analyse-synthèse, double inclusion, équation

Pour prolonger un peu la réponse de Dom, je pense que le terme "analyse-synthèse" est purement pédagogique au sens où il a l'air d'apparaître dans les preuves où une des inclusions est "facile" à l'aide de la première; et qu'en fait on ne connait pas à l'avance l'égalité qu'on cherche à prouver : on ne connait qu'un des côtés, dont on cherche à donner une "caractérisation des éléments". En gros la "différence" est que pour une simple double-inclusion on a $A$ et $B$,on prouve $A\subset B$ puis $B\subset A$; alors que lors d'une analyse-synthèse on a $A$, on bidouille avec ce qu'on sait, et on obtient un $B$ tel que $A\subset B$. Et là en général $B\subset A$ est "facile" à prouver.

Dans le cas d'une équation, si on n'a pas l'habitude, on ne sait pas que c'est $\{\frac{1}{3}\}$ qu'on cherche, donc on fait une "analyse", qui nous donne une inclusion $\{sols\} \subset \{\frac{1}{3}\}$. À partir de là on montre l'inclusion réciproque : c'est la synthèse.

Enfin j'ai l'impression

Bonjour ,

D'accord avec tout ce qui précède.
J'ajoute que lorsque l'on résout une équation par équivalence on effectue simultanément l'analyse et la synthèse parce que la méthode de résolution est déjà bien établie.
Voici ce que j'écrivais tres récemment à une de mes petites filles qui n'a pas fait beaucoup de géométrie jusqu'en terminale.
J'espère ne pas lui avoir dit trop de bétises :

"La méthode d’ Analyse- Synthèse

Il ne s’agit pas de type de raisonnement mais d’une méthode de recherche pour trouver la solution d’un problème (dans tous les domaines).
Lorsque l’on donne directement la solution d’un problème, l’analyse l’a précédée, même si l’on n’en a pas toujours conscience. La solution nous étant apparue évidente, on ne rédige alors que la synthèse dans la réponse.
A contrario, lorsque la solution d’un problème plus difficile semble sortir du chapeau d’un magicien (mathématicien, en particulier), c’est que l’analyse du problème manque !!

En mathématique elle s’impose en général pour tous les problèmes où la question se ramène à
« Montrer qu’il existe un … » ou encore « Construire un… » (en particulier en géométrie, ce que l’on ne fait plus et c’est bien dommage car cela aiderait à comprendre la méthode)

-- Dans l’analyse on suppose que l’objet que l’on veut créer existe (est construit) et on recherche des propriétés de cet objet. Lorsque l’on croit avoir trouvé assez de propriétés nécessairement vérifiée par cet objet pour bien le créer ( le construire), on aborde la synthèse. ( si cette synthèse échoue, c’est que l’analyse est insuffisante et on doit rechercher d’autres propriétés nécessairement vérifiées par l’objet à créer.
(dans l’analyse on se place, en quel que sorte, à la sortie d’un labyrinthe pour en trouver l’entrée)

--Dans la synthèse, on vérifie que, les propriétés trouvées dans l’analyse, suffisent à créer (construire) l’objet , à partir des hypothèses dont on dispose.
(c'est-à-dire que l’on peut depuis l’entrée du labyrinthe, trouver la sortie)

La synthèse peut amener à une discussion selon plusieurs cas.

Remarque :
Cette méthode peut s’appliquer dans toutes les situations, mais son intérêt est de pouvoir aider à trouver des solutions à des problèmes difficiles.
Dans certains cas, on pourrait ne pas rédiger l’analyse, la synthèse suffirait pour établir une preuve (démontrer un résultat), mais présenter l’analyse qui correspond à une recherche délicate montre que l’on a compris le problème posé, la synthèse sera aussi rédigée pour s’en assurer.

On applique cette méthode dans tous les domaines scientifiques qui nécessitent une création.
En particulier en informatique , où l’on commence par se demander (analyser) ce que l’on attend du programme et comment le faire , pour vérifier ensuite (synthèse) en l’exécutant que l’on obtient ce que l’on souhaite
C’est lessence même de toute démarche scientifique .Il n'y a peut être que les créations artistiques qui échappent à cette méthode , et encore , je n'en suis même pas sûr .... "


Cordialement