Injection de {0,1}^N dans une partition

Oui "on" voit mais veux-tu vraiment qu'on te la donne ? (Indice, c'est vraiment très très simple, mais ne te bloque pas par la contrainte inutile de faire que ton injection $f$ est telle que $f(x)$ soit proche de la classe de $x$ ).

Si tu arrives à construire sans l'axiome du choix une injection de $X/tonequiv$ dans $X$ par contre, tu recevrais la médaille Field (pour info).

Même solution :

Envoyer $(a_n)\in \{0,1\}^\mathbb{N}$ vers $(b_n) = (\sum_{m \le n} a_m 2^m) \in \mathbb{N}^\mathbb{N}$ puis en codant chaque $b_n \in 0 \ldots 2^{n+1}-1$ par sa représentation sur $n+1$ bits, envoyer $(b_n)$ vers $(c_n) \in \{0,1\}^\mathbb{N}$

Bon maintenant que tu es comblé, je précise (pour les visiteurs futurs):

1) l'ensemble vérité de $x$ est la théorie de $x$ dans (par exemple) $(\R,\N,x, +,\times)$, c'est à dire l'ensemble des énoncés clos qui y sont vrais. En bijectant $\N$ sur l'ensemble des énoncés clos blabla. Il suffit de différer sur un seul digit pour que les théories de deux suites de 0 et de 1 soient assez radicalement différentes (en tout cas, différent sur une infinité de digit)

2) Soit $b$ une bijection de $\N^2$ dans$\N$ et pour chaque $x\in 2^\N$ soit $f(x):=$ la classe de $b(p,n)\mapsto x(n)$ dans ton quotient. Alors $f$ est injective.

En français un livre titré "maths sans choix" ça doit pas courir les rues hélas. (C'est ça la traduction de ton désir en fait).

De mon téléphone : là maintenant je n'ai pas de références mais ton mots clé est "étude des cardinaux en l'absence de l'axiome du choix" . Des livres faciles sont peu probables , des traités spécifiquement cardinaux sans AC non plus. Mais des articles de recherche sont possibles. Pour ce qui tourne autour de IR et ses quotients mot clé "cardinal invariant ; Cichon". Ta relation s'appelle E_0. Ton quotient est essentiellement IR/IQ.