Question algèbres de Boole

Soit $\frak F$ (resp $\frak G$)l'ensemble de toutes les parties $X$ de $\aleph_1$ telles que $X$ est fini (resp $\aleph_1 \backslash X$ est fini). Soit $\mathfrak A=\mathfrak F \cup \mathfrak G$. Alors $\emptyset \in \frak A$, pour tous $P,Q\in \mathfrak A$, $P \cup Q, P \cap Q \in \mathfrak A$ et pour tout $R \in \mathfrak A, \aleph_1 \backslash R \in \mathfrak A$. $\mathfrak A$ est donc une algèbre de Boole. Soit $D$ une partie infinie dénombrable de $\aleph_1$ et $:=\mathfrak = \{X \in \mathfrak F \mid X \subseteq D\}$. Alors $\mathfrak D$ ne possède pas de borne supérieure dans $\mathfrak A$ ( les éléments de $\mathfrak A$ majorant $\mathfrak D$ sont exactement ceux contenant $D$; si $Y$ est un tel élément, $Y \notin \mathfrak F$ donc $Y \in \mathfrak G$ et par suite $card (Y)= \aleph_1$. Il existe donc $a \in Y \backslash D$ et $Y \backslash \{a\}$ majore encore $\mathfrak D$ et ppartient à $\mathfrak A$.) De plus comme $\mathfrak F$ et $\mathfrak G$ sont trivialement en bijection et $\mathfrak F$ est en bijection avec $\aleph_1$, $card \mathfrak A=\aleph_1$.