Petite énigme sympa
Je partage une énigme. Peut-être on peut poser la solution en blanc pour éviter de spoiler la solution.
On considère une grenouille qui vit sur un point $n_0 \in \Bbb Z$. Vous êtes un chasseur , en essayant de la toucher vous effrayez la grenouille qui choisit un sens (gauche ou droite, disons $\varepsilon \in \{1,-1\}$) et un nombre (disons $m \in \Bbb N$.) Elle se saute de $\varepsilon m$ cases et se retrouve donc sur $n_0 + \varepsilon m$. Au deuxième tir que vous allez faire, la grenouille va maintenant sauter dans la même direction, avec la même amplitude et se retrouver sur $n_0 + 2 \varepsilon m$, et ainsi de suite.
Comme vous êtes aveugle vous ignorez tout de $n_0, \varepsilon$ et $m$. Malgré tout pouvez vous trouver une stratégie tel que pour tout $n_0, \varepsilon,m$, il existe $N = N(n_0, \varepsilon,m)$ tel qu'après $N$ essais vous soyez sûr de toucher la grenouille ?
On considère une grenouille qui vit sur un point $n_0 \in \Bbb Z$. Vous êtes un chasseur , en essayant de la toucher vous effrayez la grenouille qui choisit un sens (gauche ou droite, disons $\varepsilon \in \{1,-1\}$) et un nombre (disons $m \in \Bbb N$.) Elle se saute de $\varepsilon m$ cases et se retrouve donc sur $n_0 + \varepsilon m$. Au deuxième tir que vous allez faire, la grenouille va maintenant sauter dans la même direction, avec la même amplitude et se retrouver sur $n_0 + 2 \varepsilon m$, et ainsi de suite.
Comme vous êtes aveugle vous ignorez tout de $n_0, \varepsilon$ et $m$. Malgré tout pouvez vous trouver une stratégie tel que pour tout $n_0, \varepsilon,m$, il existe $N = N(n_0, \varepsilon,m)$ tel qu'après $N$ essais vous soyez sûr de toucher la grenouille ?
Réponses
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Je m'y risque, mais que fait la SPA ?
La trajectoire de la grenouille est de la forme $(b,b+a,b+2a,\ldots)$, $b,a \in \Z$, $a\neq0$.
L'ensemble des trajectoires possibles est donc dénombrable.
J'énumère celles-ci de la façon qui me convient le mieux, chacune étant donc encodée par un entier $n\in\N^*$.
Au $n$ième tir, je vise la position qu'a la grenouille au moment $n$ si sa trajectoire est encodée par l'entier $n$.
La grenouille est touchée par mon tir au plus tard lors du tir numéroté par l'entier $n$ qui encode sa trajectoire effective.
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Je n'ai rien compris au problème au premier abord, et il a fallu que je lise la solution de marsup pour comprendre : à chaque tour, le chasseur choisit un entier $a$ et tire en $a$. Soit la grenouille est en $a$ et dans ce cas elle est touchée ; soit elle n'y est pas et dans ce cas elle saute selon les règles décrites.
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Merci pour la description plus précise des règles Georges, et bravo à marsup pour la solution ! (Je passe un coup de fil à la SPA tout de suite ... :-D )
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Bizarrement, moi j'avais compris la règle du jeu du 1er coup... mais par contre je ne suis pas sûr que j'aurais trouvé la solution en moins d'un million d'années.
Bravo à Marsup.
C'est une jolie variante du théorème du point fixe... -
Je comprends plutôt ça comme un argument diagonal à la Cantor, vous non ?
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Moi aussi. Joli démo marsup (tu)
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Il faut quand même avoir une grande cartouchière (infinie dénombrable), un fusil à très longue portée et une visée parfaite (sans les yeux, puisqu'on est aveugle !)
Ce n'est pas si simple ! (:P)
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Bonjour!
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