AC aussi faux que possible

Poirot
Poirot
dans Fondements et Logique
Bonjour. Il me semble qu'a priori, seuls les ordinaux sont "naturellement" bien ordonnés. On peut construire des ensembles bien ordonnés à partir de ceux-là grâce aux opérations usuelles sur les ensembles ordonnés : addition, multiplication, exponentiation (j'imagine qu'il y en a d'autres, du style exponentiation itérée, etc.). Ces ensembles ne sont pas en soi des ordinaux, mais ils sont bien sûrs isomorphes à des ordinaux. Si on peut définir la clôture des ordinaux pour ce genre d'opérations, est-il possible d'avoir un modèle de ZF (bien sûr en supposant ZF consistante) dans lequel cette clôture soit exactement la classe des ensembles bien ordonnés ? Donc que d'une certaine manière, AC soit "aussi faux que possible" ?

Ma question est peut-être naïve, merci d'avance pour vos réponses.

Réponses

  • christophe c
    christophe c
    Elle est surtout un peu "mal définie". On a un exemple de théories qui réalisent "assez bien" ce projet qui est $$ZF+CD+BeaucoupDeDeterminationDeJeux$$

    Mais le problème est de rendre précis "ces opérations qui fournissent de nouveaux bons ordres". Dans n'importe quel univers de toute façon, tu as $L$ qui est naturellement bien ordonné (bon encore celui-ci n'est pas très prisé des philosophes qui pourraient aimer ta question, car il est incompatible avec les grands cardinaux assez grands), mais tu as surtout $HDO$ qui l'est aussi et qui lui est pourtant compatible avec les GC (enfin la plupart).

    De plus, pour te donner un ordre d'idée du problème qui est que pour nier le choix ici, on est obligé d'en créer là, par exemple, AD entraine l'existence de très nombreux ultrafiltres. Enfin même mieux, AllLebesgueMesurable entraine aussi l'existence de PLEIN d'ultrafiltres non principaux (ils sont en plus tous sigam-additfis :-D, autrement dit, ils sont des archétypes de choses que le choix seul ne parvient pas à faire, il faut en quelque sorte un ultrachoix local.

    Maintenant si par exemple tu nies AllLebesgueMesurable, et bien ton ressenti est que tu as du choix indésirable qui est resté à se coller sur les tuyaux.

    La vie est dure! :-D
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Shah d'Ock
    Shah d'Ock
    Qu'appelles-tu "la classe des ensepbles bien ordonnés?"
  • Poirot
    Poirot
    Merci pour vos réponses. Je ne connais pas tout ce dont tu parles Christophe, je vais bientôt commencer le chapitre sur le forcing du livre de Dehornoy :-D

    En effet, la "classe des ensembles bien ordonnés" ne veut pas dire grand-chose. Ce que je voulais dire est que les ensembles dont je parle seront bien ordonnables dans tout modèle de ZF, et je voulais savoir si on pouvait imaginer une négation de AC si forte qu'ils soient les seuls possibles dans un certain modèle.
  • christophe c
    christophe c
    De mon téléphone : en plus concis il existe pas de tel univers. On peut essayer de s'en approcher. Mais c'est tout. Et le forcing n'y est pour rien.

    Remarque: dans ZF intuitionniste il y aurait déjà un peu plus d'espoir car la LI est naturellement telle que c'est facile d'avoir des univers où seules les théorèmes sont "vrais" (mais bon on triche parce que les phrases qui n'ont pas la valeur vrai ne sont pas des phrases ayant la valeur faux donc ça ne devrait pas t'interesser)
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  • Shah d'Ock
    Shah d'Ock
    Donc finalement un Univers où l'axiome du choix serait aussi faux que possible serait un Univers dans lequel tout ensemble admettant un bon ordre est héréditairement définissable en termes d'ordinaux (et dans lequel plein d'ensembles ne le sont pas)?

    (Même ça ça ne merche pas parce que $\{x\}$ est toujours muni d'un bon ordre...)
  • christophe c
    christophe c
    Ce n'est pas ça que demande Poirot. Ce serait plutôt un univers où toute collection définissable ne contenant que des ensembles bien ordonna les est telle que ZF prouve qu'elle est ainsi

    De mon téléphone sans lunette. Ah et précision un tel univers n'existe pas de toute facon
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  • Shah d'Ock
    Shah d'Ock
    cc a écrit:
    Ce n'est pas ça que demande Poirot.
    Ah bon? J'ai relu son premier message, et c'est vraiment ça que je comprends.
  • christophe c
    christophe c
    Ce qu'il demande est vague. En gros il veut que chaque fois qu'on a une fonction choix on l'a "construite".

    Ah et j'en profite pour dire que si si il en existe plein (un modèle de ZF +NON CONS ZF marche) mais pas parmi les univers "corrects" (bien fondes de hauteur et complexité arbitraire)
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  • christophe c
    christophe c
    Etant sur un PC, c'est plus pratique pour prouver ce que j'ai dit au post d'avant. Soit $P$ une phrase et par exemple $C:=\{x\mid x= \N\vee (P\wedge x\subset \R)\}$. Les univers désirés qui $\models nonP$ croient que $ZF\vdash $ tous les éléments de $C$ sont bien ordonnables (qui est juste l'existence d'un entier), donc s'ils ne contiennent pas d'entiers infinis, les univers qui $\models P$ le croient aussi (ils voient ce même entier). C'est un peu con con puisque je ne pense pas que Poirot souhaite voir $\R$ bien ordonnable dans les univers qu'il attend :-D
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  • Poirot
    Poirot
    Christophe tu as bien compris mon interrogation il me semble. Par contre j'avoue ne pas avoir compris ton argument. $P \wedge x$ kézako ? Pourquoi tu parles d'entiers infinis ? (je sais ce que c'est) Et en effet je ne considère pas $\mathbb R$ comme bien ordonnable "naturellement", mais difficile d'avoir un argument rigoureux pour dire pourquoi à mon faible niveau.
  • christophe c
    christophe c
    @Poirot. Prenons un énoncé $P$ quelconque. Prenons la collection des $x$ tels que $P$. Cette collection est bien définissable. Elle vaut l'ensemble vide :-D quand nonP et elle vaut tout l'univers quand $P$.

    Il suit que les Poirot-univers qui croient à nonP considèrent que $ZF\vdash E$ où $E$ est l'énoncé "tous les éléments de $C$ sont bien ordonnables". Les Poirot-univers qui croient à P penseront donc que tous les ensembles sont bien ordonnables (sauf si la preuves que les premiers voient, les deuxièmes ne la voient pas, mais dans ce cas cette preuve a une longueur "infinie", sinon tout le monde la verrait).
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  • christophe c
    christophe c
    Je pense que tu sais que pour $P$ tu as tout un choix d'énoncés divers et variés qui rendent ce qui précède convaincant**. Par exemple, tu peux prendre "il existe un cardinal inaccessible"; ou encore l'hypothèse du continu.

    ** que les Poirot-univers n'existent pas.

    De toute façon ce que te dit l'argument c'est que dans un Poirot univers ne vérifiant pas AC, les énoncés qui sont vrais forment un ensemble récursivement énumérable. Je pense que tu sais que ce n'est pas possible.
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  • Poirot
    Poirot
    Je ne comprends pas comment tu passes des univers qui croient à non $P$ aux univers qui croient à $P$.
  • christophe c
    christophe c
    "Je ne passe pas". Je me contente de dire: soient $V_1$ un univers vérifiant $P$, et $V_2$ un univers vérifiant $nonP$, c'est tout. S'ils sont en plus des Poirot-univers et qu'ils ont les mêmes entiers, il y a une contradiction.

    De toute façon, je te l'ai dit, tu peux aussi, avec un seul univers, faire la remarque qu'un Poirot-univers est impossible puisque son ensemble véritié (cad les énoncés clos sans paramètres qu'il vérifie) devrait être récursivement énumérable (et même récursif, puisque son complémentaire aussi est rec-en). En effet, l'énoncé P y est vrai ssi la collection C associée à P est telle que ZF ne prouve pas qu'elle ne contient que des ensembles bien ordonnables.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Cyrano
    Cyrano
    cc, pourrais-tu préciser la définition formelle que tu donnes au mot univers. (Ou bien est-ce un concept méta-mathématiques ?)
  • christophe c
    christophe c
    Ah pardon, je l'utilise dans le sens "modèle de ZF" dont la relation est "le vrai $\in$", autrement dit $<<$ ensemble transitif $X$ tel que $(X,\in_{|X})$ est un modèle de ZF$>>$
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