Les preuves

merci à Chri ... !

Euh, pldx1, je crois que tu t'es trompé et que tu voulais dire la même chose que ce que tu as dit mais en remplaçant tous les $A$ par $non A$ et tous les $non A$ par $A$ :-D

Pour info, je n'ai pas ouvert UN SEUL LIVRE DE LOGIQUE de ma vie

Nul ne peut se prévaloir de sa propre turpitude.

@Dom: Si tu veux une source en français, par exemple le livre de Pierre Ageron: "Logique, ensembles, catégories". Je cite une partie d'un paragraphe intitulé "Vrais et faux raisonnements par l'absurde":
"Au sujet du raisonnement par l'absurde, on prendra garde à une confusion fréquente. On dit souvent, mais c'est à tort, qu'on raisonne par l'absurde quand, pour démontrer non P, on montre que P conduit à une contradiction. Il ne s'agit pas en réalité d'un raisonnement par l'absurde (...) Ainsi la démonstration bien connue de l'irrationalité de $\sqrt{2}$, souvent malencontreusement présentée aux étudiants comme prototype de démonstration par l'absurde, n'en est pas une;(...)"

Bonsoir,

@Dom : Ce que Alesha "omet" de signaler, c'est le titre complet de l'ouvrage (je mets en gras) :

Logiques, ensembles, catégories : le point de vue constructif
Auteur :Pierre AGERON
Éditeur : ELLIPSES
Collection : Mathématiques 2ème cycle
Année : 06/2000

"Constructif" signifie que l'ouvrage adopte un point de vue résolument intuitionniste sur la logique, les ensembles et les catégories. Bien que sûrement intéressant par ailleurs, il est donc probablement disposé à refaire le même abus ("monopolisation" du point de vue intuitionniste) sur la nature des démonstrations de non P (irrationalité de $\sqrt{2}$, etc.) - erreur que l'on a signalée maintes fois sur le forum.

Nota bene : d'ailleurs, dans le passage cité par Alesha, je ne vois pas non plus de définition du RPA. De toute manière, si certains livres (ce n'est pas le cas de tous) ne prennent pas la peine de le définir, c'est certainement parce que la définition universelle du RPA est intuitive et ultra-connue (même dans les travaux de pure recherche doctorale, pour des raisons évidentes d'économie, il n'est pas exigé de citer les sources de définitions extrêmement classiques) : "RPA = démontrer une proposition en supposant sa négation et arriver à une absurdité". La définition (ou jargon) "spécialiste" est plutôt : "RPA = tiers-exclu" : c'est celle là qu'il faudrait prendre soin de préciser systématiquement car arbitraire et minoritaire.

Tout ce que j'ai dit jusque là (voir fil "Raisonnement par l'absurde") peut finalement se résumer en quelques mots :

En cherchant à prouver non P (par exemple "$\sqrt{2}$ non rationnel") par "l'absurde", tout le monde utilise très exactement le raisonnement suivant :

(P ou non P) => [(P => faux) => non P]

C'est donc un vrai RPA, au sens "traditionnel" ou "expert" (utilisation du tiers-exclu "P ou non P"). Il consiste à démontrer (P => faux) => non P par le tiers-exclu, et non pas à l'admettre comme "définition", alors qu'il s'agit d'un théorème - c'est l'erreur que je dénonce.

Sur ce point précis, l'avis de tous les participants m'intéresse. Merci d'avance.

+1 j’ai l’impression ltav que t’as pas forcément la définition de phrase que je connais par exemple.
Dans le « paradigme » que je connais (de très loin lol) $A\to F$ (F=Faux) c’est vraiment non(A). Du coup ce qu’implique le tiers exclu dans ce que tu dis est un théorème intuitionniste « trivial ».
Du coup t’as Raison c’est vrai que $ TE\to P$ (P est la phrase A implique faux implique non(A)) mais n’importe quoi l’implique (au moins si on accepte K: $A\to (B\to A)$ (si je dis pas de bêtise) )et de ce que je comprends l’idee d’appeler quelque chose RPA est de dire que cet axiome marque bien le coup entre intuitionniste et classique. Si t’es d’accord avec ça (je dis bien si évidemment) alors appeler ta phrase RPA est un peu bizarre vu que c’est un théorème intuitionniste. Après peut-être que tu dis que intuitionniste ou non t’as utilisé TE dans ce théorème peu importe qu’il soit vrai sans le TE donc on devrait l’appeler RPA mais du coup je pense que tout devrait s’appeler potentiellement RPA parce que je peux toujours dire $TE\to TE$ donc même en logique linéaire on a un RPA pourquoi pas mais je suis pas sûr que ça rende bien « l’esprit » d’avoir introduit le RPA initialement.

Édit: pour être sûr d’être compris: est-ce que t’es d’accord que $A\to F\to n(A)$ (priorité à gauche n=non, F=faux) est un théorème « intuitionniste » ? (Peut être prouvé qu’avec les axiomes intuitionnistes) si non est-ce que c’est parce que tu considères que non(A) n’est pas $A\to F$? si oui quelle définition a non(A) ?

Est-ce que tu penses que le mot RPA devrait être réservé à un axiome « uniquement de logique classique » ? (Par exemple ce que réalise « T » que j’ai mentionné au-dessus). Si non est-ce que pour toi ce qui contient la phrase TE devrait s’appeler RPA ? Si oui tu es donc d’accord avec le fait que beaucoup de théorèmes plus faibles même que les axiomes spé intuitionnistes sont des RPA ?

J'avais l'impression d'avoir répondu à Ltav ce matin. J'ai rêvé? (Si le post a disparu suite à modération, ça ne me gêne pas, je demande juste par curiosité). Peut-être a-t-il posté des choses similaires dans l'autre fil aussi et ai-je répondu dans l'autre?

La phrase (P=>faux)=>(nonP) EST la phrase (P=>faux)=>(P=>faux) (sauf pour ceux qui n'acceptent pas que nonP est une ABREVIATION de (P=>Faux), mais c'est une toute autre affaire que le sujet du fil car l'équivalence :

$$ (A\to Tout) \iff (non(A)) $$

ne cesse d'être un théorème que si on descend jusqu'à la logique linéaire (autrement dit, on peut aller jusqu'à la logique affine et même un peu plus bas) et c'est un euphémisme de dire que ces logiques faibles soient maitrisées par les divers interlocuteurs (à part un ou deux).

De mon téléphone : @dom: non(P) est intuitivement la plus grande phrase possible Q tel que "P+Q" permet de tout avoir. Le "+" est aussi exprès "intuitif". Dans un premier temps d'ailleurs cela entraine que pour quasiment toute phrase X , (non X) = Tout (**). Mais après on se spécialise on avance à tâtons on quitte cette intuition primitive.

** pense à l'infini et à X comme un nombre banal. Ou encore pense à l'implication comme "ensemble des applications de .. dans .. et Tout comme l'ensemble vide. Etc.