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Rappel de points célèbres

Envoyé par christophe c 
Re: Rappel de points célèbres
12 mars 2018, 18:49
avatar
Non, c'est très bien, Dom : une fonction $f:X\to Y$ est le triplet $(X,Y,\Gamma)$, avec $\Gamma$ le graphe de $f$, qui vérifie certaines propriétés. (définition possible)

Je pense que ce que les gens veulent dire c'est que $\Gamma$, le graphe, peut être vu comme une relation $\mathcal{R}$ entre les ensemble $X$ et $Y$. C'est à cette relation de vérifier certaines propriétés ("relation fonctionnelle" entre $X$ et $Y$).

Sous cette définition, il est redondant de préciser $X$ et $Y$, car la relation $\mathcal{R}$ contient
déjà cette information.

Les deux définitions, par le triplet ou par la relation, sont bien entendu exactement équivalentes.
Re: Rappel de points célèbres
12 mars 2018, 19:08
Eh bien non, si un point de $X$ n'a pas d'image ou un point de $Y$ n'a pas d'antécédent, il n'apparaît pas dans le graphe.

La définition d'une fonction par son graphe vide de sens la notion de surjection (étonnant, non ?) et en analyse fonctionnelle elle ne permet pas de définir un opérateur comme une fonction (parce que pour un opérateur, l'espace de départ est crucial).
Re: Rappel de points célèbres
12 mars 2018, 19:18
Citation
Math Coss
La définition d'une fonction par son graphe vide de sens la notion de surjection (étonnant, non ?)
On dit qu'une surjection $E$ dans $F$ est une fonction contenue dans $E \times F$ telle que pour tout $x\in E$, il existe $y\in F$ tel que $(x,y) \in f$ et pour tout $b \in F$ il existe un $a\in E$ tel que $(a,b)\in f$.

Citation
Math Coss
et en analyse fonctionnelle elle ne permet pas de définir un opérateur comme une fonction (parce que pour un opérateur, l'espace de départ est crucial).
Si $E,F$ sont des espaces vectoriels réels, on dit qu'une fonction est un opérateur si $f$ est contenue dans $E\times F$, si l'ensemble des $x$ tels qu'il existe $y\in F$ tel que $(x,y)\in f$ est un sous-espace vectoriel de $E$ et si la restriction de $f$ à cet espace est une application linéaire (plus bien sûr certaines conditions reliant $f$ à des structures topologiques ou métriques additionnelles mises sur $E$ et $F$).

******


Math Coss, je te mets au défi de trouver un seul énoncé mathématique qui ne contient pas d'occurence des mots "fonction", "application", "opérateur", etc, est qui prouvable avec l'une des deux définitions de fonction proposées ci-dessus (RDO avec triplets ou bien la mienne) et qui n'est pas prouvable avec l'autre.



Modifié 1 fois. Dernière modification le 12/03/2018 19:25 par Foys.
Re: Rappel de points célèbres
12 mars 2018, 19:22
La "différence" entre les deux c'est pas juste que la définition triplet permet d'éviter de dire "de domaine blabla" et permet de dire "surjective" au lieu de "est une surjection dans blabla" ?
Re: Rappel de points célèbres
12 mars 2018, 19:24
Citation
Georges Abitbol
La "différence" entre les deux c'est pas juste que la définition triplet permet d'éviter de dire "de domaine blabla" et permet de dire "surjective" au lieu de "est une surjection dans blabla" ?
En faisant ça on ne fait pas vraiment d'économie d'encre, le conncept de surjection n'étant essentiellement utilisé que dans les situations où on a déja mentionné ensembles de départ et d'arrivée.
Re: Rappel de points célèbres
12 mars 2018, 19:25
Pour la différence entre la bourbakiste et l'officielle ensembliste elle bien moins importante qu'elle n'y parait. Seules la catégorie ENS fait un usage réel de l'embarquement départ arrivée. Mais en TDE par exemple il serait littéralement impossible de travailler avec le surplus boubakiste pour OA bonne raison que toute la substance réside dans le fait que les domaines varient plus vite sue leur ombre et ne peuvent être donnes avant.

L'inconvénient soulevé par toi mathcoss est une affaire anecdotique de grammaire. On ne définit pas surjection mais "surjective de .. dans.." (et heureusement parce que sinon il faudrait mettre 0 aux 3/4 des traités qui se noient avec emptyset). D'un PC je mettrai un lien vers un post où j'avais déjà listé tout ça.

L'un des lui bien réel inconvénients de la boubakiste est aussi de parler "d'inclusion" etc à la place de parties de = induisant ainsi une très forte lourdeur catégorique à la place de trivialités.

Autre danger: le sens donné à f(x) quand x n'est pas dans dom(f). L'expérience m'a montre qu'il y a un lien entre l'enlisement , même de grands pros , et l'adhésion à la journaliste, car utilisation d'un "mensonge illusoire" qui voudrait ne pas donner de sens à cette expression (alors qu'on DOIT ABSOLUMENT ALLER vers un monde scientifique où TOUTE SUITE DE CARACTERES doit avoir une valeur mathématique honnête (fuite ou bottage en touche ---> danger, lourdeurs)

Comme je vois d'ici dom répondre que je vie s la d'énoncer une idéologie j'y réponds d'avance: peut être mais très terre à terre: le vendeur de logiciel OBEIT DEJA à cette exigence!!! Il n'est pas concevable pour lui de menacer ses clients ts en disant "attentif n n'appuyez pas sur cette combinaison de boutons"

De mon téléphone.

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Rappel de points célèbres
12 mars 2018, 19:28
avatar
Euh je ne comprends pas ce que tu dis Math Coss.

Ce que tu reproches à la définition, c'est qu'elle impose que l'espace de départ soit l'espace de définition ?

Tu veux dire que certaines fonctions pourraient très bien avoir des "valeurs interdites", c'est ça ?

Je ne comprends pas ce que tu veux dire par "vide de sens la notion de surjection" non plus...

Il me semble que la définition que je donne est la définition courante. [fr.wikipedia.org]

Après, chacun a le droit d'utiliser ses conventions perso, mais c'est alors au minoritaire de reconnaître le "fait conventionnel".

Quant aux opérateurs en analyse fonctionnelle, à mon avis, ce ne sont pas des fonctions, en effet (mais je n'y vois pas un drame, puisque rares sont les élèves de seconde à s'y intéresser)
Re: Rappel de points célèbres
12 mars 2018, 19:35
Citation
christophe c
Comme je vois d'ici dom répondre que je vie s la d'énoncer une idéologie j'y réponds d'avance: peut être mais très terre à terre: le vendeur de logiciel OBEIT DEJA à cette exigence!!! Il n'est pas concevable pour lui de menacer ses clients ts en disant "attentif n n'appuyez pas sur cette combinaison de boutons"
Il n'y a guère que des systèmes avec typage assez stricts qui réalisent ce caprice (il me semblait que tu ne les appéciais pas beaucoup). Les ordis plantent, ça arrive.

Le problème c'est plutôt qu'en logique, un symbole de fonction est "défini" sur la totalité d'une sorte. (si $f$ est de sorte $A\to B$ et $x$ de sorte $A$ alors $f(x)$ est de sorte $B$ et si on est au premier ordre-ie s'il existe un type unique- alors un symbole de fonction est défini partout.) Mais ça ne veut pas dire qu'on attribue audit objet une valeur honnête non plus. Ca veut juste dire que $\frac{1}{0}$ est un terme du langage.

Si $\phi:\N^2 \to \N$ est une "machine de Turing universelle" bah on ne sait même pas qui est $\phi(p,q)$ en toute généralité même s'il existe syntaxiquement (on n'est parfois incapable de lui donner une valeur).



Modifié 1 fois. Dernière modification le 12/03/2018 19:37 par Foys.
gb
Re: Rappel de points célèbres
12 mars 2018, 19:35
avatar
Soit \(A\) un ensemble et \(B\) un sous-ensemble de \(A\).

Si une application n'est rien d'autre que son graphe, comment fait-on la différence entre l'injection canonique \(i\) de \(B\) dans \(A\) et l'application \(\mathrm{i}d_B\), élément neutre du groupe \(\mathfrak{S}(B)\) ?
Re: Rappel de points célèbres
12 mars 2018, 19:37
avatar
Non, mais "son graphe", comme relation entre $X$ et $Y$.

Ne faisons pas non plus dire ce que personne ne dit.
Re: Rappel de points célèbres
12 mars 2018, 19:39
De mon téléphone : je "milite" (rooo les grands mots) pour que a(b)ait une sens quelque soit a,b. Boon je reconnais qu'aucune des définitions ne donnent ça mais j'en ai signalé une qui j'espère sera un jour l'officielle (dans 30ans disons grinning smiley ).

C'était juste rien ne précision. Cela dit je resignale que celle que j'appelle officielle actuellement est la plus légère Y COMPRIS chez les pire victimes des pedagos: ce n'est pas rien du coup.

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Rappel de points célèbres
12 mars 2018, 19:41
Arrrrg. je vois s'afficher des "matherror"sur mon téléphone. Bon je ne pourrai répondre que d'un PC. Pardon pour le délai.

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Rappel de points célèbres
12 mars 2018, 19:41
avatar
Question pour christophe c.

Tu connais la monade Maybe, comme en Haskell ?

Qu'est ce que tu en penses ?
gb
Re: Rappel de points célèbres
12 mars 2018, 19:43
avatar
Mézalor, qu'est-ce qu'une relation ?
Re: Rappel de points célèbres
12 mars 2018, 19:43
@gb: on ne peut pas... Mais l'un va être utilisé dans un contexte, l'autre dans l'autre.

Citation
bibi
trouver un seul énoncé mathématique qui ne contient pas d'occurence des mots "fonction", "application", "opérateur", etc, est qui prouvable avec l'une des deux définitions de fonction proposées ci-dessus (RDO avec triplets ou bien la mienne) et qui n'est pas prouvable avec l'autre.
Le défi tient toujours.
"$id_B $ n'est pas l'inclusion de $B$ dans $A$" ne marche pas car parle de fonction (idem pour les énoncés qui parlent de $\mathfrak S _B$ qui est par définition un ensemble de fonctions particulier. Le sens d'énoncés tels que $A^B \cap A^C = \emptyset$ va bien sûr dépendre des choix d'implémentation. A vrai dire on n'entend pas beaucoup parler de $A^B \cap A^C$ dans les maths que j'ai vues).

EDIT en fait si $B\neq C$, $A^B\cap A^C=\emptyset$ que l'on soit chez RDO ou dans ce que j'ai dit.
Par contre chez RDO, $B^{\emptyset}\cap C ^{\emptyset}=\emptyset$ alors que chez votre serviteur,
$B^{\emptyset}\cap C ^ {\emptyset}=\{\emptyset\}$



Modifié 2 fois. Dernière modification le 12/03/2018 19:52 par Foys.
Re: Rappel de points célèbres
12 mars 2018, 19:45
avatar
Bah, oui, gb, je suis d'accord avec là où tu veux en venir :

une relation $\mathcal{R}$, c'est un triplet $(X,Y,\Gamma)$, avec $\Gamma \subset X \times Y$.
gb
Re: Rappel de points célèbres
12 mars 2018, 19:57
avatar
Citation
Foys
on ne peut pas... Mais l'un va être utilisé dans un contexte, l'autre dans l'autre.

En théorie de Galois, on ne fait donc pas la différence entre l'application identique du corps \(\Q\), automorphisme du dit corps, et l'injection canonique de \(\Q\) dans un corps de nombres, injection qui définit une extension du corps \(\Q\).
Il est bien évident que l'on est dans deux contextes différents…
Re: Rappel de points célèbres
12 mars 2018, 20:33
Ce qui compte en théorie de Galois n'est pas de savoir si étant données deux extensions normales $K,L$ de $\Q$ , les applications $id_K, id_L$ (EDIT: pas $id_L$ mais $x \in K \mapsto x \in L$)sont égales ou non, mais d'étudier les structures de groupe induites par la composition sur $Aut_{\Q}(L), Aut_{\Q}(L)$. On obtient les mêmes résultats avec les deux approches.



Modifié 1 fois. Dernière modification le 12/03/2018 20:37 par Foys.
Re: Rappel de points célèbres
12 mars 2018, 20:40
En fait on traite de structures qui se distinguent par des considérations de catégories (et où les flèches qui sont utilisées ne sont plus des applications dans tous les cas).
Re: Rappel de points célèbres
12 mars 2018, 21:01
@Foys : C'est reparti... J'appellerai fonction-au-sens-strict les fonctions d'après la définition minimale (ce que les autres appellent le graphe, quoi).

Cette réponse confirme bien que la donnée d'une fonction-au-sens-strict n'est pas suffisante pour donner un sens à la notion de surjection – toute fonction-au-sens-strict est par nature surjective. La notion utile de surjectivité demande donc une fonction-au-sens-strict et un ensemble qui contient son image. [On perd la symétrie avec la notion d'injection qui, elle, ne demande qu'une fonction-au-sens-strict. Enfin, après tout, sans axiome du choix, les énoncés « il existe une injection de $E$ dans $F$ » et « il existe une surjection de $F$ sur $E$ » ne sont pas équivalents.]

De même pour un opérateur : la donnée de la fonction-au-sens-strict ne permet pas de dire si c'est un opérateur puisqu'il faut en plus se donner au moins un espace dont le domaine de la fonction-au-sens-strict est un sous-espace (dense).

En adjoignant un ensemble qui contient le domaine et un ensemble qui contient l'image dans toute phrase qui parle de fonction-au-sens-strict, alors évidemment, on va exprimer et démontrer les mêmes choses. C'est visiblement une divergence de vocabulaire plutôt que de notion.

Tu ne comprends pas l'hostilité contre la définition minimale. Je ne comprends pas pourquoi on choisirait une définition qui ne suffit pas à exprimer des choses très communes (surjection, opérateur ou le exemples de gb). Je veux bien croire que parfois, ajouter l'ensemble de départ et l'ensemble d'arrivée puisse poser problème dans certaines situations (tu en donnes un exemple) mais ce n'est pas toujours le cas, au contraire.

Au passage, toutes les structures intéressantes sont composites (un groupe, un corps, un corps valué, une variété...), pourquoi est-ce que ce serait un problème qu'une fonction en soit ? De même, un mot peut souvent être utilisé sous plusieurs acceptions (un triangle, selon les jours, c'est un triplet de points, leur enveloppe convexe, un ensemble de trois segments, la réunion de trois segments...), pourquoi faudrait-il une définition indépendante du contexte ?
Re: Rappel de points célèbres
12 mars 2018, 21:13
avatar
Ok, je comprends ce que tu voulais dire, Math Coss.

Bon, du coup, plutôt que de souligner les désagréments soulevés par la définition de Foys, je pose une question :

"quels sont (seraient) les avantages de la définition par le graphe seul, sans l'espace d'arrivée ?"
Re: Rappel de points célèbres
12 mars 2018, 22:24
C'est bien une différence de vocabulaire Math Coss mais j'avais déjà dit que de toute façon:
on parle de surjection de (...) dans (...) au lieu de surjection (l'énoncé formel définissant la surjectivité contient fondamentalement 3 paramètres et non un seul) tout court quant aux opérateurs on dit que c'est un couple avec un certain sous-espace vectoriel dense et une fonction. C'est-à-dire qu'on a un énoncé formel $O_p$à $10$ paramètres $E,+_E,\times_E,N_E,F,+_F,\times_F, N_F,H,u$ tels que $Op(E,+_E,\times_E,N_E,F,+_F,\times_F, N_F,H,u)$ signifie "$u$ est une fonction ("minimale"), contenue dans $E\times F$, $(E,+_E,\times_E,N_E)$ et $(F,+_F,\times_F,N_F)$ sont des espaces vectoriels normés sur $\R$ ", $Dom (u)$ et $H$ sont des sous-espaces vectoriels de $(E,+_E,\times_E)$, la restriction de $u$ à $dom(u)$ est linéaire(*),continue de $Dom (u)$ (muni de la topologie induite par $(E,+_E,\times_E,N_E)$) dans $(F,+_F,\times_F,N_F)$ et $Dom(u)$ est une partie dense de $H$."


Si on avait un prouveur qui permettait vraiment de travailler dans ZFC (j'ai juste COQ chez moi qui est très franchement différent) tu verrais que passer par les fonctions "minimales" est le plus rapide.
Il s'agit juste de traiter comme notion simple ce qui est simple et comme notion composite ce qui est composite.

(*) ce qu'on peut écrire comme "pour tous $x,y ,z,x',y',z'$, les relations $(x,y,z)\in +_E$, $(x,x')\in u$, $(y,y')$ in $u$ et $(z,z')\in u$ entraînent que $(x',y',z')\in +_F$ et pour tous $s,t,s',t',\lambda$, les relations $(\lambda,s,t)\in \times_E $, $(s',s)\in u,$ et $ (t',t) \in u$ entraînent que $(\lambda,s',t') \in \times_F$". Il n'y a pas besoin d'ensemble qui contient les objets pour "donner du sens" ou que sais-je même si ça peu faciliter la lecture.
NB: $(a,b,c)$ est une abréviation de $((a,b),c)$.



Modifié 5 fois. Dernière modification le 12/03/2018 22:29 par Foys.
gb
Re: Rappel de points célèbres
13 mars 2018, 00:02
avatar
Citation
Foys
En fait on traite de structures qui se distinguent par des considérations de catégories.

Moi je traite de bêtes applications entre ensembles, pas des structures ni des catégories.
Quand je me pose une question, comme « l'application machin est-elle surjective ?, injective ? est-elle un homéomorphisme ? etc. » j'ai besoin que me soient livré un triplet \((E,F,G)\) et pas seulement un graphe \(G\).
Re: Rappel de points célèbres
13 mars 2018, 09:33
@gb
En fait tu demandes qu'on puisse dire "une fonction est une surjection" (au lieu de "surjection de ceci dans cela"), mais pour la notion d'homéomorphisme on va avoir un problème qui est de toute façon qu'un RDO-triplet $(E,F,G)$ ne peut pas être intrinsèquement un homéomorphisme: il faudra mentionner des structures supplémentaires et dire que $(E,F,G)$ est un homéomorphisme des espaces topologiques $(E,s)$, $(F,t)$. L'application qui à $x\in \R$ fait correspondre $x-1$ si $x$ est entier et $x$ sinon est un homéomorphisme de $(\R,t)$ dans $(\R,t)$ lorsque $t=\{\R,\emptyset\}$.

Pourquoi les choix de formalisation seraient-ils tenus de faire en sorte que la notion de surjectivité soit intrinsèque à une fonction quand ils ne le font pas (comment le pourraient-ils) pour des choses telles que les notions d'homéomorphisme, de morphisme d'anneaux, d'application linéaire entre espaces vectoriels, de difféomorphisme entre variétés ?

Dans les rédactions pratiques tout est implicite (car implicitement compréhensible et on ne souhaite pas que le préambule du moindre exercice fasse une page) mais pas intrinsèque pour autant.



Modifié 1 fois. Dernière modification le 13/03/2018 09:39 par Foys.
Re: Rappel de points célèbres
13 mars 2018, 11:04
D'accord avec Foys. Si on suit votre désir d'incorporer ensembles de départ et d'arrivée à la définition de fonction, alors un morphisme d'anneaux est un triplet $(A,B,f)$ où $A$ et $B$ sont des anneaux et où $f$ vérifie ce qu'il faut ; et un morphisme de groupes est un triplet $(A,B,f)$ où $A$ et $B$ sont des groupes et où $f$ vérifie ce qu'il faut. Et donc, un morphisme d'anneaux n'est pas forcément (quasiment jamais à mon avis) un morphisme de groupes !
Re: Rappel de points célèbres
13 mars 2018, 11:13
« Et donc un morphisme d’anneau est quasiment jamais un morphisme de groupe »
Bah même avec cette définition, A et B restent les ensembles de base sans la structure, c’est pas ((A,+,.),(B,+’,.’),graphe)
Donc si graphe a la propriété d’être morphique sur A ou B en tant qu’anneaux Ou en tant que groupes ça se verra pas sur le triplet, A et B ils bougent pas c’est ce qu’on rajoute au uplet (A,+,.) qui change si jamais A « peut l’accepter » ?

Édit: à moins que ton A et B ce soient les triplets (A,+,.) et (B,+´,.’) pour moi mais c’est plus la définition donnée au-dessus parce que graphe n’est plus une partie de AxB alors.



Modifié 1 fois. Dernière modification le 13/03/2018 11:17 par grothenbiete.
Re: Rappel de points célèbres
13 mars 2018, 11:27
Ben un anneau c'est un quintuplet $(X,+,0,\cdot,1)$ alors qu'un groupe c'est un triplet $(Y,*,e)$, et il me semble que les triplets sont rarement des quintuplets (mais je suis pas sûr de moi). Ce que je dis, c'est que si on fait le reproche "si une fonction n'est pas un triplet, alors ça ne veut rien dire qu'elle est surjective tout court", comment définit-on "morphisme d'anneaux" ? Pour moi, la même logique imposerait d'incorporer à la définition les lois de composition des deux anneaux, sans quoi cela n'a pas de sens (ou autant que de dire qu'une fonction-pas-triplet est surjective tout court). Et dans ce cas, un morphisme d'anneaux n'est pas, en général, un morphisme de groupes.
Mais bon, je suis convaincu que tout ceci n'a aucune importance, et personnellement je préfère la définition comme ensemble de couples tel que blabla.
Re: Rappel de points célèbres
13 mars 2018, 11:36
Oui je me suis dit que tu voulais dire ça à l’edit mais du coup c’est plus la définition de bourbaki comme ça.
Re: Rappel de points célèbres
13 mars 2018, 14:50
Citation

Pour moi, la même logique imposerait d'incorporer à la définition les lois de composition des deux anneaux, sans quoi cela n'a pas de sens (ou autant que de dire qu'une fonction-pas-triplet est surjective tout court). Et dans ce cas, un morphisme d'anneaux n'est pas, en général, un morphisme de groupes.
Qu'est-ce que tu racontes, G.A. ? Un morphisme d'anneaux, c'est une application de l'ensemble sous-jacent au premier anneau dans l'ensemble sous-jacent au deuxième anneau qui vérifie bla bla. Et un morphisme d'anneaux, c'est bien un morphisme des groupes sous-jacents (qui peut le plus peut le moins). Ta comparaison avec la surjectivité des fonctions est complètement non-pertinente.
Re: Rappel de points célèbres
13 mars 2018, 15:07
Non mais je voulais juste dire :
1) Je définis, comme tout le monde, un anneau comme un quintuplet tel que blabla, et un groupe comme un triplet blabla.
2) Je définis un GA-morphisme de groupes comme un triplet $(G,H,f)$ où $G$ est un groupe (et donc un triplet blabla), $H$ est un groupe, et $f$ est une application de la première coordonnée de $G$ vers la première coordonnée de $H$ qui vérifie blabla.
3) Je définis un GA-morphisme d'anneaux comme un triplet $(A,B,f)$ où $A$ et $B$ sont des anneaux (donc des quintuplets blabla) et $f$ est une application de la première coordonnée de $A$ vers la première coordonnée de $B$.
4) Un GA-morphisme d'anneaux n'est jamais un GA-morphisme de groupes (à moins qu'un anneau quintuplet soit un groupe triplet).
5) (et c'est la seule de ces phrases qu'on peut juger non pertinente et/ou hors-sujet) Je pense que les arguments qui peuvent pousser une personne à définir une fonction comme un triplet peuvent être appliqués à cette situation, et devraient pousser cette personne à définir un morphisme de groupes comme un GA-morphisme de groupes.

Si 5) ne vous plaît pas, tant pis, je ne le défendrai pas plus !
Re: Rappel de points célèbres
13 mars 2018, 15:12
N'importe quoi, vraiment ! L'ensemble des morphismes d'anneaux est un sous-ensemble de l'ensemble des applications de l'ensemble sous-jacent au premier anneau dans l'ensemble sous-jacent au deuxième anneau. Et il est contenu dans l'ensemble des morphismes des groupes sous-jacents.
Re: Rappel de points célèbres
13 mars 2018, 15:18
Ben oui, je suis d'accord.
Re: Rappel de points célèbres
13 mars 2018, 15:23
Re: Rappel de points célèbres
13 mars 2018, 15:34
Un morphisme d'anneaux est un morphisme de groupes, qui est une application. Par contre, un GA-morphisme d'anneaux n'est pas en général, un GA-morphisme de groupes. Evidemment, cela tient au fait que j'ai défini "n'importe comment" les GA-morphismes, mais à mon avis, dans la même logique que les personnes qui veulent que les fonctions soient des triplets.
Désolé pour le flood...
Re: Rappel de points célèbres
13 mars 2018, 16:17
Tout anneau $A$ a un groupe sous-jacent $U(A)$; ainsi, si $(A, B, f)$ est un morphisme d'anneaux (ce qui implique implicitement que $A$ et $B$ sont des anneaux), alors $(U(A), U(B), f)$ est bien un morphisme de groupes. Une application est un morphisme d'ensembles, c'est donc un triplet $(E, F, f)$ et tout morphisme de groupes $(G, G', f)$ peut être vu comme une application $(V(G), V(G'), f)$, où $V(G)$ est l'ensemble sous-jacent au groupe $G$ ($f$ est le graphe de l'application $(V(G), V(G'), f)$, lequel graphe est une relation fonctionnelle de $V(G)$ vers $V(G')$).
La phrase "$f$ est un morphisme d'un groupe $G$ dans un groupe $G$'" signifie la même chose que "$(G, G', f)$ est un morphisme de groupes". La phrase "$f$ est un morphisme de groupes" sans référer implicitement ou explicitement à des groupes $G$ et $G'$ n'a aucun sens : être un morphisme de groupes n'est pas quelque chose qui dépend uniquement du graphe du morphisme (si $(G, G', f)$ est un morphisme de groupes, il n'y a aucune raison pour que $(H, H', f)$ soit un morphisme de groupes). Quand on dit qu'un morphisme d'anneaux est un morphisme de groupes, on se réfère bien sûr aux groupes sous-jacents; c'est la même chose quand on passe des groupes aux applications.
Ainsi, par exemple, si on se demande si, pour certaines structures, la propriété d'être un épimorphisme implique celle d'être une surjection, c'est parce qu'on a une notion (souvent évidente) d'ensemble sous-jacent pour cette structure.
Re: Rappel de points célèbres
13 mars 2018, 19:19
Pardon pour le délai, j'étais vraiment overbooké. J'ai vaguement suivi de mon téléphone, mais c'est tout. J'essaie de ne pas oublier de gens:

1/ @marsup: je ne connais ni Haskell, ni "maybe" (joli nom grinning smiley ). Mais Haskell je devine (je connais de nom et on m'a dit que c'est le caml américain, donc pas de souci, si tu veux me parler de Haskell, je peux suivre). Par contre "maybe", jamais entendu parler.

2/ Pour en revenir à def1 VS def2, de toute façon, il me semble utile de rappeler que ce qui est archivé par l'académie des sciences, ce sont des énoncés formels (donc plus que précis), écrits avec $\forall ; \to; \in$ et rien d'autre. La notion de définition n'est pas mathématique (autre que pratique). . Dit comme ça, c'est évidemment largement outrancier, mais chacun comprend, j'imagine, ce que je dis: les définitions sont des abréviations, ce qui compte c'est le théorème prouvé (et pas de savoir si on a mis "le mot en toute lettre ou son abréviation" dans l'énoncé). L'usage est généralement d'essayer de bien sourcer les choses, c'est tout

3/ Il y a eu un point qui m'a gêné (il y a 15-20H sur le fil, je ne parle pas des trucs récents), c'est de voir qu'il semble ignoré que j'ai déjà tout traité dans un fil unique il me semble, il faudra que je le cherche, et en particulier, j'ai détaillé cette hésitation que ressentent certains (plus particulièrement les partisans des "fonctions qui vont à la piscine tout habillées) entre adjectif et nom commun. Ils semblent préférer les "noms communs" comme si "c'était mieux". Ils semblent préférer "un carré" à "être carré". C'est un sujet que j'avais détaillé dans le passé: en maths (en vraies maths), les noms communs ça n'existent pas. On peut les créer par confort poétique, mais il n'y a pas de notion de nom commun. Il n'y a que des adjectifs (adjectif = verbe = ensemble). Or ils semblent évoquer un besoin qui est par nature fautif en maths (celui de voir des noms communs).

Du coup, on a vu une sorte d'hésitation à accepter l'expression articulée suivante:

<< $f$ est surjective de $E$ sur $F$>> abrège $<<codom(f) \supset F$ et $f$ est une fonction et $dom(f)\subset E>>$

Parce qu'ils auraient préféré pouvoir avoir une expression du genre $<<f$ est une surjection$>>$ (nom commun: un chien, un chat, un bar, une surjection etc)

Ce besoin de plaquer le français (ou autre langue de com) est respectable, mais attention, il n'est pas matheusement fondé. La "vraie" structure mathématique est essentiellement l'écriture polonaise (par exemple, on a <<Surjection(f,E,F)>> qui va abréger quelque chose, et l'adjectif "Surjection" sera créé) et le confort "accessoire" est de mettre des petits mot doux, du genre "de .. sur". Du coup, la seule chose qui reste du débat est dans l'arité:

Préfère-t-on $<<Surjection(f)$ à $Surjective(f,A,B)$?

Ma position est peu discrète, j'ai maintes fois dit que je préfère largement le deuxième. Après je n'ai pas vraiment la patience de reprendre tous les points du débat Bourbaki vs TDE car comme je l'ai dit en début de fil, à la fin on n'a que des théorèmes, les abréviations... on s'en f...

Cela dit, l'expérience m'a montré que bien des spécialités (mais à pour leur défense, elles mènent une campagne politique pour leur reconnaissance depuis une cinquantaine d'années, donc, avec les dégâts collatéraux excusables qui vont avec) font énormément de délayage inutile en ayant fait ce que je considère comme cet extrême mauvais choix bourbakiste de considérer les fonctions tout habillés et de sortir des histoires "d'inclusion" avec de la salive plein la bouche.

Mais je n'ai pas la patience de faire partager ce soir cette expérience. Je mets juste en garde sincèrement. Il y a une bien réelle campagne tacite en faveurs de tout un tas de choses, leurs défenseurs sont sincères dans leurs croyances (typage, emphase d'une expression comme "théorie homotopique des types", etc), j'ai même vu un jeune qui a débarqué sur le forum, les yeux plein d'espoirs et croyant ces trucs profond ouvrir un fil dans la rubrique. Comme dans toute campagne "politique", même si le produit est de qualité, les espoirs qu'on fait naitre sont disproportionnés par rapport à la réalité du sujet.

Comme je l'ai souvent répété, c'est en ne typant pas (tous les objets ont même et unique type et s'applique les uns aux autres) qu'on accède à autre chose que le diophantien et la classification profonde de la force des théories. Typer apporte une sécurité que justement on ne peut pas se permettre d'espérer si on veut "monter". Maintenant ça n'enlève pas leur intérêt en algèbre et au premier ordre, bien entendu, mais je suis loin d'être convaincu que les "clients appâtés" cherchaient, en entrant dans la boutique, ou en appelant le numéro vert, ce que les promoteurs des catégories et du typage veulent vraiment partager... Et ça me parait un malentendu conséquent, même si évidemment, il y a pire dans le vie (euphémisme).

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Dom
Re: Rappel de points célèbres
13 mars 2018, 19:43
Tu vois, c'est bien ce que je disais : tu dis qu'il faut être formel et tu dénonces le pédagogisme, qui plus est quand il est verbeux. Mais tu sembles ne faire que ça.

Ce n'est pas une attaque même si cela y ressemble.

Bon, j'arrive sur le problème des noms communs. Franchement, tu n'es pas sérieux là, tu fais exprès, non ?

Un rectangle, bon sang. N'a-t-on pas le droit de définir ce nom commun ?
Ou alors, je suis à côté de la plaque...
Re: Rappel de points célèbres
13 mars 2018, 19:49
On a le droit mais c'est fondamentalement un adjectif "être un rectangle " = "être rectangle".

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Rappel de points célèbres
13 mars 2018, 19:52
avatar
Le "problème" de Haskell, c'est qu'il n'y a que des fonctions pures (c'est toute l'idée), et donc du coup, initialement, ils ne savaient pas gérer notamment les entrées/sorties (parce qu'elles dépendent de l'environnement, donc pas fonctionnelles !)

Un beau matin, un gars s'est réveillé et a dit : "Eurêka, il faut prendre des monades".

Alors, en gros, une monade est un type particulier de foncteur avec d'avantage de structure.
(dans la catégorie $Hask$, les objets sont les types, et les flèches sont les fonctions)

L'un des sous-produits des monades, et la monade la plus simple est "Maybe"
qui associe à un type $A$ le type $Maybe(A)$.
Ce type est susceptible de stocker 2 familles de trucs :
soit $Just(a)$, c'est-à-dire une vraie valeur $a \in A$,
soit $Nothing$, c'est-à-dire, dans ton langage : UNDEFINED.

Et donc avec ça, la fonctorialité, c'est que toute fonction Haskell $f : A\to B$ peut-être utilisée avec des $Maybe$ : ça donne $Maybe(f):Maybe(A) \to Maybe(B)$.

Et aussi, si tu as une fonction qui est déjà en $Maybe(A) \to Maybe(B)$, tu peux la composer avec d'autres fonctions "honnètes", ou bien des fonctions $Maybe$, ou n'importe quelle combinaison.
(grâce à la propriété des monades, je ne développe pas, on ne se retrouve pas avec de $Maybe(Maybe(\dots))$, mais juste des $Maybe(\dots)$ simples)

Par conséquent, ce truc des $Maybe$ permet d'avoir un excellent environnement fonctionnel, très pur, au sein duquel, on peut sans mal introduire des "cochonneries" de fonctions avec valeurs interdites, et la gestion de la propagation des valeurs interdites se fait correctement et nativement au sein de la monade $Maybe$, sans avoir à corrompre le formalisme général avec cette thématique de gestion d'erreurs, qui est un peu exogène.

Ce que je lis sous ta plume, avec l'autorisation automatique de valeurs interdites, me fait un peu penser à ce que j'ai compris de la situation d'Haskell avant qu'ils aient trouvé cette technique géniale des monades.

En gros, ma question est la suivante :

"Est-ce très utile de bricoler pour construire à un très bas niveau (ensembliste, dans ton exemple) telle ou telle propriété, sachant, qu'à un niveau formellement plus élevé (ici, la monade $Maybe$), on peut avoir une gestion délocalisée, autonome de la problématique qui t'intéresse ?"



Modifié 1 fois. Dernière modification le 13/03/2018 20:02 par marsup.
Re: Rappel de points célèbres
13 mars 2018, 19:52
@Alesha : Bien entendu. Tu es d'accord pour dire qu'il existe des anneaux $A$ pour lesquels $A$ et $U(A)$ sont des ensembles différents ?
Je sais bien qu'un morphisme d'anneaux est un morphisme de groupes entre les groupes sous-jacents, ai-je d'ailleurs affirmé le contraire ?
Citation
Alesha
être un morphisme de groupes n'est pas quelque chose qui dépend uniquement du graphe du morphisme
Tout comme "être une surjection" n'est pas quelque chose qui dépend uniquement du graphe de la fonction.

Rassurez-moi, on est bien en train de discuter de l'esthétique de deux différentes manières d'implémenter des choses dans un langage ensembliste ?
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