Petite énigme sympa
Je partage une énigme. Peut-être on peut poser la solution en blanc pour éviter de spoiler la solution.
On considère une grenouille qui vit sur un point $n_0 \in \Bbb Z$. Vous êtes un chasseur , en essayant de la toucher vous effrayez la grenouille qui choisit un sens (gauche ou droite, disons $\varepsilon \in \{1,-1\}$) et un nombre (disons $m \in \Bbb N$.) Elle se saute de $\varepsilon m$ cases et se retrouve donc sur $n_0 + \varepsilon m$. Au deuxième tir que vous allez faire, la grenouille va maintenant sauter dans la même direction, avec la même amplitude et se retrouver sur $n_0 + 2 \varepsilon m$, et ainsi de suite.
Comme vous êtes aveugle vous ignorez tout de $n_0, \varepsilon$ et $m$. Malgré tout pouvez vous trouver une stratégie tel que pour tout $n_0, \varepsilon,m$, il existe $N = N(n_0, \varepsilon,m)$ tel qu'après $N$ essais vous soyez sûr de toucher la grenouille ?
On considère une grenouille qui vit sur un point $n_0 \in \Bbb Z$. Vous êtes un chasseur , en essayant de la toucher vous effrayez la grenouille qui choisit un sens (gauche ou droite, disons $\varepsilon \in \{1,-1\}$) et un nombre (disons $m \in \Bbb N$.) Elle se saute de $\varepsilon m$ cases et se retrouve donc sur $n_0 + \varepsilon m$. Au deuxième tir que vous allez faire, la grenouille va maintenant sauter dans la même direction, avec la même amplitude et se retrouver sur $n_0 + 2 \varepsilon m$, et ainsi de suite.
Comme vous êtes aveugle vous ignorez tout de $n_0, \varepsilon$ et $m$. Malgré tout pouvez vous trouver une stratégie tel que pour tout $n_0, \varepsilon,m$, il existe $N = N(n_0, \varepsilon,m)$ tel qu'après $N$ essais vous soyez sûr de toucher la grenouille ?
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Réponses
La trajectoire de la grenouille est de la forme $(b,b+a,b+2a,\ldots)$, $b,a \in \Z$, $a\neq0$.
L'ensemble des trajectoires possibles est donc dénombrable.
J'énumère celles-ci de la façon qui me convient le mieux, chacune étant donc encodée par un entier $n\in\N^*$.
Au $n$ième tir, je vise la position qu'a la grenouille au moment $n$ si sa trajectoire est encodée par l'entier $n$.
La grenouille est touchée par mon tir au plus tard lors du tir numéroté par l'entier $n$ qui encode sa trajectoire effective.
Bravo à Marsup.
C'est une jolie variante du théorème du point fixe...
Ce n'est pas si simple ! (:P)