Exercice sur les applications.
Bonjour.
Je suis confronté a l'exercice suivant :
merci de cliquer ici
1. Je pose l'application $M : F^E \rightarrow{F^{E^\prime}}$ avec $M(f): f\circ u$ soit $g \in F^E$ si $f\circ u=g\circ u$ alors $g=f$ donc $M$ est injective. L'application composée de deux applications injectives est par définition une application injective donc $W$ est injective.
2.Pour ce qui est de prouver la surjectivité de $W$ avec $u$ injective et $v$ surjective, c'est déjà plus ambiguë, habituellement lorsque l'on doit prouver la surjectivité d'une application on cherche un contre exemple démontrant la non surjectivité de l'application et dans le cas ou il n'y en aurait aucun, on réécrit la définition de la surjectivité en toute lettre en remplaçant le il existe par prenons un a titre de démonstration.
Dans ce cas précis faut il se contenter de cela? Cela parait presque trop évidant puisque l'on sait déjà au vu de la formulation de l’énoncé que $W$ sera surjective. On peut d'ailleurs trouver des contres exemples démontrant la non-injectivité de $W$ mais cela est sans doute inutile puisqu'une application non-injective n'est pas nécessairement surjective.
PS : J'ai remplacé le phi grec par un W afin d’éviter tout message d’erreur.
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1. Je pose l'application $M : F^E \rightarrow{F^{E^\prime}}$ avec $M(f): f\circ u$ soit $g \in F^E$ si $f\circ u=g\circ u$ alors $g=f$ donc $M$ est injective. L'application composée de deux applications injectives est par définition une application injective donc $W$ est injective.
2.Pour ce qui est de prouver la surjectivité de $W$ avec $u$ injective et $v$ surjective, c'est déjà plus ambiguë, habituellement lorsque l'on doit prouver la surjectivité d'une application on cherche un contre exemple démontrant la non surjectivité de l'application et dans le cas ou il n'y en aurait aucun, on réécrit la définition de la surjectivité en toute lettre en remplaçant le il existe par prenons un a titre de démonstration.
Dans ce cas précis faut il se contenter de cela? Cela parait presque trop évidant puisque l'on sait déjà au vu de la formulation de l’énoncé que $W$ sera surjective. On peut d'ailleurs trouver des contres exemples démontrant la non-injectivité de $W$ mais cela est sans doute inutile puisqu'une application non-injective n'est pas nécessairement surjective.
PS : J'ai remplacé le phi grec par un W afin d’éviter tout message d’erreur.
Réponses
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1. Ça ne va pas.
D'abord, qu'est-ce qui justifie l'affirmation que $g=f$ ? Comment se fait-il que tu n'aies pas utilisé l'hypothèse sur $u$ ?
Ensuite, quel rapport entre $M$ et $\Phi=W$ ? Certes $\Phi$ est la composée de $M$ par une application mais cette application n'est pas $v$ bien sûr. Ce n'est pas possible puisque $M$ va de $F^E$ vers $F^{E'}$ et que $v$ va de $F$ dans $F'$ : on ne peut pas les composer.
Suggestion : prendre deux applications $f,g:E\to F$ telles que $v\circ f\circ u=v\circ g\circ u$ et démontrer que pour tout $x\in E$, on a $f(x)=g(x)$. On fixe donc $x\in E$. Pour pouvoir utiliser l'hypothèse $v\circ f\circ u=v\circ g\circ u$, il faut écrire $x$ sous la forme $u(x')$ pour $x'\in E'$ convenable. Est-ce possible ? Que faire après ?
2. C'est une méthode étrange pour prouver la surjectivité. Je ne vois pas de quoi on pourrait se contenter : ce n'est pas parce qu'on n'a pas trouvé d'obstacle qu'il n'y en a pas.
Suggestion : on suppose $u$ injective et $v$ surjective. On fixe une fonction $h:E'\to F'$. On cherche $f:E\to F$ telle que $h=v\circ f\circ u$. Soit $x\in E$. Si $x$ s'écrit sous la forme $x=u(x')$ pour $x'\in E'$, on a une contrainte sur $f(x)$ puisque $v\circ f(x)=v\circ f\circ u(x')=h(x')$. Que peut-on dire de $x'$ ? (Hypothèse sur $u$...) Peut-on choisir un $f(x)$ qui va bien ? (Hypothèse sur $v$...) Que faire si $x$ n'est pas de la forme $u(x')$ ? (Pas de contrainte, grande liberté.) -
1.Soit $f$ et $g$ deux applications de $E$ dans $F$, on pose $v\circ f\circ u=v\circ g\circ u$. Soit $x\in E$, sachant que $u$ est surjective il existe par définition un $x'\in E'$ tel que $u(x')=x$, donc $v(f(u(x')))=v(g(u(x')))$ mais puisque $v$ est injective alors par définition $f(u(x')))=g(u(x'))$ ce qui implique que $f(x)=g(x)$ donc $W$ est injective.
Est-ce correct ce coup-ci? -
Oui, pour cette partie c'est OK.
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2. On pose un $x\in{Im(u)}$ il existera donc un $x'$ tel que $u(x')=x$, on fixe $f$ une application de $E$ dans $F$, donc $f(x)=f(u(x'))$, sachant que $v$ est surjective pour tout $y$ de $F'$ il existera un $z\in{F}$ tel que $v(z)=y$, on pose donc un $y=h(x')$ avec $h:E'\to F'$ tel que $v(z)=h(x')$ avec $z=f(x)$, ce qui nous donne $v(f(x))=h(x')$ ce qui revient a écrire que $v(f(u(x')))=h(x')$ donc pour tout $h:E'\to F'$ il existe un $f:E\to F$ tel que $h=v\circ f\circ u$ donc $W$ est surjective.
Il me semble que la démonstration est correcte cependant j'ai comme le pressentiment qu'il est existe une façon plus claire de faire cette démonstration. -
Moi j'ai le sentiment que l'on n'y comprend rien. On fixe un $x'$ puis un $f$ (lien ?) et le $h$ apparaît après. Comment est-ce que l'on pourrait espérer que $f$ soit un antécédent de $h$ si on l'a choisi avant ? Ça ne peut pas aller.
On veut montrer la surjectivité de l'application $W=\Phi$ sous l'hypothèse que $u$ est injective et $v$ surjective. Il faut donc se donner $h$ dans l'ensemble d'arrivée, c'est-à-dire $h:E'\to F'$. Ceci fait, on cherche $f$ tel que $h=v\circ f\circ u$. Cela veut dire que pour tout $x'\in E'$, on veut $h(x')=v(f(u(x')))$. Pour définir $f$, c'est une bonne idée de commencer par les éléments de la forme $f(x')$, c'est-à-dire $u(E')$, que tu notes $\mathrm{im}(u)$. Comment s'y prend-on ? Après, ce n'est pas fini : que fait-on des éléments qui ne sont pas dans $u(E')$ ? -
2. On pose un $x\in{Im(u)}$ et un $h:E'\to F'$, par définition il existe $x'$ tel que $u(x')=x$, sachant que $v$ est surjective pour tout $y$ de $F'$ il existera un $z\in{F}$ tel que $v(z)=y$, on pose donc un $y=h(x')$ on fixe $f$ une application de $E$ dans $F$ telle que $v(z)=h(x')$ avec $z=f(x)$, ce qui nous donne $v(f(x))=h(x')$ ce qui revient a écrire que $v(f(u(x')))=h(x')$ donc pour tout $h:E'\to F'$ il existe un $f:E\to F$ tel que $h=v\circ f\circ u$ donc $W$ est surjective.
En permutant les places de certaines définitions la démonstration semble plus cohérente. -
On progresse carrément. Deux problèmes de rédaction pour commencer.
Ici, comme $h$ et $x'$ ont été définis, $h(x')$ est bien déterminé. Écrire « un » suggère le contraire. On peut dire : « On choisit un $y$ tel que $y^2=1$ » (un parmi deux possibles) mais « on pose $y=h(x')$ » (sans article indéfini).MacMahon a écrit:on pose donc un $y=h(x')$
Euh, ça, ça ne va pas. Il s'agit de définir $f$ par chaque image. Comme $x$ a été fixé, on ne définit pas « $f$ une application » en posant $f(x)=...$ puisque ceci ne définit que l'image d'un point.MacMahon a écrit:on fixe $f$ une application de $E$ dans $F$ telle que...
C'est essentiellement un problème de rédaction. Tu peux dire : on définit $f(x)=z$. [À présent, on « libère » $x$, on oublie qu'on l'a provisoirement fixée.] Ainsi, on a défini une application $f$ de $u(E')$ dans $F$.
Restent deux problèmes, le premier est le plus important.
D'une part, tu fais apparemment deux choix au cours de la construction : tu choisis un antécédent $x'$ de $x$ par $u$ et ensuite, tu choisis un antécédent $z$ de $h(x')$ par $v$, puis tu travailles à partir de là. Il faudrait vérifier que ce que tu fais ne dépend pas trop de tes choix, non ? Le problème est le suivant : la relation $v(f(u(x')))=h(x')$ n'est démontrée que pour le $x'$ que tu as défini plus haut. Mais si au lieu de choisir $x$, puis $x'$ un antécédent de $x$, tu commençais par choisir un élément $x'_1$ dans $E'$, comment ferais-tu ? Tu poserais sans doute $x=u(x'_1)$ mais serais-tu sûr que l'antécédent $x'$ de $x$ par $u$ choisi pour calculer $f(x)$ serait bien $x'_1$ ? Là, il manque un argument.
D'autre part, il n'y a pas de raison de penser que $u$ est surjective. Quelle est l'image d'un point $x$ par $f$ si $x\notin u(E')$ ?
Pour finir, une remarque générale : souvent, pas toujours mais souvent, les hypothèses d'un exercice sont minimales. Il est donc utile de voir si on les a toutes utilisées à la fin de l'exercice. Si oui, tout va bien. Sinon, on a sans doute arnaqué à un moment. -
La réponse est oui puisque $u$ est injective et c'est sans doute ici que tu voulais en venir puisque nulle part dans ma démonstration n'apparait une mention l’hypothèse relative l’injectivité de $u$.
Je reprends :
2. On pose un $x\in{Im(u)}$ et un $h:E'\to F'$, puisque que $u$ est injective il existe un $x'$ unique tel que $u(x')=x$, et sachant que $v$ est surjective pour tout $y$ de $F'$ il existera un $z\in{F}$ tel que $v(z)=y$, on pose donc $y=h(x')$ on fixe $z=f(x)$ avec $f$ une application de $E$ dans $F$, ce qui nous donne $v(f(x))=h(x')$ ce qui revient a écrire que $v(f(u(x')))=h(x')$ donc pour tout $h:E'\to F'$ il existe un $f:E\to F$ tel que $h=v\circ f\circ u$ donc $W$ est surjective.
Par ailleurs pour la deuxième question le problème ne se pose pas puisque j'ai défini $x\in{Im(u)}$ . -
Cette nouvelle rédaction ne lève ni le deuxième problème de rédaction (si on fixe $x$ et qu'on définit $f(x)$, on ne définit pas $f$) ni aucune des deux objections importantes. Je reformule la partie de la construction de $f$ que tu as déjà faite à peu près comme il faut.
On fixe $h:E'\to F'$. On cherche $f:E\to F$ tel que $h=vfu$. On doit donc définir l'image $f(x)$ pour tout $x\in E$. Supposons tout d'abord que $x\in u(E')$. L'élément $x$ admet donc un antécédent $x'$ par $u$ (unique mais à ce stade on s'en fiche un peu). Posons $y=h(x')$, c'est un élément de $F'$ donc il a un antécédent $z$ par $v$ (pas nécessairement unique, on en choisit un). On pose alors $f(x)=z$.
Avec ce procéder, on sait associer un élément $z\in F$ à tout élément $x\in u(E')$. Ceci définit une application $f:u(E')\to F$.
Je reprends mes objections (dans l'ordre inverse, qui est plus naturel).- À ce stade, on n'a pas encore défini une application $f$ sur $E$ entier mais sur $u(E')$ seulement donc on n'a pas un élément $f$ de $F^E$ susceptible d'être un antécédent de $h$ par $\Phi=W$. Il faut pour cela définir $f(x)$ lorsque $x$ est un élément de $E$ qui n'est pas dans $u(E')$. Que fais-tu ?
- À présent que $f$ est construite sur $E$ entier, on doit prouver la propriété voulue ($h=vfu$). Pour cela, on part de $x'\in E$. On n'a plus de $x$ sous la main. Que fais-tu ?
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Je cherche mais ne trouve pas...
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Indications :
- Peu importe ! On peut choisir ce qu'on veut pour $f(x)$ si $x$ n'est pas de la forme $u(x')$ parce que la seule chose qu'on aura à tester, c'est l'égalité $h(x)=v(f(u(x')))$ pour $x'\in E'$. Alors, que fais-tu ?
- On prend $x'\in E'$, on doit montrer que $h(x')=v(f(u(x')))$. Posons $x=u(x')$. Comment est calculé $f(x)$ ?
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Si le cas de figure ou $x$ n'est pas de la forme $u(x)$ n'est pas important, pourquoi alors serait il important de mentionner ce cas de figure dans la démonstration?
Pour la deuxième remarque je serai tenté de définir non-plus $f$ par $z=f(x)$ mais par $f:E\to F$ avec $z=f(u(x'))$.. -
Pour ce genre d'exercice, tu devrais écrire des lignes très courtes et très formelles, numérotées et qui se suivent. Ce n'est que plus tard que tu pourras "relâcher" et ne pas sauter de lignes, etc. Sinon, tu ne t'en sortiras jamais, tu seras éternellement "brouillon". N'oublie pas que tu dois convaincre une "partie adverse", pas juste des gens qui ont envie de te croire (c'est le protocole).Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
-
Pour répondre à la question, pardi ! Ce que l'on veut, c'est construire une application $f$ définie sur $E$. Il faut donc savoir calculer $f(x)$ pour tout $x$ dans $E$ et pas simplement pour $x\in u(E')$.MacMahon a écrit:Si le cas de figure où $x$ n'est pas de la forme $u(x)$ n'est pas important, pourquoi alors serait-il important de mentionner ce cas de figure dans la démonstration ?
Je ne comprends pas « non plus » dans une phrase affirmative.MacMahon a écrit:Pour la deuxième remarque je serais tenté de définir non-plus $f$ par $z=f(x)$ mais par $f:E\to F$ avec $z=f(u(x'))$.
Pour la deuxième remarque, tu n'as plus le choix de définir quoi que ce soit, plus de tentation à avoir, tout a été fixé au-dessus. L'application $f$ est donnée, tu ne dois pas la construire.
Au passage, tu ne comprends apparemment toujours pas pourquoi, quand on a choisi un $x$, le fait de poser $f(x)=\text{je ne sais quoi}$ ne peut pas constituer une définition de $f$. Erreur analogue : on fixe un réel positif, disons $x=4$, et on pose $\sqrt{4}=2$ : cela ne constitue pas une définition de la racine carrée ! C'est un problème auquel je te suggère de réfléchir.
On te donne $x'\in E'$ et tu veux montrer que $h(x)=u(f(v(x'))$. On n'a pas grand-chose d'autre à faire que de nommer les ingrédients et suivre les définitions. On pose donc $x=v(x')$. Par définition, pour calculer $f(x)$ (c'est-à-dire l'image de l'élément $x$ que l'on vient de définir par l'application $f$ qui a été définie trois messages plus haut ; rien à voir avec « définir $f$ » !) (la différence est la même qu'entre calculer $\sqrt{2,\!4}$ et définir la fonction racine carrée : tu vois une différence ?), pour calculer $f(x)$, donc, on doit commencer choisir un antécédent de $x$ par $v$. Ça tombe bien, on en a un sous la main, $x'$, et ça tombe super bien, c'est le seul possible. Puis on calcule $h(x')$, qui est dans $F'$. Puis on choisit un antécédent de $h(x')$ par $u$, que l'on nomme $z$, et on pose $f(x)=z$ (si tu n'as lu que cette dernière phrase, tu pourras peut-être croire que c'est ce que tu avais dit : non, il manque la chaîne de définitions et de choix qui amène à définir $f(x)$ comme le $z$ que l'on vient de choisir ; la relation $z=f(x)$ n'est que l'écume, la trace au « sommet » du raisonnement). Or dire que que $z$ est un antécédent de $h(x')$ par $u$, c'est dire que $u(z)=h(x')$. Par conséquent, comme $z=f(x)$, il vient $u(f(x))=h(x')$ et comme $x=v(x')$, on a finalement : $u(f(v(x')))=h(x')$.
La même chose sans parenthèses ni digressions...
Soit $x'\in E'$ et soit $h(x)=u(f(v(x'))$. On pose $x=v(x')$. Alors $x'$ est l'unique antécédent de $x$ par $v$ donc, par définition de $f$, on sait que $f(x)$ est un antécédent de $h(x')$ par $u$. Par conséquent, $u(f(x))=h(x')$ et finalement : $u(f(v(x')))=h(x')$.
Compris ? Pas compris ? Qu'est-ce qui manque encore ? -
Disons que j'ai a moitié compris. Ce qui me gène avant tout c'est le $h$, quelle est sa nature? Si c'est une application alors dans quel ensemble part elle et dans quelle ensemble arrive elle? J'ai presque l'impression que le $h$ du début c'est pas celui de la fin..
-
2. On pose un $x\in{Im(u)}$ et un $h:E'\to F'$, par définition il existe $x'$ tel que $u(x')=x$, soit $v$ surjective on definit une application $f(x) : E\rightarrow F$ comment ascendante de $h(x')$ par $v$, puisque $f(x)=f(u(x'))$ alors $v(f(u(x')))=h(x')$ donc $W$ est surjective.
C'est mieux comme ça?
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