Équipotence d'un ens. infini et de son carré

Une preuve classique consiste à le faire pour les ordinaux infinis par récurrence, puis d'en déduire le résultat général à l'aide du corollaire du théorème de Zermelo qui dit que tout ensemble est équipotent à un ordinal

@Thomas_75
Bien sûr que Bourbaki démontre ce résultat dans le livre I, Théorie des ensembles, chapitre III, § 6. Quant à savoir si ça dépend de l'axiome du choix, je ne saurais le dire, je n'ai pas assez étudié la question. Mais puisque ça t'intéresse, tu peux le voir par toi-même.
Bonne journée.
Fr. Ch.

De mon téléphone:

1) prouver quoique soit E que E ==E^2 est un exercice académique assez long même si ultra rabâche.

2) L'implication "pour tout x infini :x ==x^2" => axiome du choix est ce qu'on peut appeler un énoncé "trivial peu connu". Il se prouve en 2 lignes mais UNE inspiration y habite. J'attends donc que tu insistes pour te la livrer car tu auras peut être envie de chercher seul.

D'un pc, c'est plus pratique :-D . La maitrise de la notion d'ordinal est admise. Je te donne*** une preuve de (1):=[AC=>P] et maintiens mon initiative de te laisser "redemander"** pour la réciproque, où : P:=[Tout ensemble infini équipotent à son carré]


Soit $a$ le plus petit ordinal infini tel qu'il n'existe pas ... (à toi de compléter). C'est forcément un cardinal infini. On construit une injection de $a^2$ dans $a$ comme suit: soit $b$ le plus petit ordinal $<a$ tel que $b^2$ contient un couple $(c,d)$ dont on n'a pas encore choisi l'image par notre future injection $f$. Forcément il existe $e$ tel que $b=e+1$ et $e\in \{c;d\}$. Le fait de ne pas pouvoir envoyer le couple $(c,d)$ sur un élément de $a$ atteste que la restriction de $f$ à $e^2$ est une surjection de $e^2$ sur $a$. Or comme il y a une surjection de $e$ sur $e^2$, il y en a une de $a$ sur $a^2$ ce qui est contradictoire.

*** pour t'éviter d'aller te "perdre" dans divers livres où généralement d'autres buts sont recherchés (preuve la plus explicite et constructive possible, etc) et où les preuves de cet énoncé sont souvent délayées à outrance et peu lisibles (sacrifice pour qu'elles soient complètement correcte, ce qui n'est pas le cas de celle que je te donne qui ne serait pas acceptée par un logiciel vérifieur). Celle que je te donne de 5-6 lignes est, si ça t'intéresse à formaliser proprement, mais, tu n'y es pas obligé, ça ne te servira strictement à rien dans la recherche d'une preuve de P=>AC, où $P$ a une polarité négative.

** Néanmoins je te la mets en blanc mais retiens-toi de cliquer!!!
[small]L'existence d'une injection de $A^2+2A\times B+B^2$ dans $(A+B)$ te donne une injection de $A\times B$ sur $A + B$, donc ou bien il y a une injection de $A$ dans $B$, ou bien il y en une de $B$ dans $A$. En prenant $B$ un ordinal tel qu'il n'y a pas d'injection de $B$ dans $A$, tu injectes $A$ dans un ordinal[/small]