Démonstrations sur les ensembles
Bonjour,
Je dois démontrer l’égalité suivante :
$$\bigcup_{i=1}^{k}{A_i} = (\bigcup_{i=1}^{k-1}{(A_i-A_{i+1})})\cup(A_{k}-A_1)\cup(\bigcap_{i=1}^{k}{A_i})$$
Intuitivement j'ai dans un premier temps pensé a simplifier le second membre et a le réarranger jusqu’à tomber le premier.
Ce qui ne m'a mené nul part.
Ma deuxième idée fut de chercher a démontrer la double inclusion(puisque nous travaillons ici avec les ensembles),
en me servant des propriétés des unions et intersections infinies, ce qui revient a démontrer que :
Soit I=[1;k] alors en prenant un x quelconque on a:
Je poste une image puisque le site ne semble pas prendre son LaTex.
A partir de la je ne sais pas comment procéder, quelqu'un aurait une solution d'approche a me proposer?
Merci d'avance.
Je dois démontrer l’égalité suivante :
$$\bigcup_{i=1}^{k}{A_i} = (\bigcup_{i=1}^{k-1}{(A_i-A_{i+1})})\cup(A_{k}-A_1)\cup(\bigcap_{i=1}^{k}{A_i})$$
Intuitivement j'ai dans un premier temps pensé a simplifier le second membre et a le réarranger jusqu’à tomber le premier.
Ce qui ne m'a mené nul part.
Ma deuxième idée fut de chercher a démontrer la double inclusion(puisque nous travaillons ici avec les ensembles),
en me servant des propriétés des unions et intersections infinies, ce qui revient a démontrer que :
Soit I=[1;k] alors en prenant un x quelconque on a:
Je poste une image puisque le site ne semble pas prendre son LaTex.
A partir de la je ne sais pas comment procéder, quelqu'un aurait une solution d'approche a me proposer?
Merci d'avance.
Réponses
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Cette égalité est visiblement fausse : si $k>1$ et s'il y a un $x\in A_k$ qui n'est dans aucun autre $A_i$, alors il n'appartient pas à l'ensemble de droite.
Elle devient vraie si tu remplaces $A_{k-1}-A_1$ par $A_k-A_1$. Il y a une coquille dans l'énoncé, ou tu t'es trompé en le recopiant. -
C'est juste j'ai accidentellement remplacé $A_k$ par $A_{k-1}$.
En corrigeant l'erreur et en admettant que l’égalité soit vraie et démontrable, quelle approche avoir pour la démontrer rigoureusement? -
Une fois corrigé, l'exercice n'est pas trop dur. L'inclusion de droite à gauche est évidente. L'inclusion dans l'autre sens vient facilement quand on réfléchit à ce qui se passe quand $x\in \left(\bigcup_{i=1}^k A_i\right) \setminus \left(\bigcap _{i=1}^kA_i\right)$.
-
Focalisons nous dans un premier temps sur l'inclusion de droite a gauche. Elle peut être concevable par l'exercice de la pensée, mais pour mettre ça sur papier sous forme de démonstration rigoureuse, faut il se contenter de retranscrire sous forme de mots la formule logique obtenue a partir des propriétés de l'union et l'intersection, ou faut il faire quelque chose de plus spécifique?
Plus que le simple fait de résoudre cet exercice particulier je cherche a me construire un modèle pour les démonstrations sur des unions/ intersections infinies. Je ne suis que novice en démonstrations sur les ensembles et j'aurais aime savoir quel formalisme adopter. -
Tu peux traduire vers des symboles forall ;exists (ce sera essentiellement un copie collé en remettant ce qui était sous à la verticale en bas à droite)
Puis te demander si ça te va sans justification
Option autre: écrire une simple phrase EN FRANCAIS qui fait que tout le monde verra ça comme évident (ce n'est pas toujours possible mais ici ça va)Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
L'objet décrit ci-dessous semble être la réunion des $A_i$. Et je ne vois pas bien pourquoi cet objet devrait être un élément du truc écrit après. Ai-je raté quelque chose ?
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Pour l'inclusion de gauche à droite, la seule non évidente, une image mentale : on dispose $1, 2, \ldots k$ en cercle, de sorte que $i+1$ suit $i$ pour $1\leq i<k$ et que $1$ suit $k$.
Un élément $x$ de $\bigcup_{i=1}^k A_i$ étant donné, on coche les $i$ tels que $x\in A_i$ (il y en a au moins un de coché). Ou bien tout le monde est coché, ou bien ... -
Pour ce qui est de l'inclusion de droite à gauche, j'appelle par convenance $\bigcup_{i=1}^{k-1}{(A_i-A_{i+1})})$ "A"
, $(A_{k}-A_1)$ "B", $\bigcap_{i=1}^{k}{A_i}$ "C", et pour finir $\bigcup_{i=1}^{k}{A_i}$ "Y"
Pour l'inclusion de $A$ dans $Y$
Je pose $x\in{A}$, alors *j’énonce la propriété associée* alors $x\in{Y}$ donc $A\subset{Y}$
l'inclusion de $B$ dans $Y$ est évidente,
Pour l'inclusion de $C$ dans $Y$,
soit $x\in\bigcap_{i=1}^{k}{A_i}$ alors $x$ sera également inclus dans l'union des $A_{1},...,A_{k}$
(c'est évident) donc $C\subset{Y}$
donc l'union des ensembles $A,B$ et $C$ sera incluse dans $Y$
Pour ce qui est de l'inclusion de gauche à droite
Soit $x$ appartenant a $Y$ alors il appartient soit respectivement a l'union allant de $i$ a $k$ des $A_i$ privé de leurs intersection avec les ensemble suivant $A_{i+1}$(je viens de retrouver $A \cup({A_k}-{A_{k+1}})$ ) ou bien il appartient précisément a l'intersection des ensembles $A_i$ avec les ensembles suivants $A_{i+1}$.
Bon la dernière partie est plus au moins similaire a $C$(tout réside dans le plus au moins bien sur) . Mais c'est ici que ça bloque : la subtilité de la presence de $A_{i+1}$ fait que "intersection des ensembles $A_i$ avec les ensembles suivants $A_{i+1}$" est différent de $\bigcap_{i=1}^{k}{A_i}$ je présume que c'est en expliquant cette différence que l'on va retomber sur $B$(en tenant compte de l'union avec ${A_k}-{A_{k+1}}$),mais la je ne vois pas comment faire car conceptuellement je ne visualise pas bien la subtilité entre "intersection des ensembles $A_i$ avec les ensembles suivants $A_{i+1}$" et $\bigcap_{i=1}^{k}{A_i}$. -
Petite erreur. Je reprends.
Soit $x$ appartenant à $Y$ alors il appartient soit respectivement à l'union allant de $i$ à $k-1$ des $A_i$ privée de leurs intersection avec les ensemble suivant $A_{i+1}$ (je viens de retrouver $A$) ou bien il appartient à l'ensemble $A_k$ (puisque l'union prétendante ne va que jusqu’à $A_{k-1}$ et exclut tout élément de $A_k$) ou encore il appartient précisément à l'intersection des ensembles $A_i$ avec les ensembles suivants $A_{i+1}$.
On est déjà un peu plus avancé. -
Bonjour,
En suivant l'idée de GaBuZoMeu, je définis, pour \(x\) appartenant à la réunion des \(A_i\) une fonction \(f_x\) sur \(\lbrace0,1,\dotsc,k\rbrace\) en posant, si \(i\) est non nul:
\[f_x(i) = \begin{cases} 1 & \text{si } x\in A_i \\ 0 & \text{si } x\notin A_i \end{cases}\]
et je complète par : \(f_x(0)=f_x(k)\).
Si la fonction \(f_x\) est croissante, alors…
Si la fonction \(f_x\) n'est pas croissante, alors… -
Pour ce qui est de $B$ manquant lorsque l'on y pense, le $A_k-A_1$ fini par sembler évident lorsque l'on imagine $Y$ sous forme cyclique pouvant être illustré mentalement comme une successions de diagrammes de Venn s'entrecroisant en cercle comme l'a suggéré GaBuZoMeu.
Cela marche bien car on peut aisément visualiser le second membre par travail de la pensée.
Par contre cela marche moins bien(de pime abord) lorsque les ensembles en questions sont un peut plus abstraits.
Ex :
$$\bigcup_{i=1}^{n}{(A_i\cap{B_i})} = \bigcap_{X\in{ \mathcal{P}(1;n)}}((\bigcup_{i\in{X}}{A_i})\cup(\bigcup_{j\in{C_{I}(X)}}{B_j}))$$
$C_{I}(X)$ se lit ici comme le complémentaire de $X$ dans $I$.
ce n'est pas l’écriture conventionnelle en LaTex mais c'est celle que j'ai choisi faute de mieux.
Pour indication les ensembles $A_1...A_n$ et $B_1...B_n$ sont sous ensembles d'un plus grand ensemble $E$.Et pour ce qui est de la démonstration en elle même il faut la encore procéder par double inclusion.
Outre le fait que je sois incapable de visualiser le membre de droite, je ne vois pas a quoi correspond cet ensemble $I$?
Sinon quelqu'un aurait il une idée a partager pour cette 2e démonstration ?
Merci d'avance. -
Cela correspond à l’intervalle des entiers allant de 1 à n.
$[\![1;n]\!]$ si j’avais utilisé la notation conventionnelle en LaTex. -
On a donc un ensemble fini d'indices $I = [\![1;n]\!]$ et on veut montrer que:
$$\bigcup_{i\in I}{(A_i\cap{B_i})} = \bigcap_{X\in{ \mathcal{P}(I)}}\left(\left(\bigcup_{i\in{X}}{A_i}\right)\bigcup \left(\bigcup_{j\in{C_{I}(X)}}{B_j}\right)\right)$$
Que fait-on ? -
Petite question, utilisez vous la lettre $I$ pour l’indice $[\![1;n]\!]$ de façon conventionnelle ou de façon arbitraire? Sachant que cette lettre est déjà utilisée pour le complémentaire de $X$.
-
Ta formule était incohérente, elle contenait un $I$ et un $ [\![1;n]\!]$ pour désigner la même chose.
pldx a supprimé cette incohérence.
Je vois que tu restes toujours bloqué sur cette question. Une perche pour une inclusion :
Soit $x$ qui n'appartient pas à $\bigcup_{i\in I}{(A_i\cap{B_i})}$. Posons $X=\{i\in I\mid x\in B_i\}$. Est-ce que $x$ appartient à $\left(\bigcup_{i\in{X}}{A_i}\right)\cup \left(\bigcup_{j\in{C_{I}(X)}}{B_j}\right)$ ? -
@macmahon, je n'étais pas revenu sur le fil, je n'ai fait que le faire défiler et je vois que tu es passé à un énoncé plus général. Mais tu consommes énormément d'énergie en écriture de symboles latex. De même en gardant le $x$. Pourquoi ne suis (suivre) -tu pas mon conseil de début de fil? Ca ne changera rien, mais tu passeras moins de temps à écrire du latex et tu y verras plus clair.
Présentement, sauf erreur, tu veux juste prouver que :
$$ \vee_{i\in E} (a_i \wedge b_i) = \wedge_{f\in T} [ \vee_{i\in E} f(i) ]$$
en notant $T$ l'ensemble des fonctions $g$ définies sur $E$ telles que $\forall i\in E: g(i)\in \{a_i;b_i\}$, puis ensuite conclure que si on fait hériter les opérations aux fonctions, on a que pour tout $x :$
$$ [\vee_{i\in E} (a_i \wedge b_i)] (x) = [\wedge_{f\in T} ( \vee_{i\in E} f(i)(x) )] (x)$$
L'inconfort que tu peux ressentir avec $\vee, \wedge$ peut, enfin peut-être, être levé en réécrivant la même chose comme suit:
$$ [\exists i\in E: (a_i \wedge b_i)] \iff [ \forall f\in T: (\exists i\in E : f(i) )]$$
que d'ailleurs les gens préfèrent aussi lire dualement comme suit:
$$ [\forall i\in E: (a_i \vee b_i)] \iff [\exists f\in T: (\forall i\in E : f(i) )]$$
car ils y voient un début de "principe du choix" en ce sens que tu peux le réécrire:
$$ [\forall i\in E: \exists y\in \{a_i; b_i\} ] \iff [ \exists f\in T: (\forall i\in E : f(i) )]$$
où c'est vraiment le sens :
$$ [\forall i\in E: \exists y\in \{a_i; b_i\} : y ] \to [ \exists f\in T: (\forall i\in E : f(i) )]$$
qui les fait kiffer.
Je n'ai rien fait, à part réécrire les mêmes choses, en choisissant des synoymes et "dualer"***. Je n'ai pas court-circuité "le fond à rédiger qu'il te reste", mais je voulais te faire remarquer l'étendue "cabalistique" qui peut venir polluer inutilement ta réflexion. Après, je ne sais pas lequel des deux ingrédients te posent le plus de problèmes: comprendre les réécritures que je viens de faire ou en ce qui les concerne elles, les trouver évidentes, mais ne pas parvenir à prouver:
$$ [\forall i\in E: \exists y\in \{a_i; b_i\} : y ] \to [ \exists f\in T: (\forall i\in E : f(i) )]$$
*** et remplacer $r\vee s$ par $[\exists x\in \{r;s\}: x]$Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
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