaie de traiter sur des DIZAINES DE MILLIERS de lignes du fait de sa "fidelite " au style B

christophe c · January 2018

On ne privilégié ni ZF ni B (qui sont la même chose). On ne peut faire autrement c'est tout. Pour faire autrement (au sens vraiment) il faudrait multiplier jusqu'à l'infâme le nombre de notions premières introduites en début de "chapitres". La science s'en trouverait complètement morcelée et disqualifiée car ses adversaires lui reprocheraient de parler du sexe des anges. Comme on veut que tout soit défini (pas de notions premières ou 1 ou 2 max ) et tous parler de la même chose (références dans les articles), on n'a pas le choix. Mais ce n'est pas un critère PHILOSOPHIQUE de fondement. Le fondement (de fond) des maths tient en une ligne: prouver tout ce qu'on dit. Les règles qui ensuite sont placées pour gérer nos suites de caractères ont toujours le statut "d'axiomes" et de ne erreur souvent faite est de croire qu'il y a des axiomes fondamentaux "crus par les matheux". Bien sur que non!!! Le seul truc qui se passe c'est d'autoriser les auteurs de théorèmes d'écrire en encre blanche et police 0.0004 les axiomes utilises quand ce sont ceux de ZF. "encre blanche" n'est pas synonyme de croyance

Mavialerys · January 2018

Nice ! Et tu aurais des fichiers PDF ou des titres de bouquins qui présentent les bases des maths avec une densité 20 à 30 fois inférieure à celle de Bourbaki ? (en d'autres termes, est-ce que quelqu'un a déjà pris le temps de rédiger les 10 pages qui contiendraient l'intégralité du premier tome ?)
Si tu fais référence au fascicule de résultats de la fin du livre, ça ne me convient pas du tout (aucune démonstration, aucun formalisme

)

christophe c · January 2018

Tu demandes :

est-ce que quelqu'un a déjà pris le temps de rédiger les 10 pages qui contiendraient l'intégralité du premier tome

Mais au premier post, tu écris:

Ne soyez pas trop méchant SVP, je ne suis qu'au lycée...

Du coup, je ne sais pas quoi te répondre. Tu apprendras plus tard qu'un éditeur ne publie que très très rarement un livre de 10 pages! Donc oui, "quelqu'un a pris le temps de rédiger" mais "non, je ne pense pas qu'il soit facile de trouver ça en libraire"

Par ailleurs, je n'ai pas les Bourbaki. Poste au moins des précisions sur ce que tu veux vraiment. Par exemple le sommaire du livre que tu veux voir raccourci. On ne sait pas par coeur le sommaire.

Par ailleurs, on peut même tout te dire en une page théoriquement, donc il faut que tu précises quelles parties non maths tu veux voir rester dans les 10 pages (les définitions et les théorèmes, + quelques panneaux pour éliminer la nécessité de l'inspiration pour trouver leur preuve, n'aurait peut-être même pas besoin de 10 pages (peut-être 7 ou 6 suffiraient), je ne sais pas.

Par contre, attention, je ne veux pas passer 1h, voire 2 à taper ces 10 pages juste pour qu'un ado les regarde en se disant "c'est beau tous ces symboles".

On a beaucoup progressé en simplicité et en pureté depuis Bourbaki (1935). Il y a embarras du choix sur la façon de présenter les choses:

1) ou bien on fait tout avec $\in$ et $=$ (on définit $\forall$, pas besoin de le prendre comme primitif)

2) ou bien on fait tout avec $\in $ et $\forall$ (on définit $=$, pas besoin de le prendre comme primitif)

3) Par ailleurs, on monte en amont de ZF avant de se restreindre aux ensembles, de sorte que de toute façon $a\in b$
est remplacé par $b(a)$
4) Autre choix possible, on respecte le côté poussif et maladroit de B et garde $\in, =, \wedge, \vee, etc$, on ajoute $\tau$ pour vite s'en débarrasser. Ca rallonge très significativement l'exposé

Bref, impossible de te satisfaire sans que toi, tu fasses d'abord des choix, si possible motivés et résolves quelques exercices (que je te donnerai) pour assurer que tu as effectivement "bien étudié" le "premier livre".

christophe c · January 2018

Mais si ça peut te soulager, je te définis les "maths formelles officielles"** en une page. La seule chose que je te laisse trouver dans ton "1er livre" c'est la gestion des variables liées.

Les axiomes sont :

a1) l'axiome d'extensionalité: $\forall a,b: [(\forall x: [x\in a\iff x\in b])\to (\forall x[a\in x\to b\in x])]$

L1) $\forall X: X\to X$

L2) $\forall X,Y,Z: (X\to Y)\to ((Y\to Z)\to (X\to Z))$

L3) $\forall X,Y,Z: (X\to Y)\to ((Z\to X)\to (Z\to Y))$

L4) $\forall X,Y: X\to (Y\to X)$

L5) $\forall X,Y: ((X\to (X\to Y))\to X\to Y))$

L6) $\forall R,S [\forall x((\forall t[Rt\to St])\to ([\forall t:Rt]\to [\forall t:St]))]$

L7) $\forall X,Y: (((X\to Y)\to X)\to X)$

a2) Schéma général de compréhension: $\forall u_1,...\forall x: [(R(x))\iff ( x\in \{y\mid R(y)\} ) ]$

pour toute expression $R(x)$ ayant le statut de phrase et où les $u_i$ sont les lettres qui sont libres dans $R(x)$. L'expression $R(y)$ est celle obtenue en remplaçant les occurrences libres de la lettre $x$ par la lettre $y$ (mais après avoir pris soin de renommer les variables liées dans $R(x)$ de façon que n'y apparaisse nulle part la variable $y$.

De plus, $R(x)$ doit avoir une forme précise que je te précise plus tard et qui n'est pas importante (tu verras pourquoi).

Les théorèmes de maths sont :

les énoncés que tu obtiens en partant des axiomes et en appliquant, comme tu veux, l'opération suivante: si tu as déjà obtenu $A\to B$ et que $A$ est un axiome alors tu peux dire que $B$ est démontré

Bien évidemment, ça, c'est juste la définition théorique. Après il y a à démontrer tout un tas de petits accélérateurs pratiques (qui verbosent les textes hélas) qui permettent de ne pas écrire un certain nombre de choses sous-entendues constamment.

J'en reviens au commentaire que j'ai fait sous le (a2):

Exercice: prouve que si on ne met pas de restriction sur les $R$ utilisées, on peut prouver tout ce qu'on veut.

pldx1 · January 2018

Bonjour.

Après avoir compressé la théorie de l'approximation en $\pi r^2=\frac 1 2 (2\pi r)\times r$ et la théorie de la preuve en "frichmoute étaient les Borogoves" prouve que "frichmoute étaient les Borogoves" en admettant que "frichmoute étaient les Borogoves", voila que christophec vient nous révéler les ressorts cachés des publications scientifiques. Si Tapage et Blagounnettes n'ont toujours pas publié les oeuvres completes de christophec, c'est parce que cela ne rapporte pas assez de publier un truc de trois-quatre pages. Ah les vilains ! Ils préfèrent publier "Séries de Fourier et ondelettes". En 578 pages !

Cordialement, Pierre.

christophe c · January 2018

De mon téléphone : bravo pour ton humour (mon passage préféré est la fin, la dernière ligne très bon choix pour faire rire) :-D

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