Négation Logique

Je ne suis pas spécialiste.
Cependant, ta propriété $Q$ n'est pas claire. Et elle dépend de $P$. Il faut certainement l'écrire autrement.

Il me semble que ton questionnement ne porte pas réellement sur la négation.

L'assertion $P$ : $2=2$ est vraie. L'assertion $Q$ : $4=4$ est vraie. L'assertion $P \Leftrightarrow Q$ est vraie. Pourtant, les assertions $P$ et $Q$ sont distinctes.

Plutôt que t'interroger sur la négation, tu aurais pu t'interroger sur l'égalité. 3+2 C'EST 5, ce n'est pas "la suite de caractères [3 space + space 2].

De même "un carré a 7 côtés" EST faux (au sens EST EGAL A FAUX). Enfin dans le monde courant disons. De même que $(4\neq 7)$ [size=x-large]=[/size] VRAI.

Mais tu as raison de t'interroger car contrairement à "3+2", face aux phrases les matheux n'ont jamais vraiment conventionné si on regarde sa valeur ou la suite de caractères. Ca se voit d'ailleurs quand ils utilisent le mot "équivalent" à la place de "=", qui est en fait le signe qui devrait être utilisé.

@dom: il voulait juste dire que "un carré a n côtés" équivaut à "n=4" (et ce pour tout n, mais ce n'était pas son problème).

les propositions qui sont vraies en même temps et fausses en même temps représentent une seule et même proposition dans la théorie logique mathématique,

Non, absolument pas ! Où as-tu vu jouer ça ?

Évite par ailleurs de prendre des exemples comme "les passants portent presque tous une doudoune" quand tu veux parler de logique mathématique. Les formules d'un langage logique formalisé s'écrivent selon une syntaxe bien précise. La négation d'une formule $P$, c'est $\neg P$, point barre. D'autres formules peuvent être logiquement équivalentes à $\neg P$, mais ne sont pas $\neg P$.

@PierreCap: je soutiens GBZM sur tout sauf un léger point à la fin de son post, qui est un éternel désaccord entre nous (mais compris).

Si tu veux t'éviter des problèmes, évite de confondre deux choses:

1/ La phrase (en tant suite de caractères ou objet syntaxique un peu structuré)
2/ Sa valeur

Dans le secondaire***, toute expression (pas seulement les phrases) désigne sa valeur et on est platonicien, à savoir que la valeur d'une phrase est dans l'ensemble à deux éléments $ValVer:=\{vrai; faux\}$ et on a définit certaines opérations qui sont les suivantes (je les définis concisément, en renommant vrai en 0 et faux en 1), valables pour toutes valeurs dans $\{vrai; faux\}$ :

a/ $(a$ ou $b):= ab$
b/ $non(a):=(1-a)$
c/ $(a\to b):=b-ab = (1-a)b = (non(a) \times b ) = (non(a)$ ou $b)$
d/ $(a$ et $b):= [non( (non(a)$ ou non(b))$ )]$
e/ $(a\iff b):= ((a\to b)$ et $(b\to a))$

Quand on repasse à la syntaxe, c'est à dire dans un contexte de discussion où on s'intéresse de près à la forme des phrases, les définitions qui précèdent "donnent automatiquement" des invitations à inventer des noms ("non"; "et";"ou"; etc), qui sont (hélas?) les mêmes que ceux des opérations allant de $ValVer^{2}$ dans $ValVer$ [small](enfin $non$ va de $$ dans $ValVer$ dans $ValVer$)[/small]

C'est pourquoi GBZM a raison de te répondre que la négation de P est nonP. C'est valable aussi bien dans 1/ que dans 2/. Par contre j'ajoute à ce qu'il t'a répondu que même sans être "logiquement équivalentes", deux phrases peuvent avoir des valeurs égales dans certains contextes (en maths on dit "modèle**" pas "contextes") et pas dans d'autres

[small]** un modèle est une fonction qui associe à chaque phrase (au sens syntaxique, ie suites de caractères pour faire simple) un élément de $ValVer$.

*** par exemple. Ce qui conduit à de graves contre-sens d'ailleurs sous l'effet du pédagogisme, mais c'est une autre affaire. Le fait que cette tradition platonicienne**** ne soit pas "absolument" continuée***** ensuite dans le supérieur et la recherche (comme l'illustre GBZM par son profil de réponses à ces sujets-là, entre autre) explique pourquoi l'habitude a été prise d'utiliser le signe $\iff$ au lieu du signe $=$, qu'on utilise partout ailleurs, sauf avec les phrases. Si on va jusqu'au bout de la présentation platonicienne ***** les définitions sont même beaucoup plus simples:

$(a$ et $b):= ((a,b) = (vrai,vrai) = (0,0))$
$(a\to b) := (a\leq b)$
$(a$ ou $b):= ab$
$non(a) := (a=faux) = (a=1)$
$(a\iff b):=(a=b)$

**** je simplifie et invente (disons que le secondaire ne peut se légitimer par rapport à ses pratiques actuelles qu'ainsi, sinon ça deviendrait usine à gaz, mais c'est un autre sujet).

***** il y a une raison de fond: c'est que ce platonisme suppose une "main invisible" (qui est "le grand modèle mathématique" qui dit pour chaque phrase si elle est vraie ou fausse, et dont l'hypothèse en filigrane pose de nombreux soucis scientifiques, puisqu'on ne le connait, sans compter les soucis un peu "religieux", enfin de "religion suggérée")[/small]

PS: inutile de me "crier" :-D dessus les non platoniciens (que je salue affectueusement) pour critiquer cette présentation, je ne répondrai pas, j'ai juste fait de mon mieux pour offrir de quoi "se stabiliser" à Pierre, je ne prétends nullement à l'unicité et la perfection de ce message.

De mon téléphone : oui bien sur et j'aurais dû le préciser un modèle est une fonction envoyant phrases sur valeurs de vérité mais pas n'importe comment :-D