Questions très simples sur l'axiome du choix.
Bonjour
J'ai besoin d'une précision: dans le lien ci-dessous, wikipedia, on a la définition de l'axiome du choix. Quel est la différence entre $X$ et $\bigcup X\ $?
Lien Axiome du choix
Merci.
J'ai besoin d'une précision: dans le lien ci-dessous, wikipedia, on a la définition de l'axiome du choix. Quel est la différence entre $X$ et $\bigcup X\ $?
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Réponses
Par exemple, $\bigcup \{\{1,2\},\{2,3\}\} = \{1,2,3\}$.
Plus sérieusement, il est difficile de voir pourquoi tu poses cette question si tu n'expliques pas plus où se situe ton problème de compréhension. Je vais essayer de deviner où est ton problème et te répondre comme suit : $X$ est un ensemble contenant des éléments, disons $x$ par exemple. Il est parfaitement possible qu'il existe $z\in x$ tel que $z\notin X$ (si par exemple $x=\{1\}, X=\{x\}$, alors $1\in x, 1\notin X$). Un tel $z$ appartiendra donc à $\bigcup X$, mais pas à $X$. Réciproquement, il est parfaitement possible que notre $x$ n'appartienne à aucun élément de $X$, c'est le cas dans l'exemple que j'ai donné avant. Dans un tel cas, $x\in X$ mais $x\notin \bigcup X$.
Ainsi les deux ensembles $X$ et $\bigcup X$ sont a priori différents (même si dans certains cas ils peuvent coïncider; ces derniers cas sont les exceptions), car ils ne contiennent en général pas les mêmes éléments.
Union(X):= {s | il existe u dans X : s dans u}
Par exemple Union({ensemble vide}) = ensemble vide.
Par exemple peut-on dire que $A=\bigcup_{\{x\}\subset A}\{x\}=\bigcup_{x\in A}x $
Ne le prends pas mal, mais c'est plutôt l'inverse : tu confonds deux trucs qui n'ont rien à voir. Essaie de faire l'exercice de Christophe : Ca ne devrait pas te prendre trop de temps, et ça devrait t'être profitable.
Du coup quand l'expression $\cup A$ apparaît pour la première fois en théorie des ensembles, les étudiants peuvent être perturbés.
Donc si $A=\{1,2,3\}$, $\mathcal{P}(A)=\{\emptyset, \{1\},...A\}$ et donc $\bigcup \mathcal{A}=\{1,2,3\}$. non?
Est-ce qu'on peut alors définir un ENSEMBLE à partir d'UN ET UN SEUL élément qu'il contient ?
SI oui, cet élément peut-il être ''semblable'' aux autres ?
Merci.
Je savais que j'aurais du mal à exprimer ce qui trotte dans ma tète lié à l'axiome du choix et au paradoxe (théorème ?) de Russel. Mais laisse tomber, je vais y réfléchir encore.