Question sur cours de logique maths sup.

cyril clavaud · March 2018

Bonjour à tous
J'étudie les maths sur mon temps libre.
Le cours Chapitre I : logique. page7

À la question, écrire avec des quantificateurs la proposition suivante :
$f$ est croissante sur $\mathbb R$ (où $f$ est une fonction de $\mathbb R$ dans $\mathbb R$).

est donnée comme réponse :
$\forall(a,b)\in \mathbb{R}^{2},\ \big( a \leq b \Rightarrow f(a) \leq f(b)\big). $

Je ne comprends pas.
Pourquoi on prend $a$ et $b$ dans $\mathbb R^2$ ?
Merci.

paf · March 2018

Non, $\forall (a,b)\in\mathbb R^2$ est équivalent à $\forall a\in\mathbb R,\;\forall b\in\mathbb R$. C'est le couple $(a,b)$ qui est dans $\mathbb R^2=\mathbb R\times \mathbb R$ donc chacun de ses éléments est dans $\mathbb R$. Si on voulait que $a$ et $b$ soient chacun dans $\mathbb R^2$, on aurait écrit par exemple $(a,b)\in\mathbb R^2\times\mathbb R^2$ ou $(\mathbb R^2)^2$.

cyril clavaud · March 2018

Ok merci.

En ce cas, puis-je logiquement écrire ?

$\forall(a,b)\in \mathbb{R} \Rightarrow a \neq b. $

GaBuZoMeu · March 2018

"Pour tout machin appartenant à bidule, P(machin)" est une abréviation de "Pour tout machin, si machin appartient à bidule alors P(machin)".
Ton écriture est syntaxiquement incorrecte. Que vient faire le symbole d'implication dans ta formule ?
Ceci dit, est-ce que $\mathbb R$ est un ensemble de couples ? Quel sens donnes-tu à $(a,b)\in \mathbb R$ ?

cyril clavaud · March 2018

Désolé messieurs pour mes erreurs.

$\mathbb{R}$ est un ensemble de plusieurs ensembles avec un cardinal différent, on pourrait coupler $\mathbb{Q}^{-}$ et $\mathbb{Q}^{+} $ mais il manquerait les irrationnels et zéro. Donc non, je n'ai pas envie de représenter $\mathbb{R}$ comme un ensemble de couples.
En revanche je peux concevoir de représenter $\mathbb{Q}^{*}$ comme un ensemble de couples. $\mathbb{N}^{*2}=\mathbb{Q}^{*}$, est-ce juste ?

$\forall(a,b)\in \mathbb{R}^{2},\ \big( a \leq b \Rightarrow f(a) \leq f(b)\big).$

Ok j'imagine qu'un couple peut-être un vecteur 2D où chaque composante est dans $\mathbb{R}$, normal donc que j'aille le chercher dans $\mathbb{R}^{2}$.
Je ne vois pas ce qu'apporte la notion couple dans cette implication. D'autant que l'on considère finalement que ses composantes.

gerard0 · March 2018

"Je ne vois pas ce qu'apporte la notion couple dans cette implication" Elle raccourcit l'écriture. Ecris la même chose sans le couple (a,b), tu verras.

Cordialement.

GaBuZoMeu · March 2018

cyril clavaud écrivait:

> $\mathbb{R}$ est un ensemble de plusieurs ensemble avec un cardinal différent, on pourrait coupler
> $\mathbb{Q}^{-} et \mathbb{Q}^{+} $ mais il manquerait les irrationels et zero.
:-S
> En revanche je peu concevoir de representer $\mathbb{Q}^{*}$ comme un ensemble de couples.
> $\mathbb{N}^{*2}=\mathbb{Q}^{*}$ est-ce juste ?

Le couple $(6,4)$ et le couple $(3,2)$ ne seraient pas le même rationnel dans ton histoire ?

> $\forall(a,b)\in \mathbb{R}^{2}, ( a \leq b \Rightarrow f(a) \leq f(b)).$
> Je ne vois pas ce qu'apporte la notion couple dans cette implication. d'autant que l'on considère
> finalement que ses composantes..

Elle permet d'économiser sur le symbole $\forall$ qui coûte très cher. Mais si on n'est pas radin, on peut préférer écrire écrire
$$ \forall a\in \mathbb{R}\ \ \forall b\in \mathbb R\ \ ( a \leq b \Rightarrow f(a) \leq f(b))\;.$$

cyril clavaud · April 2018

Bonjour à tous. et merci de m'épauler.

Cette histoire de couple dans un ensemble de couple me gène toujours. Dans le cours sur les ensembles, j'ai découvert que le produit cartésien de deux ensembles produisait des couples. Que donc $ \mathbb{R}^{2} $ est le produit $\mathbb{R}\mathbb{R}$ .
Mais je ne dirais pas que c'est équivalent a $ \forall a\in \mathbb{R}, \forall b\in \mathbb{R} $ puisque dans un cas j'ai deux réels et dans l'autre j'ai des couples de réels. Pas la même chose quand même. $\mathbb{R} \neq \mathbb{R^{*}_{-}}*\mathbb{R^{*}_{+}} $ . $\mathbb{R}$ n'est pas un ensemble de couple. Et c'est tout, terminé ?

Plus tard Il y un théorème sur les ensembles :
1) $ \forall A \in \mathscr{P}(E), A \subset A $ ( on dit que l'inclusion réflexive.) ok bon.
Puis,
2) $ \forall (A,B) \in (\mathscr{P}(E))^{2}, ( A \subset B \, et \, B \subset A ) \Rightarrow A=B$ (on dit que l'inclusion est anti-symetrique)
Cela m'embrouille, je n’écrirai déjà pas $ \forall (A,B) \in (\mathscr{P}(E))^{2}, A = B \Rightarrow ( A \subset B \, et \, B \subset A ) $ puisque A=B par définition du produit cartésien. Ce n'est donc pas une proposition puisque c'est tout le temps vrai.
Au même titre que $ \forall (A,B) \in (\mathscr{P}(E))^{2}, ( A \subset B \, et \, B \subset A ) $ n'est pas une proposition puisque c'est tout le temps vrai. Alors pour moi l’implication n'a pas lieu.

Voilà, dsl désolé, J'ai besoin d'éclaircissement sur tout ça.

GaBuZoMeu · April 2018

cyril clavaud écrivait:

> Que donc $ \mathbb{R}^{2} $ est le produit $\mathbb{R}\mathbb{R}$ .
C'est plutôt $\mathbb R\times \mathbb R$. Ben oui, c'est la notation habituelle : $a^2=a\times a$

> $\mathbb{R} \neq \mathbb{R^{*}_{-}}*\mathbb{R^{*}_{+}} $ .
> $\mathbb{R}$ n'est pas un ensemble de couple. Et c'est tout, terminé ?
Euh, qu'est-ce que ça veut dire ?

> $ \forall (A,B) \in (\mathscr{P}(E))^{2}, ( A \subset B \, et \, B \subset A ) \Rightarrow A=B$
> (on dit que l'inclusion est anti-symetrique)
Ben oui, l'inclusion est un ordre sur l'ensemble des parties de $E$, comme l'ordre $\leq$ sur les entiers naturels par exemple

> Cela m'embrouille, je n’écrirai déjà pas $ \forall (A,B) \in (\mathscr{P}(E))^{2}, A = B \Rightarrow ( A \subset B et B \subset A ) $
> puisque A=B par définition du produit cartésien.
Qu'est-ce que ça veut dire ?

> Ce n'est donc pas une proposition puisque c'est tout le temps vrai.
Une proposition n'a pas le droit d'être vraie ?

Le reste est du même acabit. Franchement, tu te fais de sacrés noeuds dans la tête !

Math Coss · April 2018

cyril clavaud a écrit:

je ne dirais pas que c"est équivalent à $\forall a\in\R,\ \forall b\in\R$ puisque dans un cas j'ai deux réels et dans l'autre j'ai des couples de réels.

Choisir un réel $a$ puis un réel $b$, cela revient au même que choisir deux réels entre lesquels on fait attention à l'ordre, c'est-à-dire un couple de réels $(a,b)$.

Dans le couple $(1,2)$ de $\R^2$ (aussi noté $\R\times\R$), on n'a pas $1=2$. Pourquoi est-ce que pour un couple $(A,B)\in\mathscr{P}(E)^2$, on aurait $A=B$ ?

grothenbiete · April 2018

Je peux me tromper mais j’ai l’impression que l’auteur du fil fait juste une confusion sur les notations et que c’est ça qui l’embrouille: quand on dit qu’on prend un couple (a,b) dans $\mathbb{R}^{2}$ c’est pas qu’on regarde dans $\mathbb{R}$ les éléments qui sont des couples et a est le premier élément du couple et b le second, on se fiche complètement de ce que contient $\mathbb{R}$ cette écriture est valable pour n’importe quoi, tu prends un ensemble tu prends un de ses éléments, tu fais pareil avec un autre ensemble et les deux éléments que t’as tu en fais « couple » (sa construction classique c’est ça d’ailleurs: (a,b)= {a,{a,b}}) et on appelle produit cartésien l’ensemble de tous ces couples obtenus, la « nature » des éléments des ensembles initiaux intervient nulle part.

cyril clavaud · April 2018

Je dis que $\mathbb{R}$ n'est pas un ensemble de couples puisqu'il n'est pas le produit carthésien de deux ensembles. C'est tout.
Je demande simplement confirmation.

> Je fais des noeuds dans ma tête...
Ca change de tes questions pas pédagogiques sur mes reflexions tordues.

merci.

grothenbiete · April 2018

Ouais c’est ce que je me disais. En fait ce que contient R n’intervient pas on se fiche de savoir que ce soit un ensemble de couples ou pas, en fait de façon générale, prends deux ensembles absolument quelconques E et F pour tout a dans E et b dans F t’appelles (a,b) = {a,{a,b}}, ce truc n’a aucune raison d’appartenir à E ou F évidemment, eh bien tu prends l’ensemble de tous ces (a,b) tels que a est dans E et b dans F, c’est ce qu’on nomme ExF, le produit cartésien de E par F, prend E=F=R et t’as ce que tu veux dans le cas qui t’interesses.

Math Coss · April 2018

En effet, $\R$ n'est pas un ensemble de couples. Personne ne l'a dit d'ailleurs.

Exercice amusant pas si facile : montrer qu'il existe une bijection de $\R$ sur $\R^2$. Suggestion pour le deuxième : envoyer quand c'est possible $0,x_1x_2x_3\cdots$ sur $(0,x_1x_3x_5\cdots\,;\,0,x_2x_4x_6\cdots)$ mais attention, ce n'est pas immédiat.

grothenbiete · April 2018

Je me demande si la confusion vient pas de l’abus de notations?
C’est vrai que quand on écrit $(a,b)\in \mathbb{R}^2$ ça peut faire bizarre, en fait c’est un raccourci pour dire $c\in \mathbb{R}^2$ tel que $c=(a,b)$
Je ne sais pas si tu fais du python mais vois cette écriture comme du sequence unpacking (de l’affectation multiple sauf qu’en python c’est limité aux types séquence)

GaBuZoMeu · April 2018

Si on a $c=(a,b)$ et $c\in \mathbb R^2$, on n'aurait pas $(a,b)\in \mathbb R^2$ ?
Le mystère s'épaissit:-D.

grothenbiete · April 2018

Si si bien sûr :-D
Mais dit comme ça, ça peut peut-être éviter la confusion.

Edit: mon « ça peut faire bizarre » peut paraître fautif et donner l’impression que l’écriture est abusive. Je modère ce que je dis, quand on se précipite cette écriture peut faire bizarre voilà :-D mais bon oui tout peut faire bizarre quand on se précipite donc bon...

Édit 2: du coup je me sens coupable je veux pas faire croire que pour être bien écrit une phrase de type truc $\in$ bidule doit avoir truc écrit comme une lettre.

GaBuZoMeu · April 2018

@cyril clavaud
Encore quelques questions pas pédagogiques pour deux sous.

Soit $E=\{0,1,2\}$. Combien d'éléments a $E^2$ ?
Est-ce que $\forall a \in E\ \forall b \in E\ \ a+b\leq 6$ est une proposition ? Est-elle vraie ?
Mêmes questions pour $\forall (a,b) \in E^2\ \ a+b\leq 6$.

christophe c · April 2018

De mon téléphone aux experts (je n'ai pas latex) demandez-lui s'il ne confond pas A^2 avec la DIAGONALE de A^2.

Ça ne me parait pas invraisemblable (avant de penser qu'il s'est trompé d'orientation :-D )

cyril clavaud · April 2018

Soit $E=\{0,1,2\}. E^2$ contient 9 élements, 9 couples.
$ \forall a \in E\ \forall b \in E\ \ a+b\leq 6 $ C'est une proposition. une proposition peut etre vraie ou fausse. dans ce cas elle est vraie.
(mon truc de dire qu'une proposition n'en est pas une parcequ'elle est vraie est completement foireux. merci )

$ \forall (a,b) \in E^2\ \ a+b\leq 6 $ est une proposition vraie. Quelque soit le couple que je prend parmis les 9. si j'aditione leurs composantes je suis inferieur a 4 donc inferieur ou égale a 6.

cyril clavaud · April 2018

Math Coss écrivait:

> Dans le couple $(1,2)$ de $\R^2$ (aussi noté $\R\times\R$), on n'a pas $1=2$. Pourquoi est-ce
> que pour un couple $(A,B)\in\mathscr{P}(E)^2$, on aurait $A=B$ ?

Je pense que $(A,B)\in\mathscr{P}(E)^2$, $(A = B \lor A \neq

$ est une proposition vraie.

GaBuZoMeu · April 2018

Question subsidiaire pour départager les concurrents ex-aequo : est-ce que $\forall a \in E\ \forall b \in E\ \ a+b\leq 6$ et $\forall (a,b) \in E^2\ \ a+b\leq 6$ sont synonymes ?

Georges Abitbol · April 2018

@cyril : Que veut dire la virgule au milieu de ta dernière formule ?

cyril clavaud · April 2018

GaBuZoMeu écrivait : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?16,1631598,1636982#msg-1636982

$ \forall (a,b) \in E^2\ \ a+b\leq 6 $ est une proposition vraie. Quelque soit le couple que je prend parmi les 9. si 'additionne leurs composantes. quelque soit $a$, quelque soit $b$ je suis inférieur à 4 donc inférieur ou égale à 6.
C'est donc synonyme, et parfaitement équivalent.
J'écrits:
$\forall a \in E\ \forall b \in E\ \ a+b\leq 6 \Leftrightarrow \forall (a,b) \in E^2\ \ a+b\leq 6$

Georges Abitbol écrivait : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?16,1631598,1636984#msg-1636984

$(A,B) \in \mathscr{P}(E)^2, (A = B \lor A \neq

$
La virgule, c'est tel que.
Je veux dire prenons un couple $(A,B)$ dans $ \mathscr{P}(E)^2$ , tel que $A=B$ ou $A \neq B$
Ma proposition : c'est de prendre un couple quelconque dans $\mathscr{P}(E)^2$.

Math Coss écrivait : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?16,1631598,1636816#msg-1636816

> Dans le couple $(1,2)$ de $\R^2$ (aussi noté $\R\times\R$), on n'a pas $1=2$. Pourquoi est-ce
> que pour un couple $(A,B)\in\mathscr{P}(E)^2$, on aurait $A=B$ ?

Tu prends $(1,2) \in \mathbb{R}^2 $ tu aurais pu tout aussi bien prendre $ (1,1) \in \mathbb{R}^2 $
Je réponds $A=B$ si et seulement si $A$ contient les même éléments que $B$ (c'est suffisant pour dire que deux ensemble sont égaux).

[Inutile de recopier un message présent sur le forum. Un lien suffit. AD]

Georges Abitbol · April 2018

Je suggérais que tu avais oublié un $\forall$ au début. La phrase-clef, c'est "les lettres qui n'apparaissent pas à côté d'un $\forall$ ou d'un $\exists$ doivent être considérées comme faisant référence à des choses précisément définies plus tôt". Ta phrase $(A,B) \in \mathcal{P}(E), etc$ a plutôt le sens suivant : "vous vous souvenez, hier, je vous ai présenté mes amis, $A$ et $B$ ? $A$ c'est le chauve et $B$ c'est celui qui écoute les Pink Floyd ? Eh ben, ils sont tous les deux des parties de $E$ et (sont égaux ou sont différents)".

christophe c · April 2018

@Cyril: j'en reviens à la question que j'ai posée pour envisager une aide. Jusqu'à ce que je pose la question, il y avait des indices lourds que tu confondais $\{(x,y) \mid x\in A\ et\ y\in A\}$ avec $\{(x,x) \mid x\in A\}$.

Tu as cassé cette impression en écrivant:

$\{0;1;2\}^2$ contient 9 éléments, 9 couples.

Je souhaiterais, dans ton intérêt, être tranquillisé:

1/ Veux-tu bien écrire la liste complète des éléments de $\{4;7\}^2$?

2/ Prouver que $card(A\times_{ensembliste}

= card(A) \times_{arithmetique} card(B)$ pour des ensembles finis $A,B$?

En effet, rien de ce que tu as dit n'évacue TOTALEMENT l'hypothèse de la confusion que je t'ai attribuée, même si la "probabilité" que tu la fasses a été divisée, je le reconnais bien volontiers et tant mieux, par un bon 10, voire 50.

Merci.

samok · April 2018

Bonjour cc,

que penses-tu du cours en pièce-jointe de Cyril ?

S

christophe c · April 2018

Je l'ai déjà commenté je crois, il contient les fautes graves habituelles des auteurs (incompétents en LM) de ce cursus): confusion vrai prouvable, ignorance de ce que veut dire prouver, etc.

Je ne vais pas redire ce que j'ai déjà dit à propos d'un document très proche, déjà commenté en long, large et travers, peut-être serait-il plus amusant de retrouver le lien. Il faut aussi savoir que ces chapitres ne sont pas lus en général par les étudiants. (Ou pas comme on l'imagine), ce qui relativise largement les conséquences des fautes qui y sont présentes.

samok · April 2018

Tu regardes dans les grandes lignes mais pas entre les lignes sieur cc,
entre les lignes entrent les détails.

S

cyril clavaud · April 2018

Merci à tous !!!
Ce que je voulais faire c'est prendre un seul élément c'est pourquoi j'ai omis volontairement le $\forall$.
Dans ce cas j'aurais plutôt dû écrire :
Soit $ (a,b) \in \mathcal{P}(E)^2 $.
Ensuite, c'est avec cet élément que je dois me débrouiller pour vérifier si (ou démontrer que ) je peux satisfaire une proposition dans laquelle cet élément varie. Cela m'a l'air de se tenir.

Allez hop J'essaye ; par exemple, une proposition P.
soit $E=\{0,1,2\}$ et $P: \forall (a,b) \in E^2, ( a+b <= 4) $
Je pense que P est vrai et je le démontre par l'absurde. supposons que non(P) est vrai. Soit Q = non(P).
$Q : \forall (a,b) \in E^2, ( a + b ) > 4 $
Soit a = 2, soit b = 0, (2+0) = 2 < 4 Q est faux, donc non(Q) est vrai, donc P est vrai.

C'est encore frais, mais c'est pigé.

samok · April 2018

moi j'ai rien compris dans le forfait,

S

christophe c · April 2018

En réponse à cyril clavaud http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?16,1631598,1637456#msg-1637456
De mon téléphone : ton argument contient une TRES GRAVE FAUTE que normalement un entrant en CPGE n'est pas censé faire depuis la 5ie. Ce n'est pas pour te décourager mais pour t'encourager à la trouver TOUT SEUL en disant "pardon pour mon étourderie"

Math Coss · April 2018

En effet, il y a une erreur dans l'écriture de $\mathrm{non}(Q)$.

Comment ferais-tu pour réfuter la phrase : tous les chats sont gris ?

christophe c · April 2018

Vue la suite de ce qu'il écrit, on peut espérer qu'il s'agit d'une coquille. Attendre et voir comme dirait dom :-D

cyril clavaud · April 2018

Pardon messieurs, voici ce que j'aurai du écrire :
Soit Q = non(P),
$Q : \exists (a,b) \in E^2, ( a + b ) > 4$

J'admet que c'est une faute grave sans problème.

@ crhistophe c
> 1/ Veux-tu bien écrire la liste complète des éléments de ${4;7}^2$?
$\{4;7\}^2 = \{ (4,4),(4,7),(7,4),(7,7) \}$

>2/ Prouver que $ card(A\times_{ensembliste}

= card(A) \times_{arithmetique} card(B) $ pour des ensembles finis A,B?
Prouver n'est pas démontrer. Je me contente de mettre le théorème à l'épreuve pour voir s'il dit vrai.
Soit les ensembles d'entiers A = $\{4;6;7;8\} , B = \{1;2;3\} $ et $ a \in \mathbb{N}, b \in \mathbb{N} $ et leurs cardinaux respectif. $a = 4$ et $ b=3 $

Soit E = $A \times B = \{4;6;7;8\} \times \{1;2;3\} = \{ (4,1),(4,2),(4,3),(6,1),(6,2),(6,3),(7,1),(7,2),(7,3),(8,1),(8,2),(8,3) \}$

Soit pour preuve, $e = card( E ) = 12 = 4 \times 3 = card(A) \times card(B) = card(A \times_{ensembliste}

= card(A) \times_{arithmethique} card(B)$

Effectivement Christophe avec $ E = \{(x,x) \mid x\in A\} $ je n'ai pas saisi la portée du théorème d'inclusion anti-symétrique. Il me paraissait TRES étrange d'impliquer une égalité d'ensemble partant d'ensembles égaux. J'avais pas pigé la notion d'ensemble de couples de toute les parties de E, Ne rendant pas la démonstration du théorème fausse , mais tout à fait incongrue......

Bonne journée à vous.

Georges Abitbol · April 2018

cyril clavaud a écrit:

Prouver n'est pas démontrer.

Ben, je pense que pour beaucoup de gens sur ce forum, ces mots sont synonymes :-D Je n'aime d'ailleurs pas "prouver" que je pense être une habitude prise par les personnes qui lisent des maths en anglais, où les démonstrations sont des "proofs".

En tout cas, la fin de ton paragraphe n'est pas claire du tout. Sais-tu ce qu'est un couple ?
Si $a$ et $b$ sont des ensembles, on note $(a,b)$ à la place de $\{\{a\},\{a,b\}\}$. Tu peux essayer de démontrer, pour t'entraîner : $\forall x,\ \forall y,\ \forall z,\ \forall t,\quad \left((x,y) = (z,t)\right) \Rightarrow \left(x=z \ et \ y=t\right)$.
Peux-tu décrire plus précisément ce qui te paraît étrange ? Tu as peut-être des idées fausses qui te gênent dans la compréhension, et il va être difficile de t'en sortir si tu ne les chasses pas. Du coup, mieux vaut que tu dises ce qui te passe par la tête (à propos de maths bien sûr), on te dira tout de suite ce qui ne va pas et ça t'aidera à avancer.

EDIT : Je n'avais pas donné la définition des couples de Kuratowski, mais une autre. Coquille corrigée !

cyril clavaud · April 2018

Salut Georges.

Pour moi un couple est un ensemble de deux éléments dans lequel ont fait attention à l'ordre.
Je sais pas trop ce que c'est que l'ordre. ça se résume pour moi à dire que le couple (1,2) est différent du couple (2,1) tandis que l'ensemble {1,2} égale l'ensemble {2,1}.
Ca ne me permet d'imaginer un couple comme étant "un composé" ( je ne sais pas si le terme est approprié ) d'un élément d'un ensemble et d'un autre ensemble pourquoi pas. Du genre (1,{2,4,5}) qui appartiendrait a un ensemble de couple un peu dingue. Pourquoi pas même des couples d'ensembles, du genre ({1,2,3}, {2,3,4}). il y a bien des ensembles d'ensembles pourquoi pas des couples d'ensembles. Je n'ai cependant aucune idée d'un de l’intérêt d'un tel objet...même du plus simple. a part pour simplifier l'écriture...:D

> Si $a$ et $b$ sont des ensembles, on note $(a,b)$ à la place de $\{\{a\},\{a,b\}\}$
Je ne saisi plus :-S c'est un piége :-D ?
Ceci $\{\{a\},\{a,b\}\}$ est pour moi un ensemble contenant un ensemble a et un autre ensemble paire {a,b}.
et ceci $(a,b)$ est un couple d'ensemble.
Complètement différent d'un ensemble de couple du genre E^2

> $\forall x,\forall y, \forall z, \forall t,\quad \left((x,y) = (z,t)\right) \Rightarrow \left(x=z \ et \ y=t\right)$.
Pour démontrer ça, je dois connaitre la définition de l’égalité du couple. et ton implication définis justement l'égalité d'un couple.
J'ai affaire à une définition. puisque qu'il n'y a pas d'autre théorème ou brique élémentaire (a ma connaissance) que je puisse prendre pour la démontrer, à part elle même. ( je viens de dire qu'une implication définissait quelque chose...je suis pas convaincu ... comment savoir ce que définis une implication...Mes pensées sont trop abstraite je dois pratiquer. )

Ce qui me parait étrange ?
avec $ \forall (A,B) \in (\mathscr{P}(E))^{2}, ( A \subset B \, et \, B \subset A ) \Rightarrow A=B $

J'ai pris ça $ \mathscr{P}(E))^{2} $, comme une manière de fabriquer des couples d'ensemble égaux.
$E = \{(A,A) \mid A\in R\}$
partant de là j'ai certainement substitué A avec B, comme ça :
$ \forall (A,A) \in E, ( A \subset A \, et \, A \subset A ) \Rightarrow A=A $ C'est pas moins vrai, qu'avec des ensembles distincts mais pourquoi s'enquiquiner avec des inclusions ?
C'est comme de dire :
$ \forall x \in \mathscr{R}, (x<=x et x>=x), \Rightarrow (x=x) $
$ \forall x, x=x $ avec ça moi j'apprend rien et ça me gène fortement

merci pour ton temps Georges.

GaBuZoMeu · April 2018

Poursuivons les questions pas pédagogiques pour deux sous.

Soit $E=\{0,1\}$. Combien d'éléments a $\mathcal P(E)$ ? Combien d'éléments a $(\mathcal P(E))^2$ ? Combien y a-t-il de couples $(A,B)\in (\mathcal P(E))^2$ tels que $A\subset B$ ?

cyril clavaud · April 2018

Hello GaBuZoMeu

soit $E = \{0,1\}$
$card( \mathcal P(E) ) = card( \{ \{0\},\{1\},\{0,1\} \}) = 3 $
sachant $card(A \times

= card(A) \times card(B) $
On a $ card( \mathcal (P(E))^2 ) = 3^2 = 9$ ( C'est une horreur de tous les écrire )

Dans le cas d'un inclusion inclusive, On à $\{0\} \subset \{0,1\}$, $\{1\} \subset \{0,1\}$ , $\{0,1\} \subset \{0,1\}$
soit $I = \{(A,B) \mid ( A\in \mathcal P(E) \ et \ B \in \mathcal P(E) , A \subset B \}$
on a $card(I) = 3$

michael · April 2018

cyril clavaud a écrit:

$card( \mathcal P(E) ) = card( \{ \{0\},\{1\},\{0,1\} \}) = 3$

C'est faux. Tu as oublié un élément de $\mathcal P(E)$.
[Edit pour ne pas spoiler la suite des questions de GBZM]

Ton résultat pour $Card(\mathcal P(E)^2)$ est donc erroné également (idem pour le cardinal de $I$).

cyril clavaud · April 2018

C'est pas faux d'aprés mon cours page2 : cours ensembles
> D’autre part, répéter un même élément plusieurs fois ne sert à rien : {1; 2, 7; 2, 7} = {1; 2, 7}.

Toutes les parties cela donne {0},{1},{0,1},{1,0}
et {0,1}= {1,0}.
donc {{0},{1},{0,1},{1,0}} = {{0},{1},{0,1}}
card({{0},{1},{0,1},{1,0}}) = 3

J'ai oublié quoi comme élément alors ?
l'ensemble vide !?

gerard0 · April 2018

Tu oublies que l'ensemble vide est une partie de tous les ensembles.

Cordialement.

cyril clavaud · April 2018

Et oui :
Puisque l'ensemble des partie d'un ensemble E contient E, l'ensemble des parties d'un ensemble vide contient un ensemble vide.
Par conséquent, l'ensemble des parties d'un ensemble contient aussi l'ensemble vide.
holalalalalala

cyril clavaud · April 2018

merci !

cyril clavaud · April 2018

Soit $E = \{0,1\}$
$card( \mathcal P(E) ) = card( \{ \{\varnothing \}, \{0\},\{1\},\{0,1\} \}) = 4 $
sachant $card(A \times

= card(A) \times card(B)$
On à $ card( \mathcal (P(E))^2 ) = 4^2 = 16$
$ card( \mathcal P(E) ) = card( \{ $
$ \ \ (\{\varnothing\},\{\varnothing\}),\ (\{\varnothing\},\{0\} ),\ (\{\varnothing\},\{1\} ),\ ( \{\varnothing\}, \{0,1\} ) $
$ \ \ (\{0\},\{\varnothing\}),\ (\{0\} , \{0\} ),\ (\{0\},\{1\} ),\ ( \{0\}, \{0,1\} ) $
$ \ \ (\{1\},\{\varnothing\}),\ (\{1\} , \{0\} ),\ (\{1\},\{1\} ),\ ( \{1\}, \{0,1\} ), $
$ \ \ (\{0,1\},\{\varnothing\}),\ (\{0,1\} , \{0\} ),\ (\{0,1\},\{1\} ),\ ( \{0,1\}, \{0,1\} ) \}$

on a $\{\varnothing\} \subset \{\varnothing\} $ et $\{0\} \subset \{0,1\}$, $\{1\} \subset \{0,1\}$ , $\{0,1\} \subset \{0,1\}$
soit $I = \{(A,B) \mid ( A\in \mathcal P(E) \ et \ B \in \mathcal P(E) , A \subset B \}$
et $card(I) = 4$

Puis-je proposer ça ?
$\forall (A,B) \in \mathcal P(E)^2, card( \{(A,B)\} \mid A \subset B ) = card( \mathcal P(E) )$

Merci à vous les gars.

cyril clavaud · April 2018

@ moi même !
> $\forall (A,B) \in \mathcal P(E)^2, card( \{(A,B)\} \mid A \subset B ) = card( \mathcal P(E) )$
Je peux peut-être le proposer, mais c'est une proposition fausse.

J'en ai encore oublié.
On a $\{\varnothing\} \subset \{\varnothing\} $ et $\{0\} \subset \{0,1\}$, $\{1\} \subset \{0,1\}$ , $\{0,1\} \subset \{0,1\}$
$\{0\} \subset \{0\}$ et $\{1\} \subset \{1\}$

Cette fois :
soit $I = \{(A,B) \mid ( A\in \mathcal P(E) \ et \ B \in \mathcal P(E) , A \subset B \}$
$card(I) = 6$

moduloP · April 2018

Tu es certain que $\{\varnothing\} \subset E$ ?

cyril clavaud · April 2018

moduloP écrivait:

> Tu es certain que $\{\varnothing\} \subset E$ ?

J'aurais dû l'être.

Je re-re-reprend, car j'en ai encore oublié.
On a $\{\varnothing\} \subset \{\varnothing\}$ et $\{\varnothing\} \subset \{0\}$ , $\{\varnothing\} \subset \{1\}$ et $\{\varnothing\} \subset \{0,1\}$
et $\{0\} \subset \{0,1\}$, $\{1\} \subset \{0,1\}$ , $\{0,1\} \subset \{0,1\}$ , $\{0\} \subset \{0\}$ et $\{1\} \subset \{1\}$

soit $I = \{(A,B) \mid ( A\in \mathcal P(E) \ et \ B \in \mathcal P(E) , A \subset B \}$
$card(I) = 9$

Merci bien moduloP.